APOS理論下的數學概念教學優化探索

潘小平

[摘? 要] 在高中數學概念教學中，APOS理論具有極其重要的指導意義，有助于學生對數學概念進行自主化探究學習，促進概念從傳統的灌輸模式轉型為自主建構模式. 基于此背景，對運用APOS理論教學“弧度制”一課進行探究，使學生經歷從實物抽象出數學研究對象的過程，在問題的引導下激活深度思考，使其能夠大膽猜想、客觀推理.

[關鍵詞] 數學概念;APOS;“弧度制”

美國著名的教育學家杜賓斯等人提出的APOS理論認為，對于任何個體而言，在學習概念的過程中，經過操作、過程以及對象等相對應的階段之后，就能夠形成用于解決問題的情境圖示結構. APOS理論的基本過程是“活動—過程—對象—圖式”，這一理論對概念教學具有重要的指導意義. 在高中數學概念體系中，“弧度制”是重要的概念之一，是高中生進行三角函數學習的重要基礎. 在現行的高中數學教材中，針對“弧度制”的介紹非常簡單，是通過類比的方式引出的這一概念. 因此，一些教師在教學中沒有引起重視，沒有引導學生經歷概念的探究過程，從而造成了學生對這一概念的理解有障礙. 在核心素養理念下，可以借助APOS理論對“弧度制”一課的教學進行優化設計.

■創設活動情境，豐富直觀認識

對于高中生而言，“弧度制”是一種全新的用于描述角的方法. 在具體的教學過程中，如果教師采用“說教”的形式，既不能夠揭示“弧度制”的數學含義，也不能使學生體會到“弧度制”的重要數學價值. APOS理論的第一階段是“活動階段”，強調的是要引導學生在具體的活動中對概念進行直觀化感知. 因此，教學中教師要善于聯系生活實際為學生創設活動情境，引導學生在情境中用數學的眼光展開觀察和思考，這樣才能豐富學生對“弧度制”的直觀化感知，才能提高學生參與學習的興趣.

在本課的教學中，筆者首先給學生播放了一名工人用扳手擰螺帽的視頻，然后出示圖1：

師：請同學們仔細觀察圖1，扳手從點A轉到點B時，螺帽相對應的A1轉動到B1. 從中你能夠知道哪些幾何數量？其中哪些幾何數量關系是相等的，哪些幾何數量關系是不相等的？

生：扳手和螺帽各自轉動的弧長不相等，兩弧所在的圓的半徑也不相同，扳手所轉動的弧長更大，同時其所在的圓的半徑也更大.

師：相等的量在哪里？

生：轉動的角度相等.

師：如果扳手變得更長，但是螺帽轉動的角度相同，此時扳手轉動的弧長會發生怎樣的變化？

生：弧長會發生改變，變得更長.

以上教學設計中，學生能夠體會到當螺帽轉動的角度相同時，扳手越長越省力，當扳手的長度發生改變時，扳手所轉動的弧長也會有所改變. 這一情境是學生非常熟悉的生活情境，但是其中隱含了弧長和半徑比值的關系. 設計這一環節的目的就是為了幫助學生豐富對“弧度制”的直觀化認知，初步了解用“弧度制”量角的合理性.

■借助設疑啟思，經歷探究過程

APOS理論的第二階段是“過程階段”，在這一階段中，需要引導學生經歷對概念的探究過程. 問題是引發學生探究的有效手段，因此，在完成第一環節的教學之后，筆者通過設疑的方式引導學生經歷對“弧度制”的探究過程.

師：圓心角、半徑以及弧長之間究竟存在怎樣的關系呢？能不能用一個式子表示它們之間的關系？

提問之后，給學生留下一定的時間在小組內進行討論，然后組織交流反饋.

生：如果圓心角相等，圓的半徑越大，其弧長也就越長. 所以，可以用α，l，r分別代表圓心角、弧長以及半徑，可以用“l=αr”這個式子來表示這三者之間的關系.

師：為什么在這個式子中比例系數是α呢？

生：我們首先進行了畫圖，發現r相等時，l與α成正比;l相等時，r與α成反比.

眾生：可是這個過程還是猜的.

師：這種猜想合情合理. 實際上，這在數學學習過程中，也是非常重要的方法. 當然，猜想必然要經過事實的驗證. 現在大家的疑問在于l與r之間的變化是否只與α有關，是否還會受制于其他因素的影響.

生：初中我們已經學習過弧長公式l=■（n是圓心角的度數），說明在同一圓中，弧長只與角的大小有關，當角的大小確定時，弧長為定值.

師：這個回答真是太棒了，整個過程都是由大家的猜想、探究以及驗證而得到.

