在本科物理專業(yè)教學中引入隨機矩陣理論的必要性及可行性分析

徐震宇

摘? 要：隨機矩陣理論是20世紀發(fā)展起來的重要數(shù)學理論，目前被廣泛應用于物理、生物、通訊、金融等領域。近十年來，隨機矩陣理論與物理前沿研究結(jié)合更為緊密，是研究開放量子系統(tǒng)、拓撲絕緣體、反德西黑洞等領域的一個有力工具。然而，目前物理學本科生或研究生很少有接觸過這一理論。文章將通過介紹隨機矩陣理論的基本概念，以此分析將隨機矩陣理論引入本科物理教學中的必要性及可行性。

關鍵詞：隨機矩陣理論;數(shù)學物理;教學

中圖分類號：G642? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2020）07-0072-03

Abstract： Random matrix theory is an important mathematical theory developed in the 20th century. It is widely used in physics， biology， communication， finance and other fields. In the past decade， the combination of random matrix theory and physical frontier research has become a powerful tool for the study of open quantum systems， topological insulators， and anti-de Sitter space. However， physics undergraduates or graduate students are rarely exposed to this theory. This paper will introduce the basic concepts of random matrix theory， and then analyze the necessity and feasibility of introducing random matrix theory into undergraduate physics teaching.

Keywords： random matrix theory; mathematical-physics; education

引言

隨機矩陣理論（Random Metrix Theory）誕生于1928年，在上世紀50年代末首次應用于物理學中，用來模擬重原子核的哈密頓量。近年來，隨機矩陣理論在開放量子系統(tǒng)、反德西時空中的黑洞物理，凝聚態(tài)物理中的拓撲絕緣體等物理前沿研究領域，以及在無線通訊、生態(tài)穩(wěn)定性及金融數(shù)學等其它領域中都有重要的應用。為了紀念及進一步發(fā)展隨機矩陣理論，2018年國際著名數(shù)學物理雜志《Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical》專門開辟了一個專輯，用來發(fā)表隨機矩陣理論的最新研究進展[1]。然而，國內(nèi)本科或研究生物理專業(yè)目前卻很少有開設隨機矩陣理論這門課程。事實上，初等隨機矩陣理論涉及大量矩陣及特殊多項式的內(nèi)容，是綜合運用已學大學數(shù)學物理知識的一個非常好的載體。況且隨機矩陣理論本身又與大量前沿研究相關，因此，在本科物理教學上應該有所體現(xiàn)。本文將首先簡單介紹隨機矩陣的發(fā)展歷史、基本概念及最新研究方向，然后簡要分析在數(shù)學物理課程教學中引入初等隨機矩陣理論的可行性。

一、隨機矩陣理論

關于隨機矩陣的研究最早可追溯到上世紀二十年代。蘇格蘭統(tǒng)計學家John Wishart首次提出了后來以其名字命名的Wishart分布。此分布是一種半正定矩陣隨機分布，在矩陣分析中有重要作用。

顧名思義，隨機矩陣的矩陣元可以是各種類型的隨機變量。那么，作為一個數(shù)學上引入的抽象概念，隨機矩陣理論又是怎樣與物理學產(chǎn)生聯(lián)系的呢？為什么某些物理系統(tǒng)的哈密頓量可以用隨機矩陣來描述呢？能夠用隨機矩陣描述的物理系統(tǒng)對隨機矩陣本身又有什么樣的限制呢？盡管在二十世紀上半葉，廣義相對論和量子力學已經(jīng)建立，但可嚴格求解的物理系統(tǒng)是非常有限的，絕大多數(shù)都是單體系統(tǒng)。但實際的量子物理系統(tǒng)往往是多體問題。這個多體可能是兩體、三體、甚至上百。比如在上世紀50年代，物理學家們開始關注重原子核的能級問題。而重原子核是由大量質(zhì)子和中子組成的多體系統(tǒng)，這樣復雜的系統(tǒng)往往連哈密頓量也很難準確寫出來，更不用說理論上去精確計算其能級了。在1956年橡樹嶺國家實驗室舉辦的一次會議中，物理學家們提出了這樣一個問題：對于重原子核，它們的能級間隔分布究竟是怎樣的？此時，作為聽眾的匈牙利-美國理論物理學家及數(shù)學家Eugene Wigner教授，起身在黑板上寫下了這個公式：

