變信賴域序列凸規劃RLV再入軌跡在線重構

宗 群，李智禹，葉林奇，田栢苓

(天津大學 電氣自動化與信息工程學院， 天津 300072)

可重復使用運載器(RLV)是指能夠自由往返于地球表面與空間軌道之間且可重復使用的多用途飛行器. 其再入過程往往伴有參數不確定和外界干擾[1-2]等問題. 為了保證飛行器安全穩定地再入飛行，對于再入段軌跡的優化與制導律的設計尤為關鍵. RLV再入軌跡優化的目標是生成滿足各種路徑約束(動壓、熱流密度和過載約束)、狀態和控制量約束以及邊值約束條件并實現某個最優目標的飛行軌跡，引導飛行器從再入起始點安全到達要求的終端區域內. 近年來求解軌跡優化問題運用較為廣泛的是偽譜法[3]，如Gauss偽譜法、Radua偽譜法等. 該方法將最優控制問題離散化為非線性規劃(nonlinear programming，NLP)問題，并通過數值方法求解NLP 問題來獲得最優軌跡. 然而偽譜法由于計算量較大、求解時間不確定，實時性難以保證[4]，難以應用到RLV的軌跡在線求解中.

與求解NLP問題相比，利用凸優化求解RLV再入軌跡優化問題在求解速度上具有較大的優勢，且具備全局收斂性，使得其在RLV軌跡在線求解上的應用成為可能. 文獻[5]將凸優化方法中的二階錐規劃方法應用于多約束再入軌跡優化問題，并對其全局收斂性進行了證明. 然而文章中對飛行速度采用近似化的能量函數進行逼近，軌跡求解的精確性可能因此受到影響. 在文獻[5]的基礎上，文獻[6]提出將序列凸規劃(sequential convex programming，SCP)方法用于求解帶有約束的行星再入軌跡優化問題，該方法具備良好的收斂速度，具有用于實時軌跡規劃的潛力. 序列凸規劃化的主要思想是通過求解序列近似凸子問題，實現子問題的解向原問題的收斂. 文獻[6]提出的算法使用固定的信賴域約束，然而固定的信賴域可能導致算法失去提升收斂性能的機會，算法收斂速度因此受到約束. 得益于其全局收斂性及優秀的收斂性能，序列凸規劃方法不似偽譜法那般依賴于初始狀態. 但序列凸規劃求解過程中仍存在初值猜測問題，若初始猜測軌跡與最優軌跡之間偏差較大，則需要較多的迭代次數，算法求解速度也相應下降. 此外文中討論的是終端時間固定的情況，對不確定的終端時間未做分析. 文獻[7]提出了一種信賴域更新策略的序列凸規劃方法，設計了高精度返回快速軌跡優化算法并應用于火箭返回著陸問題中，進一步提高了算法的快速性，然而文章未給出具體的信賴域更新策略. 本文提出了一種基于變信賴域策略的序列凸規劃算法，在傳統的序列凸規劃算法的基礎上，利用性能指標函數作為每次迭代后的判定條件，設計了信賴域更新策略，提高了算法的收斂性能. 此外在序列凸規劃求解過程中，利用預測校正算法解決序列凸規劃的初值猜測問題，加快算法的收斂速度，與此同時獲得了再入終端時間，解決了終端時間不確定問題. 本文將所提出算法與SNOPT優化包下的Gauss偽譜法和傳統的序列凸規劃進行軌跡優化仿真對比，表明所提出算法在收斂性能和計算速度方面有著顯著的提升.

