高中數學集合知識的有效教學研究

（重慶市永川中學校 重慶 永川 402160）

集合是高中數學教學的基礎，19世紀末德國數學家康托爾首先系統地對集合理論進行了研究?，F今數學中所說的集合就是指數學的一些對象，比如函數、面、線等，這些都可以用集合下定義。事實上，數學上的集合是對某些或某類事物的研究，比如說，幾何是對點集合的研究；代數是對數集合的研究；函數是特殊類型的集合等。集合的特性簡單、概括性強，能夠準確表達數學的相關內容，其有三個特性包括確定性、互異性與無序性。高中生剛接觸集合的相關特性與知識點存在一些不足，比如說：對描述性的集合概念不清楚；不能有效地判斷出集合與非集合，無法舉出合理的集合例子；有的學生對集合的確定性理解有難度；有的學生對關系符號有些問題；有的學生對交集、并集等變換形式的運算有一定的難度等。針對這些問題，教師應進行有效地分析，提出有效的策略進行完善，最終將有效的集合教學應用到高中數學其他章節的知識。

1.高中數學集合的相關情況

首先，高中數學集合的含義、特征與表示方法。第一，集合的含義。集合是高中數學中最原始的概念，教師不能用點、線或面等原始概念來給集合下定義，只能運用描述性的語言說明。集合是教師直覺中比較確定卻又不相同的一個匯集，是一個整體單位，那么這類事物的總稱就是集合，集合中的每個個體就是元素，元素包含于集合。用數學專業術語表示，研究對象也就是元素組成的總體就是集合。比如：鋼筆、水、A、1等組成的就不是集合，其元素間沒有共同的屬性；而“1、2、3、4”組成的共同體就是一個集合。第二，集合特征。集合具備確定性、互異性與無序性。所謂確定性就是集合內的元素必須是確定的對象，比如說C是集合，那么a是某一個對象，屬于C的，那么a就只能屬于C，不能是A的元素；“優秀的學生”這不是集合，其元素不確定?；ギ愋允侵讣现械脑厥腔パa相同的，同一元素不能重復出現。如：集合 C=｛1，2，3，1｝，其集合中出現了重復元素，不能作為集合的正確表示，應該寫成｛1，2，3｝。無序性是指集合中元素不需要按順序排列。比如：集合A=｛1，2｝和集合B=｛2，1｝，這兩個集合的順序不一樣，但是元素一樣，這兩個集合就是相同集合。第三，表示方法。例舉法就是把集合的元素一一列舉，元素放在大括號里。如：把方程（x-1）（x+2）=0的根用集合表示出來，就是｛1，2｝。描述法就是指同一集合中的元素有共同性質，這共同性質可以用某種方式描述，如：不大于100的正整數的全體集合，能用省略號表示：｛1，2，3……100｝。圖示法就是通過畫圖表示，這圖形叫韋恩圖。

其次，高中數學常見的集合。第一，數集。對于由初中剛升高中的學生，對自然數、整數和無理數比較了解，高中數學集合里又出現了復數集C、實數集R、有理數集Q等，這些都需要高中生掌握。第二，方程或方程組的解集。如：在高中數學里，方程的解集可以看作是滿足某種性質O數學的有限集。第三，不等式的解集。不等式的解可以看作是滿足某種性質P的數學的一種無窮集合。第四，點集。人們習慣研究數集和幾何圖形，并沒有把幾何看成是由點組成的集合。而根據康托爾的集合思想，可以把高中數學的任何一個幾何圖看作是三維空間點集的某個子集。

最后，高中數學中的并集、交集、補集與空集的教學。第一，并集。屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，比如說：集合 A=｛1，2，3，4｝，集合 B=｛2，3，5｝，那么集合 A和集合 B的并集為｛1，2，3，4，5｝。第二，交集。也就是說這個集合的元素既屬于集合 A，又屬于集合 B。如：集合 A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，3，5｝，那么集合A和集合B的交集為｛2，3｝。第三，補集。補集是總集合除去應有的集合。如：總集合為 C=｛1，3，4，5，6｝，集合 A=｛1｝，那么集合 A的補集就是｛3，4，5，6｝。第四，空集。不含任何元素的集合為空集。比如：｛｝就是空集。｛｝=空集，但不等于｛0｝。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

2.高中數學集合中學生存在的問題及原因分析

第一，問題。大部分高中學生在學習集合時，對集合的概念理解不夠清楚，不會運用集合的概念去解決實際問題；有的學生不能舉出例子來表示集合；有的不理解集合的特征與性質；有的學生混淆空集的性質，不能正確解題；有的學生錯解集合的表示方法等。

第二，問題分析。首先，集合概念本身較為抽象。集合的抽象性需要學生具備抽象的思維能力，集合的一些符號術語，讓高中生不能很好地適應，容易讓學生忘記或混淆，導致錯誤的出現。其次，高中生的思維發展產生了變化。有的高中生思維發展還不夠成熟，進而影響了他們的理解能力。最后，數學教師的教學不足。由于數學教師對集合的概念引入簡單，沒有做好習題練習的充分準備，沒有讓學生深刻理解集合相關的定義，更不能很好地做好練習題。

3.高中數學集合教學的反思

首先，注重構建高中生的集合概念過程。數學教師應該從學生的實際思維發展水平出發，為學生設置合理的教學情境，讓其新舊知識得到聯系，通過合理教學，運用實例引入集合的概念。

其次，在數學教學中，及時糾正高中生的錯誤理解。比如：讓學生清楚知道空集是｛｝，而不是｛0｝，不能讓學生混淆。

最后，在數學教學的過程中，教師要引導高中生反思。比如：價值反思、思想方法反思、數學概念與符號的反思。

4.高中數學集合知識的應用

首先，高中數學集合知識與各章節知識的聯系。第一，集合知識與不等式的聯系。這兩者的聯系主要體現在：不含參數的問題，可以直接求解；含參數的問題，進行等價轉換，根據數形結合進行分類討論。第二，集合與函數的關系。通過集合的形式，利用這個載體解答函數知識。第三，集合與數列、排列組合的關系。如：數列與排列組合的問題可以通過一些應用題型進行考查，進而考察其方方面面的知識。第四，集合與圓錐曲線、三角函數的關系。運用集合的語言和符號來設計圓錐曲線和三角函數的題型，進而全面考查數學的知識點。

其次，運用集合概念構建數學概念的系統。第一，用集合的包含關系構建數學概念?？梢酝ㄟ^概念的轉換，或者說這個概念是另一個概念的特殊情形，如：正方體、正四棱柱、長方體等存在一個概念系統。第二，通過集合關系建立數學的概念系統。

總之，要想學好高中數學集合的知識，不僅要掌握其相關情況、問題與反思教學，而且還要學會將集合知識運用到數學的其他章節中，這樣利于高中數學的教學。