從“發現與生成”，看“情境與現象”

摘要：抽象的知識都是人腦中建立起來的“意義”，都是人類賦予大自然的“說法”。因此，知識只能生成，而不能發現，這就是情境教學必然要走向現象教學的深層原因。情境教學重在“發現”，現象教學重在“生成”，二者天然相通，操作中的區別主要在于學習材料的真實性。情境教學的一切優秀成果都可以被現象教學所繼承，改進的只是對待知識的態度，而不在于具體的一招一式。未來的教育很可能是知識教學、情境教學、現象教學共存的局面，而在高年齡段中，現象教學應該是主流形式。

關鍵詞：數學教學知識教學情境教學現象教學

課堂上的多數情境，提供的是對知識的解釋，學生聽懂了就便于記住。認為學生從中“發現”了知識，其實是一種誤解。抽象的知識只能生成，而不能發現，因為它不在自然界中，這就是情境教學必然要走向現象教學的深層原因。知識—情境—現象，教學一步一步向大自然靠近。通過對現象的思考而形成對世界的認識，人類擺脫了對知識的崇拜（比如，數學家擺脫了數字拜物教）。學習不是為了繼承知識，而是為了認識世界。

一、 知識是生成的，不是發現的

抽象的知識都是人腦中建立起來的“意義”，都是人類賦予大自然的“說法”。

比如，從一堆蘋果和幾只兔子那里能發現1、2、3嗎？蘋果和兔子是能發現的，但1、2、3則是頭腦生成的，而不是感官發現的。

首先，1、2、3不是實際的物體，不具有形狀，不占有空間，既不發出，也不反射光線，因而不能被看見;其次，在我們說或寫1、2、3的時候，其中并不含有蘋果、兔子的顏色、溫度等物質性因素，一切可感的都剝離掉了;再次，1、2、3能被記在腦子里，又能被說或寫出來，人們能夠隨時認出它，在談論它時彼此都明白其含義。

由此可知，1、2、3雖然不是自然界的實體，卻顯然也是一種穩定的存在。它甚至比蘋果和兔子更穩定（蘋果和兔子還可以變形和消失，1、2、3卻始終在那里），所謂“天不變，道亦不變”。可以說，1、2、3什么別的也不是，就是它自己。它甚至不是說出來的那個聲音或寫出來的那個樣子：那只是一種形式，換作另外的形式也是可以的，而其意義卻不變。

考察一下幼兒頭腦中1、2、3從無到有的產生過程，也許會對我們認識1、2、3有所幫助。母親在教幼兒學數數的時候，使用的語言是異于成人的。她們專有一套被學者稱為“母嬰語言”的話語體系，大致是這樣的：“看，這是幾個蘋果？”“看，這是幾個兔子？”“看，這是幾個書？”……此時，她們指著的蘋果、兔子、書等，其實全是“1個”。還有，她們說的是“幾個兔子”“幾個書”，而不是“幾只兔子”“幾本書”，為的是更加突出“幾個”的意義。就這樣，在無數次發問和叮嚀中，幼兒“領會”了“1個”的含義。此后，母親再教“2個”“3個”等。“3”在幼兒那里是個坎，跨過了“3”，再認識4—9就容易了。在母親指著“1個”說“幾個”的時候，她們的頭腦里有“數”的意義，而幼兒是沒有的。母親把自己頭腦里的抽象意義具體化，這樣可以貼近幼兒的實際，使他們能夠領會得到——母親天生就是教育家。幼兒呢？不是“發現”數，而是“生成”了它。母親的誘導幫助了這個生成，而不是告訴他，讓他發現。

具體的物體可以提供對知識的解釋。比如，蘋果和兔子是對1、2、3的解釋。母親頭腦里有了1、2、3，用蘋果和兔子來解釋，孩子懂了這個解釋后接受了，這就是教學。但我們一直忽略了的是，當孩子把1、2、3從蘋果和兔子那里遷移到人、樹、桌子、椅子、房屋、國家、海洋等的時候，他們頭腦里1、2、3的意義已經與母親當初所教的不同了。新的、泛化了的意義是哪兒來的？是孩子自己生成的。母親不可能把1、2、3的外延全都告訴孩子，因此也就不能把它的真實內涵全部告訴他。孩子最后能夠知道這些，靠的是自己的頭腦（即所謂的“悟”）。

