培養(yǎng)幾何直觀能力 提升代數(shù)教學(xué)質(zhì)效

尤鵬輝（福建省三明市第三中學(xué)）

幾何直觀就是依托、利用圖形（像）進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考與想象，它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。幾何直觀是學(xué)生解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的一種方法與手段，也是學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題必須具備的一種能力。它能將抽象思維同形象思維結(jié)合起來，充分展現(xiàn)問題的本質(zhì)，能夠幫助學(xué)生打開思維的大門，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)，是開啟智慧的鑰匙。借助幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，有助于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的形成，有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可以為學(xué)生今后進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

一、培養(yǎng)幾何直觀能力，有利于學(xué)生直觀感知能力的提高

心理學(xué)上將感覺和知覺合起來叫做感知，感知就是人們通過感覺器官對(duì)各種事物的直接認(rèn)識(shí)。感知雖說是初級(jí)的心理過程，但對(duì)學(xué)生的心理發(fā)展卻是個(gè)基礎(chǔ)，具有十分重要的作用，提高直觀感知能力有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受。而培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力就是在教學(xué)中，關(guān)注學(xué)生的基本生活經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)歷，注重引導(dǎo)學(xué)生把生活中對(duì)圖形的感受和數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立起聯(lián)系，讓學(xué)生在積極參與中發(fā)現(xiàn)知識(shí)，探究知識(shí)，掌握知識(shí)。

如：在進(jìn)行七年上冊(cè)《5.3日歷中的方程》教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生課前準(zhǔn)備幾張日歷，在課堂中引導(dǎo)學(xué)生看著日歷觀察日歷中數(shù)與數(shù)的特點(diǎn)，通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)讓學(xué)生盡可能自己發(fā)現(xiàn)日歷中數(shù)字之間關(guān)系，直觀體會(huì)日歷中數(shù)與數(shù)之間的規(guī)律。這種利用學(xué)生對(duì)生活中圖形的直觀感受得到結(jié)論，不但有利于課堂教學(xué)，也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。既培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力，也讓學(xué)生體驗(yàn)、利用圖形得出結(jié)論的感受，使學(xué)生的幾何直觀能力得到培養(yǎng)。在初中代數(shù)教學(xué)中，很多內(nèi)容都可用到圖形，如：數(shù)軸的認(rèn)識(shí)、相反數(shù)的認(rèn)識(shí)、平方差公式與完全平方公式的幾何意義等，只要教師用心去收集圖形，重視學(xué)生對(duì)圖形的直觀感受，不斷引導(dǎo)學(xué)生看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量，通過具體的實(shí)踐活動(dòng)來直觀認(rèn)知，不斷地提高學(xué)生幾何直觀能力，提高學(xué)生直觀感知能力。

