高三數(shù)學(xué)有效復(fù)習(xí)四部曲

崔柳平

[摘? 要] 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的重要目標(biāo). 文章通過(guò)分析多個(gè)高考試題，闡述了通過(guò)回歸課本、感悟算理、回顧總結(jié)和聯(lián)系綜合這四個(gè)步驟，設(shè)計(jì)有效的復(fù)習(xí)課堂的全過(guò)程，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的教學(xué)策略.

[關(guān)鍵詞] 高三數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)課;數(shù)學(xué)能力

整個(gè)高三的學(xué)習(xí)基本上都是在復(fù)習(xí)課中完成的，構(gòu)建有效的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂是每個(gè)數(shù)學(xué)教師需要認(rèn)真研究的課題. 然而當(dāng)前高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)現(xiàn)狀不容樂(lè)觀，“題海戰(zhàn)術(shù)”仍是不少教師的“絕招”，“頻繁考試”依舊是學(xué)生的“正餐”. 如何改變這樣的“高耗能、低收益”的復(fù)習(xí)模式？就高三的復(fù)習(xí)課而言，如何建設(shè)有效的復(fù)習(xí)課堂？經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，不少一線教師已經(jīng)形成了自己的系統(tǒng)的高中復(fù)習(xí)策略，本文意在剝離表面的課堂模式，牢牢把握復(fù)習(xí)課的本質(zhì)，以學(xué)生能力培養(yǎng)為抓手，探究有效復(fù)習(xí)的策略.

■回歸課本，培養(yǎng)理解能力

縱觀近年來(lái)的高考試題，其新穎性和靈活性是毋庸置疑的. 然而認(rèn)真分析后，不難發(fā)現(xiàn)不少試題都能在課本上找尋到“蹤跡”，事實(shí)上大部分高考試題都是由課本例題、習(xí)題的變形和改造而來(lái)的. 因此，高三復(fù)習(xí)需緊扣大綱，牢牢抓住教材本身，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)[1]. 當(dāng)然，回歸課本并非硬背題型，也不是強(qiáng)記結(jié)論，而是選擇一些典型性問(wèn)題來(lái)梳理基礎(chǔ)知識(shí)，并適時(shí)進(jìn)行延伸和拓展. 只有這樣才能充分發(fā)揮課堂的功能，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，并及時(shí)而充分地矯正錯(cuò)誤、延伸思維，才能讓學(xué)生在經(jīng)歷復(fù)習(xí)的“過(guò)程”中發(fā)展思維、形成能力.

例1：已知△ABC中，有AB=2，AC=■BC，試求出△ABC面積的最大值.

解：構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)A（-1， 0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)C（x，y）. 由AC=■BC，可得■=■■，可得（x-3）2+y2=8，所以點(diǎn)C的軌跡是圓心為D（3，0）、半徑為2■的圓，所以△ABC面積的最大值是■×2×2■=2■.

評(píng)析：筆者認(rèn)為深層次挖掘和理解課本例題、習(xí)題是有效復(fù)習(xí)的必要條件，所以要培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，首先要從課本著手，課本是高考試題的藍(lán)本，而要在高考中取勝必須從課本入手. 本題作為一道高考試題，課本上也多處出現(xiàn)其原型，如：已知點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為■，則點(diǎn)M的坐標(biāo)需滿足什么條件？又如：已知點(diǎn)M與橢圓■+■=1的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)的距離比為2∶3，試求出點(diǎn)M的軌跡方程. 從這道題的得分率來(lái)看，不少教師并未挖掘課本，疏于對(duì)例題、習(xí)題的講解和挖掘. 大多數(shù)情況下，他們最擅長(zhǎng)拿出難題，最喜歡追求課堂容量，從而導(dǎo)致了不少學(xué)生高考解題中“生搬硬套”“基礎(chǔ)不牢”等問(wèn)題. 事實(shí)上，即便是到了高三復(fù)習(xí)階段，不少學(xué)生對(duì)于一些課本內(nèi)容一樣沒(méi)有理解透徹，尤其是在面對(duì)“綿里藏針”的高考試題時(shí)無(wú)法做出準(zhǔn)確判斷也實(shí)屬正常. 從上例可以看出，高三復(fù)習(xí)首先需做到放低起點(diǎn)、回歸課本，不惜時(shí)、不惜力地完善課本例題、習(xí)題的復(fù)習(xí)，從而發(fā)展高層次的數(shù)學(xué)思維，使得學(xué)生的理解能力更上一個(gè)臺(tái)階.

