在探索規律中滲透數學思想

【摘要】本文以《一一間隔排列》的兩次磨課實踐為例進行論述，認為教師應在引導學生探索規律的過程中滲透數學思想方法，挖掘規律中蘊含的思想，凸顯規律探究的方法。

【關鍵詞】《一一間隔排列》 數學規律 數學思想 磨課

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）45-0112-03

在小學數學教材中，探索規律是數與代數領域的基本內容之一，而《一一間隔排列》這一章節是教學的起始部分，根據教材的要求，教學過程要突出讓學生經歷探索和發現規律的過程，從中感受和體會特殊到一般的數學思想方法，培養學生的數學推理能力。為了實現這一目標，筆者進行了兩次磨課，并在磨課的過程中有了深入的思考。現將這個過程整理成文，與大家分享。

【第一次磨課】

一、課題引入，初步感知

筆者出示小兔子家的圖示（如圖1），讓學生仔細觀察小兔子和蘑菇的排列有什么特點，木樁和籬笆是怎么排列的，夾子和手帕是怎么排列的。（學生觀察后發現都是一個隔著一個排成一行）

筆者小結并板書：兩種物體一個隔一個地排成一行，叫做一一間隔排列。

二、引導學生深入探究

（一）比較發現

筆者出示列表（如表1），讓學生數一數、填一填、比一比，并說一說自己發現了什么。（學生發現每一組兩種物體的個數相差1）

（二）圈一圈找出原因

筆者讓學生把兩種物體（小兔和蘑菇，木樁和籬笆）看成一組，動筆圈一圈，然后說出自己的發現。（學生發現分組之后總會多出1個）

（三）思考規律

啟發學生思考：如果20只兔子站成一行，每兩只兔子中間有一個蘑菇，一共要多少個蘑菇呢？請大家想一想、畫一畫、算一算。（學生進行操作活動并交流展示）

（四）動手操作探究

筆者讓學生動手擺一擺：把方塊和圓圈一一間隔排列，方塊有10個，看看圓圈最少需要幾個，最多需要幾個？（學生操作后進行匯報交流）

【教學思考】初次教學實踐，課堂比較平穩，學生缺乏生機勃勃的活力以及積極探究的動力。主要表現在兩個方面：

（一）學生梳理數量關系有困難

課始，筆者讓學生觀察比較三組事物排列的共同特點，學生發現都是一個隔著一個排列，由此建立一一間隔排列的基本模型，但在第二個環節讓學生尋找數量關系時，學生出現了困難，讓學生歸納、完善并概括兩種物體的數量關系時，學生也看不出，想不到。

（二）學生被動執行教師的教學安排

尋找數量關系這個任務，教師提供給學生一個表格，但這個表格并不是學生主動探究的需求。教師主動告訴學生，要把一只兔子和一個蘑菇看成一組，這個方法學生也是被動接受的，他們并不知究竟。在整個教學過程中學生缺乏充分的體驗，缺乏自主發現的機會。

為什么會出現這樣的情況呢？究其原因，筆者認為有兩方面：一是內容結構安排影響了學生的思維發展。整節課中給學生呈現的素材較為單一，是間隔排列中唯一的一類“兩端物體相同”，學生在研究數量關系的時候，探究的只有這一種類型，思維產生了定式，進而影響了思維的發展，認為數量都是相差1的，這就導致學生在隨后的探究中無法找到新的排列可能。二是思想方法的滲透較弱。《一一間隔排列》這一內容中真正的內涵是一一對應，在整節課中，教師并沒有引導學生自主發現一一對應的數學思想，也沒有及時強化引導，而是讓學生自主理解和應用一一對應的思想方法。

綜合以上分析，筆者重新改進教學結構，緊扣一一對應這一思想方法，進行第二次教學實踐，思路如下：

1.創設現實情境。給學生創設一個比較熟悉的數學情境，選擇動態展示突出一個接著一個的排列過程，讓學生從中發現數量關系的特征。

2.設計操作活動。學生需要一個充足的空間進行操作，在操作中進行間隔排列的表象探究。教師可以給予學生引導，促進學生發現一一對應的規律。

3.建構數學結構。給學生呈現間隔排列的多種現象，其中包括封閉和不封閉的，有兩端相同的，也有兩端不相同的。通過這些不同的直觀表象，讓學生在比較中體會到數量之間存在著相等和相差的關系，從而幫助學生建構一一對應的數學結構。