二、培養(yǎng)幾何直觀能力，有利于拓寬學(xué)生解決問題的途徑

在對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)過程中，只是“表面”上的認(rèn)知，幾何直觀能力既然作為一種個(gè)體的感覺判斷能力，是需在不斷地動(dòng)手操作中去感受和體會(huì)的。因此，在初中代數(shù)教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生參與到課堂學(xué)習(xí)中，在活動(dòng)中來探究，在探究中獲得認(rèn)知、感受和體會(huì)，重視直觀圖形與數(shù)學(xué)符號(hào)的合情轉(zhuǎn)換。如下例題：已知二次函數(shù)圖像最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，且過點(diǎn)（-1，2）（3，2），求此二次函數(shù)的解析式。不少學(xué)生在解決該題時(shí)，會(huì)很直接地設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+ bx+c，將（-1，2），（3，2）代入解析式得出關(guān)于a、 b 、c的兩個(gè)方程，而后就不知下一步該如何處理了。當(dāng)然也有同學(xué)用頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)公式再得出方程（4ac-b2）/4a=3，從而很繁瑣地解三元方程而得解。其實(shí)，本題學(xué)生只要有幾何直觀意識(shí)，動(dòng)手畫個(gè)平面直角坐標(biāo)系草圖，稍作分析就很容易發(fā)現(xiàn)該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，由此可知，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），用待定系數(shù)法可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+ 3（a≠0），再將點(diǎn)（3，2）代入解析式求出a即可。雖然許多學(xué)生對(duì)已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)及圖像上另一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求拋物線解析式的問題已掌握較好，但在解決該題時(shí)仍會(huì)束手無策。原因并不是本題有多難，而是學(xué)生只關(guān)注題目本身，沒能動(dòng)手畫草圖，沒有草圖就很難從已知條件中發(fā)現(xiàn)可求頂點(diǎn)坐標(biāo)，也就很難找到解決本題的簡單方法。造成這種現(xiàn)象的原因是學(xué)生平時(shí)沒能養(yǎng)成利用圖形分析問題、解決問題的習(xí)慣，幾何直觀能力欠缺。因此，在課堂教學(xué)中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，多動(dòng)手畫數(shù)學(xué)草圖，讓學(xué)生在探究中學(xué)會(huì)將直觀圖形與數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要方法。在初中代數(shù)教學(xué)中，很多內(nèi)容都要重視利用圖形分析問題，如不等式解集問題、與路程有關(guān)的應(yīng)用題、函數(shù)圖像的教學(xué)等。教師要通過引導(dǎo)學(xué)生利用圖形分析問題、解決問題，讓學(xué)生體會(huì)圖形在解題中的作用，提高作圖意識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，不斷拓寬學(xué)生解決問題的途徑。

三、培養(yǎng)幾何直觀能力，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和記憶

華羅庚先生曾指出：“數(shù)無形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微。”代數(shù)方法的可操作性強(qiáng)，便于把握；幾何圖形的形象直觀，便于理解。因此，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，重視數(shù)形結(jié)合，可以幫助學(xué)生理解和記憶，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而數(shù)形結(jié)合就要求學(xué)生要有圖形意識(shí)，依托數(shù)形的結(jié)合和轉(zhuǎn)化，能夠促成抽象問題的具象化，提升對(duì)于形象問題原理的挖掘歸納，因此，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和記憶。

如：一元二次方程解與二次函數(shù)關(guān)系的教學(xué)中，可先舉與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的兩個(gè)二次函數(shù)的具體實(shí)例，而后引導(dǎo)學(xué)生畫出圖像的草圖，結(jié)合圖像讓學(xué)生先思考一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠ 0） 的解與相對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像上點(diǎn)的關(guān)系，通過學(xué)生的分組交流、共同探究，多角度觀察、思考一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解和與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系。而后得出結(jié)論：當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程就有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解。接著可提出如下問題：當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程實(shí)數(shù)解有何特點(diǎn)？當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解的情況又如何？此時(shí)一定要讓學(xué)生畫出以上兩種情況的函數(shù)圖像草圖，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像分析，使學(xué)生結(jié)合二次函數(shù)的圖像將一元二次方程的解的個(gè)數(shù)與二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)聯(lián)系起來，不但有利于學(xué)生理解一元二次方程解的問題，也有利于學(xué)生今后一元二次不等式的學(xué)習(xí)。將所學(xué)知識(shí)相互聯(lián)系形成整體，不但便于學(xué)生理解與記憶知識(shí)，也有利于學(xué)生提高運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。在初中代數(shù)教學(xué)中，很多內(nèi)容都要重視利用圖形的理解和記憶，如：不等式組的解集、函數(shù)圖像的性質(zhì)、絕對(duì)值的定義等。利用數(shù)形結(jié)合常有利于學(xué)生對(duì)許多復(fù)雜問題的理解，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)與形的完美結(jié)合，幫助學(xué)生理解和記憶知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

總之，幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中是非常重要的，把幾何直觀作為數(shù)學(xué)十個(gè)核心概念之一，是一個(gè)進(jìn)步。作為數(shù)學(xué)教師，我們不僅在幾何教學(xué)中應(yīng)重視幾何直觀，在代數(shù)教學(xué)中也應(yīng)該重視幾何直觀，在日常教學(xué)中不斷幫助學(xué)生提升這種能力，讓培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力成為一種課堂意識(shí)，使其充分發(fā)揮應(yīng)有的價(jià)值。