求直線與圓問題中的最值

◇ 張風嬌

直線與圓的位置關系有相離、相切和相交三種情況．而直線與圓問題中的最值，往往就是通過判斷直線與圓的位置關系，結合相關的信息加以分析與解決．下面就結合直線與圓問題中比較常見的弦長、代數式、面積等最值問題進行實例剖析．

1 弦長最值問題

例1已知圓C:(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l:(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)，求直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程及最短弦的長度．

直線l的方程可化為(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，由于m∈R，所以直線l恒過x＋y－4＝0與2x＋y－7＝0的交點，聯立直線方程得直線l恒過定點A(3，1)，圓心C(1，2)，d＝|AC|＝(半徑)，則點A在圓C內，那么當弦長最短時有l⊥AC，由，知直線l的斜率為k＝2，所以直線l的方程為y－1＝2(x－3)，整理得2xy－5＝0，則最短弦的長度為

利用圓的性質，結合直線與圓的位置關系，通過數形結合來處理相應的弦長最值問題較為簡捷．

2 代數式最值問題

例2已知實數x，y滿足x2＋y2－4x＋1＝0．

(2)求y－x的最小值．

(2)設y－x＝b，即y＝x＋b，b為直線在y軸上的截距，當直線與圓有公共點時，當且僅當直線與圓相切且切點在第四象限時b最小，此時圓心C到直線的距離為，解得，所以y－x的最小值為

求解代數式的最值問題，往往通過代數式所表示的幾何意義以及數形結合來判斷直線與圓的位置關系，從而使最值問題得以解決．數形結合是處理此類問題的常用方法與關鍵所在．

3 距離最值問題

例3已知圓C:x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；

(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．

(1)由于切線在兩坐標軸上的截距相等，當截距不為零時，設切線方程為x＋y＝a，由題知圓心C(－1，2)到切線的距離等于圓的半徑2，即解得a＝－1或a＝3；當截距為零時，設y＝kx，同理可得或則所求切線的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或或

(2)由于切線PM與半徑CM垂直，則|PM|2＝即則2x1－4y1＋3＝0，那么動點P的軌跡是直線2x－4y＋3＝0，則知|PM|的最小值就是|PO|的最小值，而|PO|的最小值為O到直線2x－4y＋3＝0的 距 離可得故所求點P的坐標為

求解直線與圓的距離問題，關鍵是正確切入(即|PM|的最小值就是|PO|的最小值)，把有關的距離問題轉化為直線與圓的位置關系問題、方程問題、參數問題等，利用方程的求解等方式確定有關的距離最值問題．