圓錐曲線“定點”“定值”問題的同源與分流

羅毅

[摘? 要] 定點問題與定值問題是圓錐曲線中的兩種常見問題類型，它們有相似的幾何背景和邏輯基礎，而在解題的運算方式上又有區別. 通過高考試題解析，對比分析這兩類問題在邏輯架構、代數形態等方面的同與異，解構它們在數學思想方法層面的互異性和關聯性，從而更好地建立這兩類問題的解題體系.

[關鍵詞] 定點;定值;邏輯;運算

定點與定值，是圓錐曲線中的兩類常見問題.在圓錐曲線的解題教學研究中，這兩類問題在題目形態和解題策略上，常被歸為同一研究類，而與最值（范圍）問題形成對立研究類. 文[1]和文[2]分別探究了定點與定值問題的解題方法與技巧.然而，作為數學解題教學研究，除了著眼于表層的解題技術，還應關注同一研究類問題的聯系與區別，以及不同研究類問題的關聯，使其更加具備“數學思想屬性和理性思維屬性”[3]，也使得對這樣問題的解題教學能夠更好地幫助學生“構建知識體系，整體把握知識的來龍去脈，抓住問題的本質”[3]. 本文擬從邏輯推理、數學運算等層面對定點與定值問題進行分析，追溯其邏輯內涵和算法原理的源與流.

■定點與定值問題在邏輯架構上的“同源”

定點與定值問題的共同特征是：在一個動態過程中，有些量不會隨著運動變化而發生改變，形成了所謂的“定”. 這包含兩個層面的意思，第一個層面是：這是一個“動態過程”，如果圖形是靜止的，那么圖形上的每個點都是定點，每個值都是定值，缺乏研究的價值;第二個層面是“不變性”，在動態過程中，變是常態，不變是非常態，不變常常是由特定的幾何性質決定的，比如方程（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=1所刻畫的曲線始終經過點（0，0），它不會因為θ的變化而發生改變，點（0，0）就是曲線（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=1經過的“定點”，這是由圓系方程的代數結構確定的圓的幾何特征;又如橢圓上的任意一點M到兩個焦點F■，F■的距離之和為常數，這個常數不會隨著點M的運動變化而發生改變，這就是“定值”，這是由橢圓的定義確定的橢圓的幾何特征.

由于解析幾何的核心是用代數方法研究圖形的幾何性質以及圖形與圖形之間的關系，而這樣的“定”，反映在代數邏輯形態上就是與方程或表達式中變元的取值無關. 所以，定點與定值問題在代數邏輯架構上是同源的.

■定點與定值問題在代數形態上的“分流”

雖然定點與定值存在幾何背景和邏輯上的同理，但它們在代數運算形態上是有區別的.

1. 定點問題的代數形態特征

通常我們研究直線過定點問題，意味著直線處于旋轉狀態，其斜率在發生變化，從而我們可以通過研究直線l的方程y=kx+b（k，b是參數）形態，考察該直線是否經過一個定點.

如果b=λk+μ（λ，μ是常數），由直線的點斜式方程，知直線l經過定點（-λ，μ）. 特別的，若b=μ（μ是常數），那么直線l經過y軸上的定點（0，μ）;若b=λk（λ是常數），那么直線l經過x軸上的定點（-λ，0）. 對斜率不存在的直線，可在此基礎上進行驗證.更一般地，通過直線l的點斜式方程A（x-x■）+B（y-y■）=0（A，B是參數，x■，y■是常數），也能夠判斷直線l經過定點（x■，y■）.

借助以上兩種直線方程形式，可以發現，研究直線過定點問題，其邏輯本質就是“關于變元（x，y）的等式恒成立，即與參數的取值無關”. 在曲線系理論下，易知曲線λf（x，y）+μg（x，y）=0總是經過f（x，y）=0與g（x，y）=0的公共點. 這里強調方程的構建，以及對所建立方程的邏輯解構.