考慮實際再入過程中，由于外界干擾導致飛行軌跡大幅度偏離參考軌跡以及在某些緊急情況下要求RLV臨時更換著陸場時，飛行器可能無法繼續按照原軌跡飛行，此時需要通過軌跡重構提供可行軌跡. 文獻[8]指出，突發情況下的軌跡重構需要解決兩大問題：一是要有快速軌跡優化算法保證可以在線計算重構軌跡；二是需要量化擾動對模型和飛行器約束的影響. 文獻[9]提出實時軌跡重構策略以解決著陸點變更問題，并采用滾動時域策略以抑制由軌跡求解消耗時間引起的狀態量跳變. 然而文章由于采用實時軌跡重構替代了制導律的作用，因此軌跡重構是無條件的、不間斷的，對于機載計算機負載過大. 本文針對RLV再入過程中遭遇的突發事件，在線對軌跡進行重構，并考慮軌跡重構耗時，預測實際軌跡重構初始點，以抑制可能產生的狀態量跳變. 在重構軌跡求解完成后，為了保證實時性的要求，本文采用基于LQR的制導律對重構軌跡進行跟蹤. 文中通過仿真將所提出方法與近年來發展迅速的預測校正制導進行對比，表明本文提出的軌跡重構策略在保證安全性、魯棒性的同時，具備良好的實時性. 本文首先對RLV再入軌跡優化問題進行描述，并提出變信賴域序列凸規劃軌跡快速求解方法，然后針對RLV再入返回中遭遇的突發事件進行軌跡重構并進行跟蹤制導，最后給出仿真結果以及結論.

1 再入軌跡優化問題描述

1.1 動力學模型

在RLV再入段，假設飛行器為無動力飛行的質點，考慮地球為旋轉橢球時，忽略再入過程中側力以及地球自轉的影響，并取側滑角為零. RLV再入三自由度運動方程[9]為

(1)

式中：r，θ，φ，v，γ，χ分別為地心距、經度、緯度、飛行速度、航跡角和航向角；σ為傾側角；m為飛行器質量；g為重力加速度，g=μg/r2，其中μg為引力參數；L為升力，L=qdSCL；D為阻力，D=qdSCD，其中S為RLV氣動參考面積，qd為動壓，qd=0.5ρv2；ρ為大氣密度，ρ=ρ0e-β(r-Re)/Re，其中ρ0為海平面處的大氣密度，Re為地球半徑，β為常值系數；升力系數CL和阻力系數CD表示為攻角α的函數，將在仿真中給出.

1.2 約束條件

在RLV再入過程中，為了保證安全穩定飛行，飛行器需要嚴格滿足一些約束條件，主要包括邊值約束、路徑約束和狀態量約束. 邊值約束規定了飛行器狀態量x=[r,θ,φ,v,r,χ]T，在再入中起點與終點處的取值，定義再入起點約束和再入終點約束分別為

x(t0)=x0,

(2)

x(tf)=xf.

(3)

再入過程常見的路徑約束包括熱流密度約束、動壓約束和過載約束,計算公式分別為

(4)

(5)

(6)

此外，受飛行器性能影響，在再入過程中，控制量u=[α,σ]T和狀態量x滿足的約束為

(7)

1.3 優化問題描述

綜合上述動力學模型和約束條件，考慮以終端狀態量和再入過程熱流、動壓、過載積分函數為指標的目標函數為

(8)

式中:tf為再入飛行總時間，φ[x(tf)]為與終端狀態量相關的函數，G(x)為與再入過程熱流、動壓、過載相關的函數. RLV再入軌跡優化問題P0可描述為：滿足條件式(1)～(7)，求解目標函數J1最小.

2 變信賴域序列凸規劃軌跡求解

2.1 問題的凸化

經過上一節的描述，針對問題P0求解可以得到再入最優軌跡. 但是問題P0是一個高度非線性的優化問題，其中動力學模型(1)、路徑約束式(4)～(6)、以及目標函數式(8)都是非線性、非凸的[5]，為了使用凸優化方法對問題進行求解，需要對問題P0中的非凸約束進行凸化處理.

2.1.1 控制量的重新選取

在凸化處理過程中，若僅針對現有控制量進行處理，會引入高頻抖振并對問題的收斂性產生影響[5]，因此需要引入新的控制變量. 動力學模型(1)中的控制量為攻角α和傾側角σ, 其中攻角α由攻角-馬赫數剖面確定，剩下需要設計的唯一控制量為傾側角σ. 引入新的輔助控制變量，從而實現控制量從狀態量中解耦，令新的控制量為

(9)

則運動方程式(1)可改寫為

(10)

(11)

B=[0 0 0 0 0 0 1]T.