【第二次磨課】

一、創設情境，從中發現規律

（一）導入情境

筆者給學生播放演員舞蹈視頻。讓學生根據演員上場的順序（女生—男生）來尋找規律。學生發現出場的規律是一個女生一個男生，再一個女生一個男生……

（二）觀察發現

筆者給學生出示國慶板報中的設計排版，讓學生找出其中的規律。學生發現板報排版是一盆花一棵樹，一個隔一個;還有的排版是一個燈籠一個中國結，也是一個隔一個。

（三）比較揭示

筆者讓學生結合以上兩種特定情境進行比較分析，看看有什么共同特征。學生發現，以上情形都是由兩種物體進行排列，并且是一個隔著一個進行排列。筆者引導學生舉出身邊的例子。學生認為教室的課桌椅也是一張桌子一把椅子一個隔著一個的。

（揭示課題：像這樣兩種物體一個隔著一個排列，叫做間隔排列）

最后，筆者再創設一個特定的問題情境：現在要做一幅畫，用紅貝殼和白貝殼一一間隔排列進行裝飾。

【教學思考】改進后的教學，給學生創設了一個有效的課堂情境，通過演員上場這個動態視頻給學生呈現一個間隔排列的例子，接著再給學生呈現多樣化的實例，借助這些豐富的現象，讓學生在觀察、比較和分析中深入體會，最終自然而然地發現間隔排列方式的特點。緊接著又創設一個問題情境，為接下來的課堂探究做好準備。

二、活動操作，深入探索規律

（一）自主猜想

筆者讓學生先自主猜想：現在有70個紅貝殼，要進行一一間隔排列，猜一猜需要多少個白貝殼？

學生猜想的答案有很多。筆者引導學生思考：怎樣才能夠準確地驗證呢？學生認為可以在紙上畫一畫、排一排，但是數量太大比較麻煩。此時，學生提出，可以將數量減少一點，這樣就可以通過畫一畫、排一排的形式，找到紅貝殼和白貝殼之間的數量關系，然后進行推算。

（二）活動探究

筆者將數據變小，讓學生開展探究活動：將學生分成多組，同桌互相合作，用5個紅貝殼進行一一間隔排列，看看怎樣找到紅貝殼和白貝殼數量之間的關系以及排列的特點。

（三）體驗一一對應

筆者讓學生將自己的排列情況進行匯報交流。有小組提出，將一個紅貝殼和一個白貝殼拴在一起，拴成一組一組，可以發現需要4個白貝殼，比紅貝殼少1個。（如圖2所示）

筆者引導學生思考：這樣一個對著一個有什么好處？學生認為，這樣一一對應會看得很清楚，一眼就能夠知道誰多誰少。

（四）呈現不同擺法

a組學生展示自己的擺法：一端是紅貝殼，另一端也是紅貝殼，兩端相同，紅貝殼比白貝殼多1個。

b組學生展示自己的擺法：左邊是紅貝殼，右邊是白貝殼，紅貝殼和白貝殼一一對應為一組，正好分完，數量相等。（如圖3）

c組學生展示自己的擺法：兩端都是白貝殼，白貝殼比紅貝殼多1個。（如圖4）

d組學生展示自己的擺法：左邊是白貝殼，右邊是紅貝殼，一對應分組排列，排列后分組沒有剩余。（如圖5）

（五）分類發現規律

筆者讓學生將這4種不同的擺法進行分類，并說出分類的依據和理由。學生將4種擺法移動分為兩類，一類是兩端物體不同，分組正好分完，數量相等;另一類是兩端物體相同，分組以后就會多出一個，數量相差1。

