“組合數論”的一個妙題
———“裝錯信封問題”在高考中的實際應用

◇ 甘肅 丁小強

“裝錯信封問題”作為組合數論中非常經典的一個問題,在日常教學和高考中經常出現.本文將拓展思路,探討該問題與其他問題結合的考查方法.

1 裝錯信封問題的來源

“裝錯信封問題”是由17世紀至18世紀世界上著名的數學家約翰·伯努利(Johann Ber noulli,1667—1748)的兒子丹尼爾·伯努利(Daniel Ber noulli,1700—1782)提出來的,原題大意如下:

某個人寫了n封互不相同的信件,與信件一一對應的有n個互不相同的信封,他要求這n封信必須都裝錯信封,也就是每封信件都不可以裝到與之對應的信封里,問這樣的裝法有多少種.

這個問題也被約翰·伯努利的學生,著名的數學家歐拉稱為“組合數論”的一個妙題.該問題也被稱為全錯位排列問題.

2 “裝錯信封問題”常規考法

例1某學校高三年級有4個班,學校舉行的摸底考試要求4名班主任分別監考4個班,并且每名班主任都不可以監考自己班,請問有多少種安排方案.

解析

1)頂針法:4個班級1,2,3,4班對應的班主任稱為一、二、三、四.若先排一,有3種排法(即2,3,4),若排到2班,則接下來排班主任二也有3種排法(即1,3,4),最后排班主任三、四,兩人都只有1種排法,因此由分步計數原理可計算出共有3×3×1×1＝9種排法.

2)公式法:將n＝4代入中,即可計算出為9種.

也可用列舉法,列舉法與頂針法應對錯位元素較少的題型實踐性較高,應對錯位元素較多的題型則太過復雜且容易重復或遺漏.公式法中由于該公式不是高中課程內容的基本公式,故高考考查的錯位元素不會太多,因此我們只需要記住2～5個元素的全錯位數即可:A2＝1,A3＝2,A4＝9,A5＝44.

3 裝錯信封問題與考題結合的新思路

“裝錯信封問題”作為排列組合中的經典問題,可以與其他的知識點相結合,更新穎、更靈活地考查學生的能力.

1)“裝錯信封問題”與涂色問題的結合

例2用3種不同的顏色給正三棱柱的6個頂點涂色,則相連接的頂點都不同色的涂法有多少種?

解析

正三棱柱ABC-A1B1C1的兩個底面都為正三角形,已知三角形的3個頂點之間互相連接,所以兩個三角形都必須使用3種顏色涂色才能滿足題中相連接的頂點不同色的要求.上下兩個面的點通過正三棱柱的3條側棱相連接,AA1,BB1,CC1形成了一一對應關系,符合全錯位的基本形式,所以上下兩個面需要全錯位涂色.

先涂A,B,C這3個點,再涂A1,B1,C1這3個點,且上下兩個面的點全部錯位,故共有A33×2＝3×2×1×2＝12種.

2)“裝錯信封問題”與分布列結合

例3某實驗小組由4名同學組成,老師要求實驗結束后必須要整理好實驗器材并且打掃實驗室衛生.小明想到了一個方式,在4張完全相同的卡片上寫上每個人名字然后隨機抽取,若抽到自己名字則留下,反之則不用留下.請列出留下打掃衛生人數的分布列.并且說明這種方法的合理性.

解析

該題是“裝錯信封問題”與分布列的結合,留下來的總人數X＝0,1,2,4(注意1個元素是沒有全錯位的,所以不可能留下3人).一共有A44＝4×3×2×1＝24種抽取情況,若沒有人留下則為4人與4張卡片全錯位,共有9種情況,所以P(X＝0)＝;若1人留下來則先選出留下的1人,剩下的3人全錯位,共有種情況,所以若2人留下來則先選出留下的2人,剩下的2人全錯位,共有種情況,所以若4人留下來則全不錯位,所以這樣我們就可以得到留下打掃衛生人數的分布列.

“裝錯信封問題”作為組合數論中的經典問題,不僅與實際問題結合緊密,并且靈活多變,從全部裝錯到局部裝錯,思路逐漸深入.該問題難度適中,若與其他知識點有機結合,定會成為高考命題中經典的題型.