20世紀50年代，云南還有一些民族不會數比3更大的數。現在他們會了，但是南美洲雨林里和澳洲海島上依然有“不會”的民族存在。由此可知生成的不易和教育的重要。

【案例1】“橢圓對稱性”的情境教學

《橢圓的幾何性質》展示課上，執教教師采用了下面的教學方式：

先讓學生畫出橢圓x2 4+y2=1的圖像，然后挑選一位學生的作品（如圖1），實物投影。學生在這張圖上“發現”了明顯的錯誤：第三象限的圖像“癟進去了”，而第二象限的則“畫得很好”。學生欣欣然，教師則開心一笑，他們在輕松氣氛中完成了橢圓對稱性的“發現”。

課后，聽課教師也對這樣的教學贊不絕口，稱這是發現法教學的成功案例。

其實，學生能“發現”橢圓“癟進去了”，恰恰是因為他們頭腦里先就有了“橢圓是對稱圖形”的觀念。同樣地，他們“發現”第二象限的“畫得很好”，也是這個原因。至于這個觀念的來源，可能是實際的生活經驗，也可能僅僅出于美感上的考慮。如果沒有“橢圓對稱”這個觀念，他們不可能有癟與不癟的發現。因此，這是一個“偽探究”“偽發現”。

學生畫這個橢圓，只能采用描點法。正常來說，他們先能夠標出與坐標軸相交的四個點（此時學生還沒有“橢圓頂點”的概念），剩下的就只能找特殊值代入運算。最簡單的取點可能是1 2，15 4，1，3 2，3 2，7 4，這三個點描起來可不容易。這還只是第一象限的，在不知道對稱性的情況下，其他象限的也只能描點。所以，我不認為其余學生會把圖畫得比這位學生更高明。

總之，這里學生不是因為看見了而建構，而是因為建構了而看見。當然，因此，對“描點畫橢圓、觀看對稱性”這樣的教學設計，我不敢茍同。后來，執教教師跟學生一起詳細分析“這個發現是否合理”以及“怎樣給出嚴格證明”，最后完成了真正意義上的“對稱性”意義建構，這是我所贊賞的。

更為顯然的是，不能以為看了書本就能吸收里面的知識，如果沒有頭腦中的意義建構，書本就不能給人帶來任何實際的知識。也不能以為聽了老師的講課就能懂得里面的意思，如果沒有主動的分析和整合，無論多優美的話語都與噪音無異。講授教學在某些時候的成功，不在于教師講了，而在于教師所講的內容以及所用的講法恰好與學生頭腦里的認知結構契合，學生能夠也愿意去同化這些內容。脫離了學生的學習意愿，或者脫離他們的同化能力，無論怎么講，都將是無濟于事的。言者諄諄而聽者藐藐的情況，實非鮮見。

二、 情境與現象各有什么作用

情境教學最著名的一個例子可能就是多米諾骨牌，它是“數學歸納法”的教學寶典。

【案例2】“數學歸納法”的情境教學

推倒第一個牌九（實物或動畫），讓后續牌九一個個倒下。然后告訴學生，這就是一個可見的模式，第一個倒下了，以后是一個接一個倒下，用數學的形式寫出來是什么樣的呢？由此介紹“這就是數學歸納法”，并進入規范步驟的操練。

這個情境的作用是什么？真的能從這里生成數學歸納法的意義嗎？

第一，真實的歷史是什么樣的？事實上，數學歸納法不是從多米諾骨牌中發現的;相反，多米諾骨牌因為數學歸納法而流傳開來。帕斯卡首創數學歸納法是在1659年，直到195年后的1854年，多米諾才從中國的牌九（一種骨牌游戲）中發現了該效應并介紹到西方。直到現在，很多人也是到了學習“數學歸納法”的時候才從老師那里聽說多米諾骨牌。所以，多米諾骨牌是用以解釋數學歸納法的，它把艱深的知識通俗化，把抽象的知識可視化，因而為“認識”數學歸納法提供了一個“模板”。