(12)

值得注意的是，對于問題P1若存在最優解，那么該解是問題P0的一個可行解. 這是由于問題P1是在問題P0上引入了一個新的輔助控制變量，而問題P0中對于傾側角σ的控制量約束轉化為問題P1中的狀態量約束，問題P0的其他狀態量約束也包含在問題P1中，由此得到問題P1中的最優解滿足問題P0的所有約束，進而得出該解是問題P0的一個可行解.

2.1.2 線性化處理

為了使問題能夠利用凸優化求解，對問題P1進行凸化處理，對P1中的非凸約束進行線性化處理以將其轉換為線性的凸約束. 對軌跡優化問題P1中的非線性約束，包括運動方程式(10)、路徑約束式(4)～(6)以及目標函數式(8)，基于小擾動線性化理論進行線性化處理，在給定狀態點x′*(t)處利用一階泰勒展開式對方程進行逼近，有：

(13)

(14)

(15)

式中A(x′*)為f(x′)在x′*(t)處的雅克比矩陣，c(x′)=[c1(x′),c2(x′),c3(x′)]T.

基于泰勒展開式的特點，只有優化變量在參考點附近取值時，線性化的運動方程式和約束式才是對原非線性問題的良好近似. 因此為了盡可能地減小逼近誤差，保證線性化約束合理逼近原約束，引入信賴域約束：

|x′-x′*|≤ε,

(16)

式中ε為信賴域的半徑.

經過上述線性化處理，新控制量下的軌跡優化問題P1可轉化為凸優化問題P2：滿足條件式(2)、(3)、(7)、(13)、(14)、(16)，求解目標函數J2最小.

2.2 離散化處理

(17)

從那晚開始，哥倆就分享那個女人。那種骯臟的茍合同本地正派規矩格格不入，誰都不想了解細節。開頭幾個星期相安無事，但長此下去畢竟不是辦法。兄弟之間根本不提胡利安娜，連叫她時都不稱呼名字。但兩人存心找茬，老是鬧些矛盾。表面上仿佛是爭論賣皮革，實際談的是另一回事。爭吵時，克里斯蒂安嗓門總是很高，愛德華多則一聲不吭。他們互相隱瞞，只是不自知而已。在冷漠的郊區，女人除了滿足男人的性欲，供他占有之外，根本不在他眼里，不值得一提，但是他們兩個都愛上了那個女人。從某種意義上來說，這一點使他們感到丟人。

(18)

(19)

經過離散化處理，凸優化問題P2的最優解可通過求解離散序列凸規劃問題P3得到，問題P3可表示為：滿足條件式(2)、(3)、(7)、(16)～(18)，求解目標函數J3最小. P3的收斂性證明在文獻[6]中可以找到，本文不贅述.

2.3 變信賴域序列凸規劃

2.3.1 初始軌跡求解

(20)

|z(σ0)|=|s(ef)-sf|=0.

(21)

式中待飛航程s(e)=arccos[sinφsinφf+cosφcosφfcos(θf-θ)]. 由式(1)、(20)可得到以能量為自變量，關于航程、高度和航跡角的運動方程為

(22)

在給定的攻角剖面下，由上一次迭代的傾側角對式(22)積分得到預測航程差，基于預測航程差利用Gauss-Newton法式(23)對傾側角進行迭代處理，直到預測航程差滿足終端約束，從而得到最終可行的傾側角幅值. 并在側向上則采用側向反轉邏輯以縮小航向角誤差，從而確定傾側角的符號. 最終得到滿足再入要求的傾側角指令：

(23)

2.3.2 變信賴域策略

得到初始猜測軌跡后，在序列凸規劃后續迭代過程中，考慮式(16)中的信賴域，信賴域半徑ε的大小決定了序列凸規劃的收斂性能：若ε過大，則問題P3可能大幅度偏離原問題從而難以收斂；若ε過小，則迭代步長受到限制從而導致算法收斂速度不夠快. 因此，為了提高序列凸規劃的收斂性能，在傳統的序列凸規劃的基礎上提出了變信賴域策略：在每次迭代求解后，對比相鄰迭代的實際性能指標函數ψ′與預測性能指標函數ψ，并基于對比結果設計信賴域更新策略. 實際性能與預測性能指標函數分別表示為

