淺談反證法及其應用

譚驥

【摘要】本文主要介紹了反證法及反證法的常用場合，本文把反證法的常用場合分為六點，分別是：① 命題結構采取否定形式，結論反面卻是肯定判斷;②有關唯一性的問題;③ 命題結論是“至多”“至少”的形式;④ 命題結論涉及無限集或數目不確定的對象;⑤ 某些起始命題;⑥ 命題結論的反面較結論本身具體、簡單，直接證明難以下手時.

【關鍵詞】反證法;應用;場合

曾有數學家贊揚反證法是“數學家最精良的武器之一”，它在數學證題中確有奇效.應該指出的是，多數題目用直接法證明較為簡捷.究竟什么類型的數學題可用這精良的武器去解決呢？對“若A則B”一類的數學命題，一般都可以用反證法來加以證明，當然沒有絕對的標準，但是遇到以下幾類問題時不妨試一試.

一、命題結構采取否定形式，結論反面卻是肯定判斷

例1?證明：方程x2+y2=1996沒有整數解.

分析?根據題目的意思，我們知道，因為1996是個偶數，所以x2，y2必須同為偶數或同為奇數，所以x，y必須同為偶數或同為奇數.我們根據這個條件去尋找矛盾.

證明：設原方程有整數解，則x，y必須同為偶數或同為奇數.

（1）若x，y同為偶數，令x=2m，y=2n，（m，n∈Z）則

4m2+4n2=1996，即m2+n2=499，①

滿足①的m，n必須是一個為偶數，一個為奇數.

令m=2m′，n=2n′-1（m′，n′∈Z）代入①得

4m′2+4n′2-4n′+1=499，

即4（m′2+n′2-n′）=498.②

②的左邊是4的倍數，而右邊不是4的倍數，矛盾，故①不成立，從而原方程沒有偶數解.

（2）若x，y同為奇數，令x=2m-1，y=2n-1（m，n∈Z）則

4（m2+n2-m-n）=1994.③

③的左邊是4的倍數，而右邊不是4的倍數，故原方程沒有奇數解.

由（1）（2）知，原方程x2+y2=1996沒有整數解.

二、有關唯一性的問題

例2?兩條直線相交，只有一個交點.

已知：a，b為兩相交直線.

求證：a，b只有一個交點.

證明?假定兩直線a與b不止有一個交點，則至少交于兩點.設這兩個交點為A，B兩點.這就是說，經過A，B兩點可以作兩條直線a，b，這和公理“經過兩點有且只有一條直線”相矛盾.故原命題成立.兩直線相交，只有一個交點.

三、命題結論是“至多”“至少”的形式

例3?設△ABC不是正三角形，則在∠A，∠B，∠C中至少有一個大于60°.

分析?學生們在做這類題的時候反設容易出錯，由題目我們知道，至少有一個內角不小于60°的意思是：∠A，∠B，∠C中，有一個不小于60°，或者有2個不小于60°，或者有3個不小于60°.那么，它的反面當然是有0個不小于60°，即∠A，∠B，∠C都小于60°.

證明?假設∠A，∠B，∠C都是不大于60°的角，則∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°.

從而∠A+∠B+∠C≤180°，

要使上式的等號成立，只能是∠A=∠B=∠C=60°.

于是，依題設△ABC不是正三角形，從而推出∠A+∠B+∠C<180°.

這與三角形的三個內角的和為180°相矛盾.

因此，原命題成立.

四、命題結論涉及無限集或數目不確定的對象

例4?證明素數有無限多個.

證明?假設素數是有限個，則必有最大的素數.記此最大的素數為p，作n=（2·3·5·7…p）+1.

n被任一個素數除時它的余數必等于1，即n除掉1與n外已無其他的約數.因此，n是個素數且是比p大的數.但這是與p為最大的素數相矛盾的，故原命題成立.

五、某些起始命題

例5?在同一平面內設有四條直線a，b，c，d.若a與b相交，c⊥a，d⊥b，則c與d也相交.

證明?假設c∥d.因為a⊥c，所以a⊥d;又因為b⊥d，所以a∥b.這與已知條件a與b相交矛盾，故c與d也相交.

六、命題結論的反面較結論本身具體、簡單，直接證明難以下手時

例6?在△ABC中，若tgA，tgB，tgC成等比數列，求證：△ABC為銳角三角形.

分析?從題目給我們的已知條件，我們沒法計算出∠A，∠B，∠C都是小于90度的角，所以我們只能從別的方面入手，因為tgA，tgB，tgC成等比數列，所以我們不妨從這方面進行考慮.

證明?由條件知tg2B=tgA·tgB>0，則A，C均為銳角.設B為鈍角，即tgB<0，則由tgA+tgC≥2tgA·tgC=2tg2B=-2tgB，得tgA+tgB+tgC≥-tgB>0.

但另一方面，在任意三角形中，有tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC<0.

這樣就導致矛盾，故假設不成立，因此，B為銳角，△ABC為銳角三角形.

七、總?結

反證法的用處很大，它不僅應用在初等數學中，還大量應用在高等數學中，應用反證法要注意以下幾點：1.推理過程必須完全正確.2.決不能忽視原命題的題設條件，否則可能無法推出錯誤，或者無法斷定所推導出來的結論是否是謬論.3.在應用反證法時，有時要做些準備工作，為應用反證法創造條件.4.在否定結論時，要分析可能有的各種情況，若有兩種或兩種以上的情況，要應用窮舉法，不能有遺漏.

反證法是一種簡明實用的數學證題方法，也是一種重要的數學思想.反證法的獨特思維方式和證題方法對提高學生創造性地分析問題和解決問題的思想素質有重要的意義.