第二，數學歸納法的合理性在哪里？其教育價值又在哪里？可見的是：數學歸納法的第一步驗證了（比如n=1），第二步假設了（k時成立）并由此證明了（k+1時成立）。那么，還會有下面的疑問：只驗證一個行嗎？要不要多驗證幾個？既然是證明，怎么可以先假設？既然是假設，怎么又可以作為后續證明的依據？是不是因為k+1時成立，所以命題就成立了？……很明顯，如果沒有這些追問以及回答，數學歸納法就只能是手工操作的一個程序，動手的人只能是奉命而為，僅僅是因為“聽話”而得到了“滿分”。因此，掌握這些“技能”的人不是獨立的人，只是稍微高級一點的工具而已。

數學歸納法的合理性在于第一步的驗證和第二步的遞推。驗證一次足夠。至于“假設k并證明k+1”，根本之處在于完成了“從k到k+1的遞推”。有了基礎，有了遞推，命題便在正整數集上達到了永恒成立。

注意，上述最初的追問以及最后回答的意義（邏輯結構），都不是眼睛看到的結果，而是在頭腦中逐步生成的——在生成后，它才有了實在的意義。而教師往往會以為它本來就是實在的（因為他們的頭腦里有），學生眼里的“實在性”則很可能僅僅指那幾個具體的證明步驟（因為這可見）。無奈的是，標準化的卷面考試中不能對“實在性”的意義加以甄別，“聽話的”和“意義生成的”獲得了同樣的分數。

第三，多米諾骨牌對數學歸納法意義的生成究竟有多大的促進作用？我們不能因為歷史上它出現在后面就否定其邏輯上的因果關系，教師頻繁地使用這個素材肯定不是沒有道理的。學生只知道自己推了一下，然后看著后面的骨牌一個個倒下。但是，骨牌是有限的，學生能不能“看到”或“想到”無限就很難說了。有一點可以肯定，能夠想到無限的人都是頭腦里本來就有無限的人。

當然，教學時有教師在，他們會啟發學生：第一塊是真的倒下了，后來的前一塊又導致了后一塊的倒下，由此一直可以達到“無窮遠”……這里，我們究竟是用多米諾骨牌說明了數學歸納法，還是用數學歸納法說明了多米諾骨牌，已經分不清了（教師往往認為是前者）。但是，如果讓一個沒學過數學歸納法的人看多米諾骨牌，他并不能講出這些“道道”來。相反，學過數學歸納法的人，即使只看一眼多米諾骨牌，也能把里面的“道道”說得清清楚楚。

第四，數學歸納法應該從哪里產生？答案是：從數學現象里產生。比如，華羅庚先生的《從數學歸納法談起》就是從1+2+…+n=n（n+1） 2開始的。華先生談了“驗證”“不驗證”“遞推”“非遞推”“假遞推”等，一直到很高深的學術形態。

有了對驗證和遞推的邏輯結構的理解，再來看數學歸納法，就絕不是簡單的操作流程了。不但如此，我們還可以發現，那個流程其實并不那么重要，那些步驟掌握起來絲毫沒有困難。非但如此，我們還將產生如下的認識：數學歸納法也可以從k到k+2，只要驗證兩個（比如n=1和n=2）;也可以k到2k，也就是先完成n=2k型數的證明，再把2k和2k+1之間的數補證一下就可以了——這就是“第二數學歸納法”（相應地，前述的稱為“第一數學歸納法”）……毫無疑問，這些都不可能從多米諾骨牌里生成，只有在數學現象的“土壤”上才能長出這樣茂密的“森林”。

三、 情境教學與現象教學的關系

情境教學重在“發現”，現象教學重在“生成”，這就是情境教學與現象教學的區別。但是，“真實的情境就是現象”，因此，情境教學與現象教學天然相通，操作中的區別主要在于學習材料的真實性。情境教學的一切優秀成果都可以被現象教學所繼承，改進的只是對待知識的態度，而不在于具體的一招一式。然而，就是態度上的這一點改進，影響卻是巨大的，因為觀念才是具有根本的決定意義的。觀念是形而上的，招式是形而下的，因此，在“培養什么樣的人”這一問題上，現象教學有根本上有不同于情境教學的地方。