(24)

(25)

式中μ1、μ2分別為違反運動方程約束和違反路徑約束的懲罰因子.J′、hi′、Ci′分別表示為

(26)

(27)

(28)

實際性能指標函數給出了實際的離散點處的性能指標，相鄰迭代的差值Δψ′=|ψ′(x′k,u′k)-ψ′(x′k-1,u′k-1)|則給出了序列凸規劃算法中每一次迭代對于軌跡性能的提升，將之與相鄰迭代間基于線性化的預測性能指標函數差值Δψ=|ψ(x′k,u′k)-ψ(x′k-1,u′k-1)|進行對比，可以判斷出當前信賴域是否有利于收斂性能的提升.

2.3.3 變信賴域序列凸規劃求解

綜合上述初始軌跡求解與信賴域更新策略，得到基于變信賴域序列凸規劃的最優軌跡求解步驟如下，整體軌跡優化流程如圖1所示.

步驟2對于k≥1，在第k次迭代中對離散序列凸規劃問題P3利用前一次的軌跡xk-1求解得到[x′k,u′k].

步驟3檢查序列收斂條件sup |x′k-x′k-1|≤δ是否滿足，其中k≥2,δ為迭代收斂閾值. 若條件滿足，則轉至步驟5，否則轉至步驟4.

步驟4計算預測性能指標函數ψ，和實際性能指標函數ψ′，并對Δψ=|ψ(x′k,u′k)-ψ(x′k-1,u′k-1)|和Δψ′=|ψ′(x′k,u′k)-ψ′(x′k-1,u′k-1)|進行對比. 若Δψ≥ξΔψ′,ξ為給定的系數，則當次序列迭代過程中性能指標提升幅度相對較小，可以適當放大信賴域ε=β1ε，以尋找更適合的收斂步長. 反之，則縮小信賴域ε=β2ε(0<β2<1<β1). 然后令k=k+1，轉至步驟2.

步驟5得到最優軌跡xk，迭代停止.

圖1 整體軌跡優化流程圖

3 突發事件下的軌跡在線重構與跟蹤制導

在實際再入飛行過程中，在正常飛行狀態下，通過制導實現對參考軌跡的跟蹤以消除不確定帶來的影響；當遭遇突發事件時，則需要在線重構軌跡作為飛行器新的跟蹤目標. 本節研究了突發事件下再入軌跡快速重構方法，分析突發事件對約束條件及飛行目標的影響，結合上一節的內容實現軌跡在線快速重構，并結合LQR方法實現對重構軌跡的跟蹤制導.

3.1 軌跡快速重構

針對飛行過程中遇到的突發事件，首先考慮RLV偏離參考軌跡的情況，當外界突發干擾導致飛行器大幅度偏離參考軌跡，產生控制系統無法有效修正的大跟蹤偏差，此時針對原定目標點進行軌跡重構. 為了減少機載計算機的負荷，引入重構閾值走廊的概念. 重構閾值走廊基于飛行走廊HC進行設計. 飛行走廊HC下邊界HCL為飛行器滿足熱流、動壓以及過載約束的最低飛行高度；HC上邊界HCU由擬平衡滑翔約束式(29)得到，對于確定的傾側角σQEG，擬平衡滑翔約束即為H-V走廊上邊界.

(29)

根據飛行走廊確定RLV的軌跡重構條件，設置閾值參數ζ1,ζ2∈[0,1]，飛行器再入重構閾值可表示為

(30)

式中H*(v)為離線最優軌跡高度，Hmax(v)為軌跡重構上邊界閾值，Hmin(v)為軌跡重構下邊界閾值.