例1：（2017全國卷課標Ⅰ理，20）已知橢圓C：■+■=1（a>b>0），四點P■（1，1），P■（0，1），P■-1，■，P■1，■中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程;

（2）設直線l不經過P■點且與C相交于A，B兩點.若直線P■A與直線P■B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

解題過程：（1）■+y2=1（過程略）;

（2）設直線P■A與直線P■B的斜率分別為k■和k■.

若l與x軸垂直，設l：x=a，其中a≠0，且a<2，則Aa，■，Ba，-■.

由條件，k■+k■=■-■=-1，解得a=2，不符合題設，所以直線l的斜率存在.

設l：y=kx+b（b≠1），代入■+y2=1，消去y，得：

（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0.

由條件，知Δ=64k2b2-16（4k2+1）（b2-1）>0.

設A（x■，y■），B（x■，y■），則

x■+x■=-■①，x■x■=■②，

k■+k■=■+■=■+■=■.

因為k■+k■=-1，所以（2k+1）x■x■+（b-1）（x■+x■）=0③，

將①②代入③，化簡得b=-2k-1，于是l：y=kx-2k-1，即y+1=k（x-2），所以直線l經過定點（2，-1）.■[4]

問題分析：結合解題過程，不難看到，解決問題的關鍵是引入直線l的方程y=kx+b，通過條件“直線P■A與直線P■B的斜率的和為-1”，建立關于k與b的二元方程，進而化簡得到b關于k的線性表達式，達到確定直線經過定點的目標. 我們可以通過圖示（圖1），展現解決這個題目的邏輯推理與數學運算的并行過程.

例2：（2009江西理，21）已知點P■（x■，y■）為雙曲線■-■=1（b為正常數）上任一點，F■為雙曲線的右焦點，過P■作右準線的垂線，垂足為A，連接F■A并延長交y軸于P■.

（1）求線段P■P■的中點P的軌跡E的方程;

（2）設軌跡E與x軸交于B，D兩點，在E上任取一點Q（x■，y■）（y■≠0），直線QB，QD分別交y軸于M，N兩點，求證：以MN為直徑的圓過兩定點.

解題過程：（1）點P的軌跡E的方程為：■-■=1（過程略）.

（2）M0，■，N0，■，則以MN為直徑的圓的方程為：

x2+y-■y+■=0，

即x2+y2+■y-25b2=0①，

令x2+y2-25b2=0且y=0，得該圓經過定點（5b，0）和（-5b，0）.

問題分析：題目的第（2）小問實際上在探究經過個兩定點的圓系方程，很難以某種形式化的方法來解決它，所以，從定點問題的邏輯認知角度——等式恒成立，對這個題目進行推理和運算就尤其重要.在這樣的邏輯基礎上，通過代數變形，得到方程①. “與變元y■的取值無關”，是取■的系數y=0及常數項x2+y2-25b2=0的邏輯依據，是解決問題的關鍵，通過這一過程，達成了邏輯推理與數學運算的并行目標，從而找到定點（5b，0）和（-5b，0）.

上面兩個的例題，雖然研究的對象不同——一個探究動直線經過某一個定點，一個探究動圓經過某兩個定點，解決問題的過程表征也有所差異——一個探究關于參數k與b的線性關系，一個探究關于坐標y■的方程. 但可以發現，他們共同特征是在“使等式恒成立”這個邏輯要求下，對方程中的參數形成限制性條件，這個條件的實現則對應地產生了某個（或者某幾個）定點.

2. 定值問題的代數形態特征

定值問題在代數邏輯上與最值（范圍）問題屬于同一個范疇. 在解析幾何體系中，研究最值問題的基本數學思想是函數思想，通常研究對象隨著某個本源變量（如直線的斜率、點的坐標等）的變化而發生相應變化，從而形成研究對象與本源變量之間的函數關系，所以只需根據幾何條件，建立函數表達式，并借助這個函數的性質，結合具體幾何條件的限制，探求研究對象的最值（范圍）. 定值問題則意味著建立了一個常數函數，它不會隨著本源變量的變化而變化，從而產生“定值”. 按照設問方式的不同，這類問題又可以分為“證明型定值問題”和“探究型定值問題”.

