圓錐曲線的切線問題研究

四川省宜賓市興文縣第二中學 肖 翔

過圓錐曲線上一點作切線，并求其切線方程，是學生在學習圓錐曲線知識的過程中一個頭疼的問題。學生在代入過程中容易犯錯，同時計算過程也容易出錯。針對圓錐曲線的切線問題，需要總結出規律，以便學生在高考中能輕松應對，提高解決圓錐曲線的題型的能力。

一、橢圓的切線問題

過橢圓上一定點作橢圓的切線方程與過橢圓外的一點作橢圓的兩條切線的切線弦。

1.過橢圓上的一點作橢圓的切線

解：當切線的斜率存在時，設過點P(x0,y0)的切線方程為y=kx+m，

代入橢圓方程得（b2+a2k2)x2+2kma2x+a2（m2-b2)=0，

當切線的斜率不存在時，過點P(x0,y0)的切線方程同樣滿足上式。

2.過橢圓外一點作橢圓的兩條切線，切點弦直線方程

解：設兩切點坐標分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∴此直線為切點弦AB 所在的直線方程。

二、雙曲線的切線問題

過雙曲線上一定點作雙曲線的切線方程與過雙曲線外的一點作雙曲線的兩條切線的切線弦。

1.過雙曲線上一定點作雙曲線的切線

解：當切線的斜率存在時，設過點P(x0,y0)的切線方程為y=kx+m，

代入雙曲線方程并化簡整理得a2k2-m2-b2=0，

當切線的斜率不存在時，過點P(x0,y0)的切線方程同樣滿足上式。

2.過雙曲線外一點作雙曲線的兩條切線，切點弦直線方程

解：設兩切點坐標分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∴此直線為切點弦AB 所在的直線方程。

三、拋物線的切線問題

過拋物線上一定點作拋物線的切線方程與過拋物線外的一點作拋物線的兩條切線的切線弦。

1.過拋物線上的一點作拋物線的切線

例5：已知點P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p＞0) 上的任意一點,求拋物線的切線方程。

解：過拋物線y2=2px(p＞0) 上的一點P(x0,y0)的切線方程為：y0y=p(x+x0)

同理可得，

過拋物線y2=-2px(p＞0) 上的一點P(x0,y0)的切線方程為：y0y=-p(x+x0)，

過 拋 物 線x2=2py(p＞0) 上 的 一 點P(x0,y0) 的 切 線 方 程 為：x0x=p(y+y0)，

過拋物線x2=-2py(p＞0) 上的一點P(x0,y0)的切線方程為：x0x=-p(y+y0)。

2.過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點弦直線方程

例6：已知點P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p＞0)外一點，過P 作拋物線的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B,求過兩切點A,B 的直線方程。

解：設兩切點坐標分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)

則點A(x1,y1)，B(x2,y2)都在直線y0y=p(x+x0)上，

∴此直線為切點弦AB 所在的直線方程。