■感悟算理，培養(yǎng)運(yùn)算能力

章建躍認(rèn)為，學(xué)會(huì)運(yùn)算和推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本任務(wù). 從近年來(lái)的各地高考試卷中可以看出，運(yùn)算一直是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容. 然而，從學(xué)生的每次考試卷面來(lái)看，不少學(xué)生無(wú)法取得滿意分?jǐn)?shù)的原因居然是運(yùn)算錯(cuò)誤，算理已然成為每個(gè)學(xué)生的“通病”. 對(duì)于提升學(xué)生的運(yùn)算能力，不少教師也做了深入探究，并積累了很多經(jīng)驗(yàn)，如多思少算、多思巧算等，事實(shí)上就是在高三復(fù)習(xí)中有效落實(shí)“適當(dāng)訓(xùn)練”和“感悟算理”是非常重要的，只有透徹理解算理，才能培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.

例2：已知銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且■+■=6cosC，則■+■=________.

筆者和學(xué)生花了不少時(shí)間對(duì)本題的求解進(jìn)行探討，并得出了以下兩種解法.

解法1：從題設(shè)和結(jié)論相對(duì)于∠A，∠B和邊a，b的輪換性出發(fā)：

當(dāng)∠A=∠B或a=b時(shí)符合題意，則有cosC=■，tan2■=■=■，tan■=■，tanA=tanB=■=■，則■+■=4.

解法2：因?yàn)椤?■=6cosC，所以6abcosC=a2+b2，6ab·■=a2+b2，a2+b2=■，■+■=■·■=■·■=■·■.

據(jù)正弦定理，可得=■·■=■=■=4.

評(píng)析：學(xué)生從思維的切入，運(yùn)算的繁簡(jiǎn)程度等幾個(gè)方面進(jìn)行比較，進(jìn)一步探討哪種解法更具有優(yōu)勢(shì)，從而更好地滲透轉(zhuǎn)化思想. 這樣的一節(jié)課，除了充分訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力之外，還通過(guò)解法的比較，讓學(xué)生多角度探究運(yùn)算的方向，如解法1中“特殊化三角形”的用意在于避免繁雜運(yùn)算，以此讓學(xué)生探明不同解法的算理，實(shí)現(xiàn)解法的優(yōu)化，并提升學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題的求解能力.

■回顧總結(jié)，培養(yǎng)理解能力

注重回歸和總結(jié)，這一過(guò)程本質(zhì)上就是在培養(yǎng)學(xué)生的理解能力. 但究竟如何“回顧總結(jié)”？如何有效地回顧總結(jié)？筆者認(rèn)為可以數(shù)學(xué)問(wèn)題為載體，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，剖析其中隱含的數(shù)學(xué)概念、定義和法則等，讓學(xué)生在主動(dòng)解題的過(guò)程中，再一次與基本概念接觸，讓學(xué)生經(jīng)歷審題、思考、解決、回顧等一系列過(guò)程. 只有通過(guò)這樣的及時(shí)回顧，才能讓學(xué)生找尋到解題中基礎(chǔ)知識(shí)的遺漏或偏差認(rèn)識(shí)，從而有效矯正，并迅速而合理地找到解決問(wèn)題的策略，以此建立思想、形成能力、發(fā)展思維.

例3：已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程是x2+y2-8x+15=0，如果直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，試求出k的最大值.

解：轉(zhuǎn)化圓C方程x2+y2-8x+15=0，得出標(biāo)準(zhǔn)形式（x-4）2+y2=1，可得該圓為半徑是1、圓心是M（4，0）的圓. 直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，只需該圓的圓心M（4，0）到直線y=kx-2的距離d≤1+1，所以d=■≤2，化簡(jiǎn)可得k（3k-4）≤0，可得0≤k≤■，所以k的最大值為■.