從圖1中可以看出，這種分布有別于泊松分布，重原子核的能級之間不會無窮靠近，也不會無窮遠分離。能級間的排斥效應和吸引效應達到平衡，最大概率是一個有限大小的數(shù)值。

以隨機矩陣的一種——高斯正交系綜（Gaussian Orthogonal Ensemble，簡稱GOE）為例，相鄰兩能級之間的距離為s的概率分布。排斥和吸引達到平衡。

Wigner教授當時并沒有做過多解釋，因此后來人們就把此能級間隔的概率分布函數(shù)稱之為“Wigner的猜測”[2]。Wigner教授的理論其實是將哈密頓量用隨機矩陣來描述。這一想法聽起來有點瘋狂，但其預言的諸多理論隨后都在實驗上得到了證實，使得隨機矩陣理論與量子物理之間看似沒有關聯(lián)的兩個理論聯(lián)系了在一起。

雖然Wigner給出了重核原子相鄰能級間隔概率分布的公式，但當時物理學家們并不清楚隨機矩陣與量子系統(tǒng)的哈密頓量的具體聯(lián)系。然而隨機矩陣的種類有很多種，什么樣的隨機矩陣可以用來描述量子系統(tǒng)的哈密頓量呢？在上世紀60年代，美國物理學家及數(shù)學家Freeman Dyson發(fā)表了一系列關于隨機矩陣理論的論文，為隨機矩陣理論在物理系統(tǒng)中的應用奠定了基礎。Dyson教授根據(jù)物理系統(tǒng)時間反演下的變換性質(zhì)將隨機矩陣分成三種類型：高斯正交系綜（Gaussian Orthogonal Ensemble，簡稱GOE），高斯酉系綜（Gaussian Unitary Ensemble，簡稱GUE）和高斯辛系綜（Gaussian Symplectic Ensemble，簡稱GSE）[3]。這里我們采用一種不是很嚴格但比較簡化的處理方法來說明問題[2]，我們希望哈密頓量的本征概率密度不會隨著相似變換而改變，即

當H為實矩陣時，U為正交矩陣，而H的矩陣元都是采用高斯分布，故把這種類型叫做高斯正交系綜;當H為復厄米矩陣時候，U為酉矩陣，此時H被稱為GUE;同理，當H為對偶四元數(shù)時候，U為辛矩陣，故稱GSE。更嚴格的數(shù)學定義可參考文獻[3]。

對于一個N×N維的隨機矩陣H而言，我們往往對其本征值的概率分布感興趣（對應于物理系統(tǒng)能量本征值的概率分布）。N個本征值的聯(lián)合概率密度可以表示為[3]：

其中內(nèi)核KN（λk，λl）可以表示為

其中？準j（λk）：=eπj（λk），π（·）是大家熟知的厄米多項式[4]。比如，譜密度分布就可以通過相應的積分得來，

在這里我們以N=20維的GUE為例。紅色（實線）代表譜密度的真實值，藍色（虛線）代表當N→∞時候的漸進值。這里我們采用了M. L. Mehta書上的習慣，對 （λ）的歸一化做了修改，使其歸一化為N[3]。

當隨機矩陣的維度趨于無限大，即N→∞的時候，譜密度可以寫成如下形式：

ρ（λ）=

H的本征值分布落在區(qū)間[-，]上。如圖2所示，整個概率分布呈半圓狀分布，這就是著名的Wigner半圓定理。

類似地，兩點關聯(lián)函數(shù)可以由多點關聯(lián)函數(shù)得到

而兩點關聯(lián)函數(shù)中的KN（λ1，λ2）在N→∞的時候趨近于

這與著名的黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點的兩點關聯(lián)函數(shù)直接相關。對黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點與隨機矩陣之間的關系感興趣的讀者，可以進一步參考盧昌海教授所著的科普著作《黎曼猜想漫談》[5]。