例3：（2018全國卷課標Ⅰ理，19）設橢圓C：■+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.

（1）l與x軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

解題過程：（1）略.

（2）若l與y軸垂直，則∠OMA=∠OMB=0，命題得證.

若l與y軸不垂直，由條件，設直線l的方程為x=my+1，代入■+y2=1，整理得：

（m2+2）y2+2my-1=0.

設A（x■，y■），B（x■，y■），則y■+y■= -■，y■y■=-■.

設直線AM，BM的斜率分別為k■，k■，則原問題即證明k■+k■=0.

k■+k■=■+■=■=■=■=■·-■+■=0，命題得證.

問題分析：在本題中可以看到，k■和k■均隨著參數m的變化而發生相應變化，所以k■和k■是關于m的非常數函數，在對k■+k■進行運算分析時，初始方向是構建函數，最終結果是形成常數函數k■+k■=f（m）=0.

■定點與定值問題的“合流”

在數學體系中，函數與方程之間既有區別又有聯系，函數與方程作為基本數學思想方法，“既是函數思想與方程思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現，是研究變量與函數、相等與不等過程中的基本數學思想.”■[5]雖然解決定點問題主要依托于方程，而解決定值問題主要依托于函數，但是我們不能孤立地看待函數和方程，割裂它們之間的關聯，在函數與方程思想整合下，它們的運算路徑又可以實現一定程度上的“合流”.

例4：（2019全國卷課標Ⅰ文，21）已知點A，B關于坐標原點對稱，AB=4，圓M過點A，B且與直線x+2=0相切.

（1）若點A在直線x+y=0上，求圓M的半徑;

（2）是否存在定點P，使得當A運動時，MA-MP為定值？并說明理由.

解題過程：（1）略.

（2）設A（x■，y■），B（-x■，-y■），P（m，n），則由AB=4，得x■+y■=4.

由條件知，圓M的圓心M軌跡是線段AB的垂直平分線，其方程為x■x+y■y=0，

若x■y■≠0，設Mx■，-■ （x■≠0），

則由x■+2=■，整理得x■=■.

所以MA-MP=x■+2-■=■+2-■，

令z=f（x■，y■）=■+2-■①，

則8（m-z）■-8n■+z2-4z-m2-n2+4=0②，

若z為定值，則m-z=0，n=0，z2-4z-m2-n2+4=0.從而m=1，n=0，z=1.

即存在定點P（1，0），使得MA-MP為定值1.

問題分析：本題的第（2）小問作為“探究型定值問題”，在建立起MA-MP關于x■，y■的函數（如①式所示）之后，難點在于如何取m，n的值，使得這個函數為常數函數. 若把①式看作關于■的方程，并將其變形為形式②，那么，原問題就轉化為方程②對■恒成立，從而令系數8（m-z）=0，8n=0，且常數項z2-4z-m2-n2+4=0，得到坐標P（1，0）以及定值1.

這里m=1，n=0是z=f（x■，y■）=■+2-■為常數函數的充分必要條件. 若m≠1或n≠0，則MA-MP=z=f（x■，y■）不為常函數，即MA-MP不是定值，我們就可以探究其值域（范圍）. 如當m=n=0時，z=f（x■，y■）=■+2-■，此時MA-MP∈（0，2].

通過這個問題的分析，可以看到，方程與函數在邏輯和算理上的統一性，又為定點與定值問題的推理和運算提供了一個通道，從而可以實現相互轉換，形成“合流”.

參考文獻：

[1]? 高慧明. 也談解析幾何中的定點、定值問題[J]. 中學數學雜志，2018（5）.

[2]? 張靜，徐小琴. 高考圓錐曲線中定點與定值問題解析[J]. 理科考試研究，2020（5）.

[3]? 史寧中，王尚志. 普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[4]? 教育部考試中心編. 高考理科試題分析：2018年版，語文、數學、英語分冊[M]. 北京：高等教育出版社，2017.

[5]? 教育部考試中心編. 2012年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明，理科[M]. 北京：高等教育出版社，2012.