評(píng)析：上例中，在解題中只需讓學(xué)生找尋到解題的關(guān)鍵“直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)”，并充分理解和剖析這一關(guān)鍵條件，由此將本題的真面目揭開，從而使問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化. 這一過(guò)程中，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)“分析”過(guò)程，使他們的思維不斷發(fā)散，并得以深入，進(jìn)而有效發(fā)揮復(fù)習(xí)課的效能.

■聯(lián)系綜合，培養(yǎng)學(xué)生遷移能力

現(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)為，行為的初步形成離不開適時(shí)強(qiáng)化，不強(qiáng)化則會(huì)逐步消退. 在高三復(fù)習(xí)課中，我們也常常發(fā)現(xiàn)，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法講解得再透徹，在稍加變化后仍然有不少學(xué)生無(wú)法解決. 這是什么原因？顯然，他們?nèi)鄙俾?lián)系和綜合的過(guò)程，沒(méi)有在聯(lián)系中概括，在概括中提煉，在提煉中深化，那么遷移從何而來(lái)？因此，我們要清楚，復(fù)習(xí)課不能是簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是需要引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)系綜合，使其洞察問(wèn)題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力[2].

例4：已知?jiǎng)訄A與直線y=-2相切，且與定圓x2+y2=1內(nèi)切.

（1）若動(dòng)圓圓心軌跡為曲線C，試求出曲線C方程.

（2）過(guò)原點(diǎn)作斜率是1的直線與曲線C相交于第一象限，交點(diǎn)為點(diǎn)P■;再過(guò)點(diǎn)P■作斜率是■的直線與曲線C相交于點(diǎn)P■;再過(guò)點(diǎn)P■作斜率是■的直線與曲線C相交于點(diǎn)P■，……如此繼續(xù)，一般地，過(guò)點(diǎn)P■作斜率是■的直線與曲線C相交于點(diǎn)P■，設(shè)點(diǎn)P■（x■，y■），令b■=x■-x■. 證明：數(shù)列{b■}為等比數(shù)列.

解：（1）易求得動(dòng)圓的圓心軌跡方程為x2=4y+4. （詳解略）

（2）因?yàn)镻■，P■在曲線C上，所以x■=4（y■+1），x■=4（y■+1）. 又因?yàn)橹本€PnPn+1的斜率為■，所以■=■，即■·■=■，x■+x■=■.

所以b■=x■-x■=（x■+x■）-（x■+x■）=■-■=-■，所以■=■，b■=-1，所以數(shù)列{b■}為等比數(shù)列.

評(píng)析：高考試題中數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性和綜合性一覽無(wú)遺，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查深度也是有著較高的定位，并以一種新型試題結(jié)構(gòu)展現(xiàn)在學(xué)生的面前. 如上例中這樣的知識(shí)交匯題就是不同知識(shí)的交匯運(yùn)用，主要考查學(xué)生思維的深度和廣度. 教師作為課堂教學(xué)的主導(dǎo)者，需要通過(guò)提升自身的水平，將知識(shí)有效整合，使零散的知識(shí)串成串、結(jié)成網(wǎng)，為學(xué)生隨時(shí)提取做好準(zhǔn)備，最終達(dá)到培養(yǎng)遷移能力的目的.

總之，高三復(fù)習(xí)需要有意義、有深度、有營(yíng)養(yǎng)、有價(jià)值的教學(xué)，面對(duì)當(dāng)前高三復(fù)習(xí)現(xiàn)狀，需要我們教師努力通過(guò)自覺(jué)的教學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，通過(guò)回歸課本、感悟算理、回顧總結(jié)和聯(lián)系綜合這四個(gè)步驟，設(shè)計(jì)有效的復(fù)習(xí)課堂，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，以此發(fā)揮教學(xué)的智慧，追回教學(xué)的真諦，為高考輸送更多有用的人才.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 張奠宙，張蔭南. 新概念：用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2004（3）.

[2]? 鄭良. 夯基固本構(gòu)系統(tǒng)，溯源納新謀優(yōu)化——例談高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中試卷講評(píng)的探索與思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（19）.