當飛行器大幅度偏離參考軌跡，超出重構閾值走廊時，此時基于傳統的制導方法已無法消除偏差，需要進行軌跡在線重構求得新的參考，軌跡優化算法在上一節中已經給出. 這種情況下，飛行器本身模型以及終端約束都沒有發生改變，相較于上一節給出的軌跡優化算法，改變的僅僅是問題的初始條件x0. 假設軌跡重構的開始時間為tc，相應的狀態量以及控制量為xc和uc，若以xc作為軌跡重構的初始狀態，由于軌跡重構需要消耗一定的時間，軌跡重構完成時，實際的狀態量與xc將產生偏差. 因此，在tc時刻，對Tave后的狀態進行預測，Tave為離線軌跡庫中軌跡求解的平均時間.tr=tc+Tave處的狀態量xr可由機載計算機根據當前狀態量xc和uc，采用預測校正制導方法通過積分預測得到. 以此預測的狀態量xr作為軌跡重構的初始條件x0從而消除軌跡重構求解時間帶來的狀態量偏差.

考慮飛行目標終點變更的情況，此時的首要目標是求得飛行器當前可達到的終點區域，以選擇可行的飛行目標終點. 計算飛行器的可達域實際上是計算可達域的邊界[12]. 求解完整的可達域邊界可分為兩步：1)求解初始狀態下的最大經度θmax、最小經度θmin、最大緯度φmax和最小緯度φmin. 2)將目標函數式(8)中的關于終端狀態量的部分選取為經度與緯度的加權組合，即φ[x(tf)]=w(±θf)+(1-w)(±φf)，式中w∈[0,1]為權重系數，并進行優化求解. 其次，機載計算機便預測Tave′之后，在預測校正制導的作用下，軌跡重構的初始狀態xr，其中Tave′為包含可達區域求解的軌跡重構平均耗時. 之后以xr以及在可達區域內重新選擇的目標終點作為軌跡優化問題的初始約束和終端約束,基于變信賴域序列凸規劃算法完成重構軌跡的求解.

3.2 軌跡跟蹤制導

綜合考慮對軌跡的跟蹤性能與實時性的需求，本文采用LQR這一較為成熟的制導方法實現軌跡跟蹤. LQR需要在制導采樣點處進行小擾動線性化處理，得到如式(13)所示的用于求解反饋增益的線性時變系統，而線性化的泰勒展開點則可以從前文中得到的收斂性能較好的離散點中選擇.

4 仿真與分析

為了驗證設計算法的性能，本文以文獻[14]中的RLV模型為例，基于MATLAB 2016a環境實現算法的仿真實驗. PC機配置為core i5-8500，主頻3 GHz，8 GB內存.

為了驗證本文提出的變信賴域序列凸規劃算法，進行仿真實驗并將結果與傳統的序列凸規劃算法以及基于非線性規劃求解器SNOPT[17]的Gauss偽譜法進行對比. 仿真給定初始條件以及終端約束見表1，考慮終端緯度最大的問題，性能指標函數設定為J=-φ(tf). 再入軌跡對比仿真結果如圖2所示. 圖3給出了變信賴域序列凸規劃算法與傳統序列凸規劃收斂情況的對比，圖中紅線和綠線分別表示傳統序列凸規劃算法和變信賴域序列凸規劃算法的迭代收斂過程.

表1 初始條件和終端約束

(a) 高度-速度

(b) 經度-緯度

(c) 航跡角-時間

(d) 航向角-時間

(e) 傾側角-時間

圖2 變信賴域序列凸規劃與SNOPT和傳統序列凸規劃仿真結果對比

Fig.2 Comparison of simulation results of variable trust region SCP with SNOPT and traditional SCP

圖3 變信賴域序列凸規劃與傳統序列凸規劃收斂情況對比

Fig.3 Comparison of convergence between variable trust region SCP and traditional SCP

從圖2中可以看出變信賴域序列凸規劃、傳統的序列凸規劃和SNOPT得到的軌跡大體趨勢是吻合的. 變信賴域序列凸規劃由于引入了預測校正初始軌跡以及變信賴域策略，收斂性能優于傳統的序列凸規劃. 從傾側角曲線可以看出，序列凸規劃得到的控制曲線存在著抖動. 總體來說，基于SNOPT的偽譜法得到的軌跡依然是三者中優化性能較好的. 但是考慮求解時間方面，序列凸規劃相較于SNOPT則具有顯著的優勢. 仿真得出采用SNOPT方法的軌跡求解CPU時間為55.067 s，采用SCP方法的軌跡求解CPU時間為11.124 s，采用變信賴域SCP方法的軌跡求解CPU時間為5.892 s. 此外，圖3給出了變信賴域SCP與SCP在收斂效率上的對比，圖中紅色實線代表SCP收斂迭代過程，藍色點劃線代表變信賴域SCP迭代過程，SCP求解迭代7次，變信賴域SCP求解迭代3次. 通過上述仿真對比，驗證了變信賴域序列凸規劃算法在收斂性能和求解速度上的改進.