【案例3】“橢圓幾何性質”的現象教學

直接讓學生比畫或觀察橢圓圖形，可以結合畫圖的過程，感受拉線的不同位置（如圖2，每一條拉線都可以處于四個對稱的位置），或者結合圓的變換（壓扁后還對稱）等途徑。學生非常容易感覺到它是對稱的，于是把“橢圓”納入“對稱圖形”中，這就是把橢圓同化了。但“感覺”是不可靠的，還要證明。證明的途徑有兩條：幾何的和代數的。

先看幾何途徑。根據橢圓定義，回顧圖形的形成過程——拉線法作圖（從它來的地方認識它），很輕松地就可以知道：拉線的任何一個位置，都有與之對應的3個位置（只有4個特殊的點除外）。這個能不能作為證明呢？目前還不能。因為幾何上證明對稱性，首先要有對稱軸（中心）的存在，然后證明圖形上任意一點的對稱點仍然在該圖形上?，F在這個圖，對稱軸（中心）還沒有找出來，因此證明過程無法清晰有序地展開。

再看代數途徑。橢圓還有另一種表達形式，即方程。從（x，y）到（-x，y）、（x，-y）、（-x，-y）的變換等，也可以研究其性狀。其優點是：坐標軸和原點是天然存在的，代數運算又濃縮了邏輯推理過程，因而簡潔明了。

在教學過程中，以上兩種方法都應該讓學生感受一下，讓他們自己選擇（基本都會選擇代數法）。這樣，他們的數學體驗是自由而真實的，解析幾何的核心觀念（用代數方法研究幾何問題）也就變成了學生的自覺實踐，情感態度價值觀得到了充分的表達和強化。

在真實的現象面前，人的思考也是真實的。橢圓先有圖像，圖像怎么形成？拉線法作圖或者圓的壓伸變換，兩者都可以清晰地形成橢圓的形象。在橢圓的形象建立起來以后，它就成了我們面對的現象，對它的思考就是實在的了。而對性質的清晰認識，又加強了學生對橢圓實在性的感知，使他們頭腦里的認知結構更加清晰與穩固。

相應地，還有一種“更原始”的教學方法，那就是知識教學：教師告訴學生（或由學生看書本），橢圓是有對稱性的，然后證明給學生看（或者師生共同探究證明路徑）。這種方法曾經是教學的唯一方式，但學生只是記住了名詞，而不是生成了意義。

四、 未來的教育怎么樣

有用的知識一定不是孤立的，它表現為“知識+結構”。而結構一定不是發現的，它只能在人的頭腦中生成出來。我們所能“看見”的東西非常有限也非常膚淺，更多的知識不是看到的而是想到的。特別是在抽象知識的學習上，發現是無用的，必須借助于生成。

20世紀偉大的數學家、哲學家懷特海說：“在教師的意識里，孩子們是被送到望遠鏡前來觀察星星的;在兒童的心目中，教師給了他璀璨星空的自由通路”，“教育應該在研究中開始，在研究中結束”?？墒?，有多少教育是在記憶中開始，在記憶中結束的？出于改變的渴望，人們推行了情境教學法，也獲得了不菲的收益。但是很快又發現，那些用于解釋知識的情境雖然引發了思考，但是思考的還是知識，情境則成了用過即扔的跳板。從這個意義上說，以情境開場的教學極容易退回到知識教學中去，這也是目前實踐中呈現出的常態。必須有一種更為真實的、通向世界的教學，現象教學也就應運而生了。與知識教學、情境教學相比，現象教學追求對真實材料的思考，對一切自己不明白的知識都保持審慎的追問。這種精神上的獨立和超然對觀念的解放，才是最值得稱道的。由此，能夠更好地促進思想的自由以及創造力的激發。

【案例4】“二面角”能夠教學的三種樣態

第一種，知識教學。

告訴學生太陽運行的軌道面（黃道）與地球運行的軌道面（赤道）相交成二面角，地球上的經度也是指二面角（均提供圖形）。然后指出二面角是有大有小的，用以測量其大小的是二面角的平面角。最后給出嚴格的定義，并通過練習加以鞏固。

