淺談拉格朗日中值定理在證明等式中的應(yīng)用

張煜銀 田旭昌

【摘要】拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，建立起了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)之間的定量關(guān)系，成為我們討論由導(dǎo)數(shù)的已知性質(zhì)推斷函數(shù)所具有的性質(zhì)的有效工具.本文主要描述了拉格朗日中值定理的內(nèi)容，同時結(jié)合實例對拉格朗日中值定理在證明等式中的應(yīng)用進行探究.

【關(guān)鍵詞】拉格朗日中值定理;證明等式;應(yīng)用探究

在微積分中，羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理一般都稱為微分中值定理，這一組定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，而拉格朗日中值定理更是微分中值定理的核心，具有承前啟后的作用，是羅爾定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，更是泰勒公式的弱形式（一階展開式），它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率的關(guān)系.拉格朗日中值定理的應(yīng)用十分廣泛，比如，在求極限、證明等式、證明不等式、研究單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)估值方面都具有重要的意義，通常能將問題化難為易，下面主要對拉格朗日中值定理的內(nèi)容以及在等式的證明方面進行詳細的闡述.

一、拉格朗日中值定理的內(nèi)容

定理?如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么至少存在一點ξ∈（a，b），使得：f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

拉格朗日中值定理又稱為有限增量定理，其結(jié)論稱為拉格朗日公式，還有以下幾種等價形式：f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），a<ξb都成立，而ξ是介于a與b之間的某一定數(shù).

二、運用拉格朗日中值定理證明等式

（一）證明恒等式

眾所周知，如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間I內(nèi)是一個常數(shù)，那么f（x）在此區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)就恒為零.事實上，它的逆命題也成立，即：如果f（x）在某個區(qū)間I內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f（x）在I內(nèi)是一個常數(shù).這個結(jié)論稱為拉格朗日中值定理的推論.

例1?證明當(dāng)x≥1時，arctanx-12arccos2x1+x2≡π4.

證明?當(dāng)x=1時，等式顯然成立，當(dāng)x>1時，令 f（x）=arctanx-12arccos2x1+x2，

f′（x）=11+x2-12·-11-（2x1+x2）2·2（1+x2）-4x2（1+x2）2

=11+x2+1+x2x2-1·1-x2（1+x2）2=0.

由拉格朗日中值定理的推論可知，f（x）≡C（C為常數(shù)）.

令x=3，代入上式可求得C=π4.

綜上所述，當(dāng)x≥1時，arctanx-12arccos2x1+x2≡π4.

（二）證明含單中值的等式

在一些證明題中有時會出現(xiàn)這樣的情形：“如果抽象函數(shù)f（x）滿足一系列條件，需要證明至少存在一點ξ∈（a，b），使得含有f′（ξ）或者f″（ξ）的表達式等于0”.解決這類題型，關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，常用的方法是從結(jié)論入手，推測出輔助函數(shù)F（x）的形式.其步驟主要有三步：① 將結(jié)論中的ξ改為x，得到一個關(guān)于x的新方程G（x）=0;② 通過對方程G（x）=0進行變形、求不定積分等構(gòu)造出輔助函數(shù)F（x），這一步主要是將f（x）的導(dǎo)數(shù)進行降階，使方程的最高階數(shù)降低一階，需要注意的是，通常對方程 G（x）=0兩邊求不定積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)C需要省略;③ 驗證構(gòu)造的輔助函數(shù)F（x）滿足拉格朗日中值定理的條件，然后證明相應(yīng)的結(jié)論.

例2?設(shè)f（x）在[0，a]上連續(xù)，在（0，a）上可導(dǎo)，且f（a）=0，證明：存在一點ξ∈（0，a），使得f（ξ）+ξf′（ξ）=0.

分析?將結(jié)論中的ξ換成x，等式變成f（x）+xf′（x）=0，對等式兩邊同時求不定積分可得xf（x）=C，從而可構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=xf（x）進行證明.

證明?設(shè)F（x）=xf（x），則F（x）在[0，a]上連續(xù)，在（0，a）內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一點ξ∈（0，a），使得F（a）-F（0）=F′（ξ）（a-0），由f（a）=0可知，F(xiàn)（a）=F（0）=0，則F′（ξ）=0，即f（ξ）+ξf′（ξ）=0，故原結(jié)論得證.

（三）證明含雙中值的等式

有時一些證明題中還會出現(xiàn)更復(fù)雜的情形：“如果抽象函數(shù)f（x）滿足一系列條件，需要證明存在兩點ξ，η∈（a，b），使得含有ξ，η的導(dǎo)數(shù)滿足某個方程”.解決這類題型，需要兩次運用拉格朗日中值定理，同時要設(shè)法在ξ與η之間建立一座“橋梁”，建立起ξ與η之間的某種關(guān)系.其方法步驟主要有三步：① 從結(jié)論中的等式出發(fā)，將分別含有ξ與η的表達式放到一起;② 分析式子的特征，通過求不定積分等構(gòu)造出輔助函數(shù)F（x）;③ 對F（x）兩次運用拉格朗日中值定理，分別得到關(guān)于ξ與η的兩個表達式，然后整理可得相應(yīng)的結(jié)論.

例3?設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=0，f（1）=13，證明：存在ξ∈0，12，η∈12，1，使得f′（ξ）+f′（η）=ξ2+η2.

分析?首先將結(jié)論進行移項得（f′（ξ）-ξ2）+（f′（η）-η2）=0，再將ξ與η換成x后發(fā)現(xiàn)兩部分具有相同的結(jié)構(gòu)特點f′（x）-x2，積分求出輔助函數(shù)為F（x）=f（x）-13x3，然后在兩個子區(qū)間分別運用拉格朗日中值定理，最后對兩個等式進行整理即可證明.

證明?設(shè)F（x）=f（x）-13x3，則F（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一點ξ∈0，12，使得F12-F（0）=F′（ξ）12-0，

即2f12-112=f′（ξ）-ξ2，①

同理，至少存在一點η∈12，1，使得

F（1）-F12=F′（η）1-12，

即-2f12+112=f′（η）-η2.②

由①+②可得：f′（ξ）-ξ2+f′（η）-η2=0，

即f′（ξ）+f′（η）=ξ2+η2，故原結(jié)論得證.

三、結(jié)束語

在微積分中，拉格朗日中值定理是一個十分重要的知識點，涉及的領(lǐng)域十分豐富廣泛.本文主要探究了拉格朗日中值定理在證明等式方面的應(yīng)用，此外還可以研究函數(shù)的一些其他性質(zhì)，這些都需要我們從更多的角度去觀察、審視，真正體會到拉格朗日中值定理的重要價值.同時，通過探究，有助于開闊我們的數(shù)學(xué)視野，發(fā)展我們的數(shù)學(xué)思維能力，對拉格朗日中值定理也會有更加深入的認識.

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.微積分（第三版）：上冊[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）：上冊[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]李延波，刁爽.拉格朗日中值定理的應(yīng)用[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2017（2）：133-136.