良好的求解速度以及較好的求解性能使得變信賴域序列凸規劃算法具備應用于軌跡在線重構的潛力. 分別針對大幅度偏離參考軌跡、飛行目標終點變更的情況進行軌跡重構仿真.

首先針對大幅度偏離參考軌跡情況，考慮沿離線最優軌跡飛行至某一狀態點處x=[51 800 m, -7, 26°, 4 017 m/s，-0.17°, 60°]T，給定外界擾動帶來的偏差Δh=5 000 m，Δv=100 m/s，采用ζ1=ζ2=0.2的閾值走廊，軌跡重構結果如圖4所示，從圖4可看出在擾動作用下，軌跡超出閾值重構走廊，需要進行軌跡在線重構，基于本文提出的軌跡重構方法，可以在短時間內生成一條滿足約束的最優軌跡，求解CPU時間為5.73 s. 圖5給出了基于LQR制導律對初始參考軌跡以及重構軌跡跟蹤的結果以及擾動下若對原參考軌跡進行跟蹤或者采用預測校正制導律的制導結果. 從圖5中可以看出，過大的偏差導致LQR制導律不具備跟蹤原參考軌跡的能力，若依然對原參考軌跡進行跟蹤，產生的軌跡將逐漸偏離最優軌跡，如圖中黑色虛線所示，而重構后的軌跡能很好地滿足LQR制導律的跟蹤條件，引導飛行器安全再入返回，如圖中紅色實線所示. 此外，由于重構軌跡求解時間預測策略的存在，軌跡重構時初始狀態量偏差處于很小的范圍內，重構求解平均時間取Tave=6 s. 與預測校正制導進行對比，采用預測校正方法得到的軌跡僅僅是一條可行軌跡，而非本文中得到的最優軌跡. 在求解制導指令速度方面，預測校正制導每次求解需要經過45次迭代，總用時0.265 s；而LQR制導律每次求解僅需0.04 s. 綜上所述，基于軌跡重構的LQR制導律在實時性和軌跡性能上都優于預測校正制導.

圖4 大幅度偏離軌跡下的軌跡重構

圖5 大幅度偏離軌跡下的跟蹤制導

考慮與大幅度偏離參考軌跡情況下相同的狀態點處變更目標終點，基于可達域選擇新的目標終點[θf,φf]=[10°， 30°]，三維軌跡重構與LQR跟蹤制導結果如圖6所示，重構后的軌跡引導飛行器飛向新的目標終點.

圖6 目標終點變更下三維軌跡重構與跟蹤制導

Fig.6 Three-dimensional trajectory reconstruction and guidance after target change

5 結 論

1)針對RLV的軌跡再入軌跡重構問題，提出變信賴域序列凸規劃算法對再入軌跡在線快速求解.

2)在傳統序列凸規劃算法的基礎上，采用預測校正算法求解序列凸規劃的初始迭代軌跡，以此提升算法的收斂效率，此外為了加快算法收斂速度，設計了信賴域更新策略.

3)基于提出的軌跡快速求解算法，針對RLV再入過程中可能發生的如大幅度偏離參考軌跡及目標點變更等突發事件，在線重構軌跡并考慮軌跡重構耗時，對實際軌跡重構初始點進行了預測以抑制可能出現的狀態量跳變，同時基于LQR制導方法實現對參考軌跡的快速跟蹤.

4)仿真結果表明所提出的軌跡求解算法具備良好的收斂性能以及求解速度，重構軌跡能夠有效地引導RLV再入返回.