第二種，情境教學。

向學生展示容易看懂的材料，如筆記本電腦、書本、門等的開合，讓學生“發現”這里是有角的，接著“發現”這些角是有大有小的。告知他們用二面角的平面角來度量其大小，然后是鞏固練習比，包括變式練習。

第三種，現象教學。

讓學生拿出一張紙（矩形），完成下列活動：

（1） 你能不能把這張紙折成90°的角？——這時，學生還沒有“二面角”的概念，但是事實證明，他們能夠折出“90°的角”。這就是人的直覺，數學符合直覺，哪怕是最高深的數學，最初也都來源于直覺。

（2） 你能不能把這張紙折成60°的角？——同樣，學生也能完成。

（3） 你怎么確保折成的角就是所要求的度數（如90°或60°）？或者你怎樣證明折出的角符合要求？——學生會去度量矩形與折痕垂直的那一邊被折成的角的度數，他們的折痕普遍地與矩形的這個邊垂直，因此他們度量的其實就是二面角的平面角。

（4） 再折出120°、150°的角，可以嗎？——學生會有困難，但是還算“順手”。

（5） 請把紙撕成不規則的形狀，比如樹葉型，重復上面的活動?！@時，已經沒有現成的、與棱垂直的線可用，也就是說，沒有現成的“平面角”。而正是在這個更原始的材料中，學生感知到要度量的是什么角。在他們把塑料三角板插入折過的紙片里的時候，就已經真實地觸摸到了二面角的平面角。用90°、60°和45°完成真實感知后，再用120°、150°和135°加以強化，前者是可以實測的，后者則必須“作出與棱垂直的線”，這就已經是很清晰的“平面角”概念了。然后進行嚴密的數學化，形成概念。

（6） 在樹葉型紙片上把二面角的平面角制作出來?！褬淙~型紙片沿與棱垂直的線折起，沿折痕剪開。剪口就是與棱垂直的兩條線，翻折時剪口的邊沿始終是二面角的平面角。

第一種教學中，教師提供的素材都是人類已有的知識，可以說是真實的，但是離學生的生活經驗太遠，因而無法被真切地感知。其意義只能由教師告訴學生，學生的反應是：“哦，知道了?！?/p>

第二種教學中，教師所給的材料都是規范化的圖形，因為用以代表半平面的是矩形，有現成的邊與棱垂直。也就是說，二面角的平面角已經在那里，學生也能用那個角進行度量，幾乎沒有思維量。學生沒有形成二面角的平面角的機會，他們的反應是：“哦，看到了。”

二面角教學的關鍵在于“平面角”意義的建構。學生能夠看見二面角，但是二面角的平面角只能是抽象意義的生成。那兩條與棱垂直的線，不是“發現”的，而是“生成”的。后來頭腦里生成了它，眼睛才看見了它。矩形紙張、筆記本電腦等的開合都已經有了現成的圖形，會把學生的視線引向它們的邊沿，這就干擾了學生的概念生成。這些在情境教學里被認為是很好的材料，在現象教學里卻被認為是不合適的。第三種教學中，用樹葉型紙張折疊，并在其中“憑空”產生兩條與棱垂直的線，這才是思維的創造，是意義的自然生成。學生的反應是：“嗨，想到了！”

三種教學樣態，其教學目標、教學方式、學習方式以及知識觀、學生觀、課程觀等都是不一樣的（詳見表1）。

事實上，“現象”一詞早在20世紀30年代就已是哲學名詞，思想家們研究它已接近一個世紀。目前，“現象學”是最出成果的學術領域之一。重大思想總是首先進入哲學領域，然后才進入科學領域。如此說來，“現象教學”的提出也符合學術發展的一般規律。作為哲學上“現象學”的具體應用，現象教學的前途很可期待。未來的教育很可能是知識教學、情境教學、現象教學共存的局面，而在高年齡段中，現象教學應該是主流形式。勞作在人類認識前沿的思想家，所愿意面對的就只有現象，所有的現有知識都在他們的審視之列。

（孫四周，江蘇省蘇州市吳江盛澤中學數學教師，特級教師，正高級教師。著有《思維的起源》《現象教學》《現象教學案例選》等。）