目前，高中數學概念教學較為普遍的現象就是重應用、輕講解，而學生在這一過程中常常處于被動的狀態，不得不以死記硬背的方式接受這些概念，不能實現對概念的深入理解，也不能準確把握其意義和價值. “弧度制”是一種數學規定，以學生的眼光來看，是難以理解其中所體現的嚴謹性和邏輯性，還會由此引發他們質疑：“為何要做出這種規定？這種設置是否合理？”以上教學中，針對學生的這些質疑，筆者為學生創設了自主探究活動，鼓勵其進行猜想和驗證，使學生親歷完整的探索過程，了解其中的合情性以及合理性，這樣學生才能夠欣然地接受這一抽象知識.

■引導探究反思，建構數學概念

“對象階段”是APOS理論的第三階段，在這一階段中，引導學生用自己的語言對概念進行表征是十分重要的. 因此，教學中筆者通過引導學生對前面自己的探究過程進行反思，讓他們用數學語言來表達“弧度制”，以此促進他們對這一概念的建構.

1. 引導體驗“弧度制”的優越性

為了使學生理解弧長和半徑之間的比值來表示角的單位的優越性，筆者是這樣對學生進行引導的.

師：剛才我們用α表示角的大小，那么角的單位是什么呢？

生：l與r代表的是長度，所以它們的比值是實數，是不存在單位的.

師：用實數衡量角大小的這種方式，可能在初次使用時很多同學并不適應，但是通過上述的探究過程，我們可以了解到，這種方法在數學中具有可行性以及合理性，用數表示角的大小可以在其后加上“rad”. “rad”并非是角的單位，表示此時這個數所代表的是角，等大家使用熟練之后，只要在不會引發歧義的情況下，都可以省略這三個字母.

2. 理解“弧度制”下的角與實數的對應關系

在這一堂課的教學中，引導學生理解“弧度制”下的角與實數的一一對應關系是十分重要的，因此筆者是這樣對學生進行引導的.

師：是否所有的任意角都可以使用這一比值進行表示？

生：任意角的界定來自旋轉角度，通過弧長可以了解相對應的旋轉量，符號則是代表旋轉方向，由此也可說明所有的任意角都可以通過這一比值表示，對于正角、零角以及負角，可以分別使用正數、0以及負數進行表示.

師：如果所有的任意角都可以使用唯一的實數與其相對應，是否說明任意一個實數都可以用于表示角？這種表示方式是否唯一？

生：一個實數都可以用于表示角，而且這種表示方式是唯一的.

生：也可以通過計算的方式進行驗證，假設角的弧度為α，其度數為n，根據公式l=■，能夠由此推導出α=■，n=■·α.

在這一教學環節中，主要設計了兩個問題，設計第一個問題的目的就是為了讓學生掌握換算的算理，而第二個問題要求記憶特殊角的弧度數. 通過探究，讓學生可以深度理解兩種度量系統之間的相容性以及掌握兩種度量角之間的相互轉化，讓他們體驗“弧度制”下的角與實數的對應關系，利用熟悉的“角度制”感受用實數表示角的大小.

■設計變式練習，建立概念圖式

在APOS理論的“圖式階段”中，主要目標是促進學生建立概念圖式. 學生形成概念圖式離不開變式練習，因此筆者在練習中為學生設計了以下兩道變式練習.

變式練習1：一個扇形的圓心角是α，半徑是r，弧長是l，請證明扇形的面積S=rl.

變式練習2：一個扇形的周長是10，它的圓心角的大小為3 rad，這個扇形的面積是多少？

在經歷了“活動—過程—對象”這三個階段之后，學生基本可以完成以下心理圖式的建立：“弧度制”是一種全新的度量角的方式，利用了弧長和半徑;在弧度值以及角度值之間能夠完成相互轉化，能夠就此感受實數和角之間的一一對應關系. 練習階段為學生設計的兩道練習，不僅有助于幫助學生完成正確的換算，還能夠在“弧度制”下了解弧長以及扇形面積的計算公式，并且將其用于解決簡單的現實問題. 這樣，就能夠促進學生對所有圖示的整合以及優化，也能夠幫助他們建立更完善、更具有綜合性質的概念心理圖式.

總之，APOS理論針對具體的學習過程給出了明確的觀點，強調的是引導學生對概念展開主動建構，立足于操作階段感知數學概念，建立初步表象;在過程階段完成對數學概念的抽象;在進入對象階段之后，深入觸及數學本質并完成梳理和歸納，最后在圖示階段完成對知識體系的建構. 對于這四個階段而言，與數學核心素養之間存在著極其緊密的關聯. 在“弧度制”一課的教學中，運用APOS理論“四階段”，使學生經歷了從實物抽象出數學研究對象的過程;同時，在問題的引導下激活了學生的求知渴望，并促進學生的深度思考，使其能夠大膽猜想、客觀推理，當然其中也蘊含了直觀思維，這些都與數學核心素養密切相關.