（六）實際驗證

筆者先出示男女生一一間隔排列課件的一部分（展現一端是男生，一端是女生），讓學生猜想男女生一一間隔排列的人數會怎么樣。學生認為，人數會相等，因為兩端不同，一一對應分組正好分完。（筆者出示完整課件，驗證學生的猜測是對的）接著筆者又出示花和樹的一一間隔排列課件的一部分，只呈現一端，另一端沒有呈現，讓學生猜想樹和花的數量會怎么樣。學生認為無法判斷。因為有兩種情況，如果另一端也是樹，那樹就比花多1，如果另一端是花，那么樹就和花的數量相同。（筆者出示完整的課件，驗證學生猜想是正確的）

（七）實際應用

筆者再次出示之前的特定問題情境：現在有70個紅貝殼，要一一間隔排列，需要多少個白貝殼？你猜對了嗎？

學生認為答案并不是唯一的，當兩端都是紅貝殼時，紅貝殼比白貝殼多1個，那么白貝殼就需要69個。當一端是白貝殼，另一端是紅貝殼時，這時候白貝殼要比紅貝殼多1個，就可能是70個。當兩端都是白貝殼，白貝殼比紅貝殼就要多1個，那么可能有71個白貝殼。

最后，筆者再出示首尾相連的一串貝殼，讓學生觀察白貝殼數量會怎么樣。學生指出，可以從接頭處解開，將貝殼串拉直。筆者從任意接頭處把貝殼解開并拉直，拉直后學生觀察到兩端不同，也就是白貝殼和紅貝殼的數量相等，即白貝殼有70個。

【教學思考】這次教學改進將“需要多少個白貝殼”作為一個問題主線，給學生設計了具有挑戰性的開放的任務。學生在任務的驅動下經歷了“猜想—驗證—建構”的探究過程。在課堂教學中，教師根據學生的實際學情精選活動內容，設計活動問題，讓學生產生自主解決問題的愿望，學生通過匯報、評議，最終找到了一一間隔排列的規律。此外，還通過豐富的例子支持，讓學生從排列的方式到數量的關系，再從排列的單一性到多元化的方法，最終完成了數學概念的抽象概括。這樣的學習更有深度，課堂也充滿了生命力。

通過兩次教學實踐，筆者有一個深刻的體會，即探索規律教學的重點，不是讓學生記住規律、應用規律，而是在教學過程中進行思想方法的滲透，挖掘規律蘊含的思想，凸顯規律探索的方法。在改進后的教學中，學生一開始認為貝殼的數量太多，要進行排一排、畫一畫太麻煩，所以提出要將數據變小，由此化繁為簡，進一步體會復雜的問題要善于簡單化。學生通過擺一擺、畫一畫，認識到間隔排列中“一個對著一個，一一分組”這種排列方式能夠讓別人一眼看出數量的多少。接下來學習探究“為什么兩端相同，兩種物體數量相差1？為什么兩端不同，兩種物體數量相等”的問題，在整個過程中，學生借助任務的推動，進行概念的建構，凸顯了間隔排列的內涵，即一一對應。

對學生而言，數學規律的學習內容也許會淡忘，會模糊，但是數學思想方法卻一直會根植于學生思維的深處。引導學生探究規律，最重要的是幫助學生深度挖掘其中蘊含的數學思想，筆者相信，這是探索規律教學的一條有效路徑。

【參考文獻】

[1]顧寅娟.在探索規律中發展核心素養——以《一一間隔排列》教學為例[J].數學教學通訊，2019（1）

[2]荊亞琴.重視探索規律教學 促進思維品質提升——蘇教版教材主題式“探索規律”的教學實踐與思考[J].小學數學教育，2019（10）

[3]劉新亞.順應學生思維 讓學習走向有效——對《間隔排列》教學的思考[J].數學之友，2019（3）

[4]丁愛平.歸納與演繹交融 知識與智慧共生——“間隔排列”教學實踐與思考[J].小學數學教育，2017（Z4）

作者簡介：全艷（1982— ），女，廣西興業人，大學本科學歷，一級教師，目前主要從事小學數學教學與研究。

（責編 林 劍）