二、隨機矩陣理論在物理前沿中的應用舉例

作為隨機矩陣理論在前沿研究中的應用，這里簡單介紹下作者與其合作者在今年年初關于隨機矩陣理論與量子退相干的一個工作。量子退相干是解釋量子-經(jīng)典過渡的重要途經(jīng)之一，也是量子信息與量子計算實現(xiàn)過程中必須要面對的基本問題。物理學中著名的薛定諤的貓就與量子退相干有重要聯(lián)系。退相干通常歸因于量子系統(tǒng)與周圍環(huán)境之間的相互作用。然而，它也可能來自系統(tǒng)演化中的隨機漲落，比如連續(xù)觀測和經(jīng)典噪聲。如果對噪聲過程進行平均，退相干在整體視角中就會表現(xiàn)出來。因此，通常，退相干隨著系統(tǒng)尺寸而增加。這意味著對涉及大量粒子和自由度的復雜量子系統(tǒng)的量子信息處理，退相干是一個不得不面對的挑戰(zhàn)。雖然如前所述，退相干隨著系統(tǒng)的尺度增加而增加，但極限速率到底是多少呢？作者和合作者發(fā)現(xiàn)，由GUE描述的量子漲落混沌系統(tǒng)將展現(xiàn)出極端的退相干性質(zhì)[6]。與常見的k-體相互作用的物理系統(tǒng)相比，這種極端退相干率將隨粒子數(shù)呈指數(shù)方式增長，即

D∝d

其中，d代表系統(tǒng)的希爾伯特空間維度。這是一種全新的退相干方式，此理論結(jié)果將有助于理解波函數(shù)客觀塌縮機制，對黑洞物理學及量子計算的實現(xiàn)也有重要意義。

三、在物理專業(yè)教學中引入隨機矩陣理論的可行性分析

除了在量子退相干方面的應用，隨機矩陣理論還在量子光學、量子色動力學、二維量子引力中有重要應用。除此之外，隨機矩陣理論還在數(shù)論、無限通訊、神經(jīng)網(wǎng)絡、金融分析中有重要應用。但據(jù)作者調(diào)研，很少有物理專業(yè)學生和教師了解或接觸過隨機矩陣理論，這不得不說是件很遺憾的事情。

從初等隨機矩陣理論基礎來講，比如它只涉及微積分中的積分變量代換;線性代數(shù)中的Jacobi行列式;概率統(tǒng)計中的概率分布;特殊函數(shù)概論中的常用多項式性質(zhì)等等。因此，初等隨機矩陣理論的介紹完全可以放到本科物理專業(yè)的《數(shù)學物理方法》或者《統(tǒng)計物理》課程中去。當然，如果要做前沿研究，還必須掌握黎曼幾何，這可以在研究生階段單獨開課，或者放到研究生基礎課程，比如《高等統(tǒng)計物理》中去。因此，我認為在物理專業(yè)教學中引入隨機矩陣理論是完全可行以及必要的，也是給年輕的物理學學生將所學知識運用到物理前沿研究的一個非常好的載體。

四、結(jié)束語

本科物理專業(yè)傳統(tǒng)的數(shù)學教學大多局限于《高等數(shù)學》、《線性代數(shù)》、《概率統(tǒng)計》及《數(shù)學物理方法》等課程，學生往往學了很多數(shù)學知識及技巧，可一旦接觸物理前沿研究卻又發(fā)現(xiàn)所學數(shù)學知識完全無法滿足需要。這有礙于培養(yǎng)具有創(chuàng)新能力的新時代物理學專業(yè)人才。作者認為若將隨機矩陣理論引入到本科物理專業(yè)的數(shù)學教學中去，將是一次有意義的教學探索，將有助于學生了解物理研究的最前沿，極大提高學生今后從事科學研究的能力。

參考文獻：

[1]Giulio Biroli， Zdzis？覥awBurda， Pierpaolo Vivo. Random Matrices： the first 90 years[C].Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical， 2018.

[2]G. Livan， M. Novaes， and P. Vivo. Introduction to Random Matrices： Theory and Practice[M].Springer， New York， 2018.

[3]M. L. Mehta. Random Matrices[M].Elsevier， San Diego， 2004.

[4]梁昆淼.數(shù)學物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.

[5]盧昌海.黎曼猜想漫談[M].北京：清華大學出版社，2016.

[6]Zhenyu Xu， Luis Pedro García-Pintos， AurieliaChenu， and Adolfo del Campo. Extreme Decoherence and Quantum Chaos[J]. Physical Review Letters， 122， 014103 （2019）.