基于數學直觀想象素養下的教學

穆鳳

[摘? 要] 數學教學的目的并非是讓學生學會計算和解題，其核心在于要以計算和解題為媒介來掌握數學的思想方法. 我們應利用數學客觀、嚴謹的特性，作為解決實際問題的基本思路，培養學生的實踐和創造能力. 直觀想象素養在高中代數和幾何方面都有涉及，因此教師非常注重直觀素養的培養. 高中是學習的重要階段，學生已經具備一定的邏輯思維能力. 教師應注重培養學生的直觀想象能力，使學生建立數學與圖形的聯系，利用圖形解決數學問題，提高學生的數學學習能力.

[關鍵詞] 數學素養;直觀想象;數形結合

“數學素養”是一個較為寬泛的定義，包含很多內容，其中一些是核心部分，是學習數學的基本素質，是用數學方法解決實際問題的關鍵，他們統稱為數學核心素養. 其中，數據分析、邏輯推理、數學建模和數學運算屬于數學技能范疇，他們是解決實際問題的重要途徑. 一旦具備了這些素養，就表明學生已經能夠熟練地運用數學知識，從而大大提高解決問題的效率. 而數學抽象和直觀想象則屬于數學思想范疇，他們是運用數學知識的理論基礎. 直觀想象素養是指借助空間形式認識事物的位置關系、形狀變化與運動規律;用圖形描述和分析數學問題，建立數與形的聯系，建立數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路. 其主要表現為建立數與形的聯系，用幾何圖形描述問題，用幾何直觀理解問題，用空間想象認識事物.

數學教學的目的并非是讓學生學會計算和解題，其核心在于要以計算和解題為媒介來掌握數學的思想方法. 我們應利用數學客觀、嚴謹的特性作為解決實際問題的基本思路，培養學生的實踐和創造能力. 要實現這一目的，教師應著眼于數學素養中的重點內容，以培養學生的數學核心素養為基點來組織教學. 直觀想象是不同的思維方法或思維形式. 想象也是在直觀基礎上，視為直觀的延伸，是發現問題和解決問題的重要手段. 它也是進行論證、數學推理和構建抽象結構的思維基礎. 在教學中，應注重數學直觀想象的落實和培養. 基于此，本文結合教學實踐，在界定數學核心素養基本概念的基礎上，通過教學實例分析了數學直觀想象素養的有效滲透.

■高中數學直觀想象素養的培養

直觀想象素養在高中代數和幾何方面都有涉及，因此教師非常注重直觀素養的培養. 高中是學習的重要階段，學生已經具備了一定的邏輯思維能力. 教師應注重培養學生的直觀想象能力，使學生建立代數與圖形的聯系，利用圖形解決數學問題，提高學生的數學學習能力.

（一）注重直觀演示教學，培養學生的識圖能力

圖形是幾何體呈現的載體，識圖能力是作圖和分析圖形的基礎. 教師應注重學生識圖能力的培養. 培養學生能夠從圖形中獲取已知信息，并通過已知信息間的關系挖掘隱含信息. 教師在備課時選擇演示物要使學生能清晰地感知演示對象的有用特征與關系. 在課堂教學時，首先應使學生明確觀察的目標和內容. 在具體的展示過程中，指導學生從不同的角度觀察，注意內在的結構和關系特征，讓學生思考觀察的結果，鼓勵學生在生活中多去觀察和發現身邊的實物.

（二）注重加強實踐教學，培養學生的作圖能力

高中學生在課堂上只聽老師講和看，很難形成較高的能力. 因此教師應注重培養學生的畫圖意識，讓學生掌握一些基本圖形的畫法. 教師在教學中應強調畫圖的重要性，引導學生養成用畫圖去分析和解決問題. 讓學生將抽象性較強的數學語言和直觀的圖形有機結合起來. 指導學生提取關鍵信息，依據已知信息畫出相應圖形（要求畫圖準確，圖形特征明顯，并標明數量關系）. 學生具有良好的畫圖能力，可以促進識圖能力的發展. 教師還可以指導學生使用幾何畫板等數學軟件進行作圖操作.

（三）注重培養學生學會建立圖形與圖形、圖形與數量的聯系

要提高學生的直觀素養，應注重培養學生建立圖形與圖形、圖形與數量的關系. 教師要讓學生學會觀察圖形的組成部分，以及圖形與圖形之間的關系. 通過圖形的旋轉、對稱和翻折等變換，使學生發現變化過程中的不變關系和變化關系，并弄清原因. 在教學中，教師要注重讓學生挖掘圖形中的數值，并探究其中的數學規律，讓學生直觀地總結出數學對象的性質，并將所得性質衍生到同類圖像中. 讓學生體會數形結合的作用，形成數形結合的思想.

（四）注重培養學生數學語言交流與表達

提高學生的數學直觀想象素養，讓學生不僅能夠用數學的眼光看世界，還能用數學的語言表達世界. 在教學中，教師可以讓學生借助直觀想象用數學語言描述現象，提出有關數學問題，討論數學問題. 教師要鼓勵學生運用規范的數學語言描述數學問題，多用圖形語言進行交流和表達.

■基于直觀想象素養的數學定理教學

本人有幸參加了重慶市渝中區舉行的“高中青年教師優質課大賽”，聆聽了幾位專家結合高中數學核心素養的實踐關于筆者所授這節課（函數單調性）的點評，受益匪淺，讓我們一線數學教師能更深入地理解核心素養的本質，更自然地將其與實踐相結合. 結合專家們對數學核心素養的解讀，筆者對這節課的教學設計做了一些修改.

1. 課題引入

設計立意：啟發學生由圖像獲取函數性質，培養直觀認識，從而引入新課.

師：由圖1，你能說出函數圖像有什么特征？

隨著x的增大，y值有什么變化？

學生看圖，并說出自己的看法.

2. 師生互動，探究新知

設計立意：啟發學生獲取函數y=x2的圖像的升降特點. 使得學生從定量分析過渡到定性分析，從直觀認識過渡到數學語言表述，并體會出單調性是針對區間而言的.

師：請大家作出y=x2的圖像.

小組學生共同合作畫圖，并觀察圖像的變化趨勢.

師：有同學能描述一下函數y=x2（x>0）的圖像的變化趨勢嗎？小學是怎么直觀感知的？

生：從左往右看，圖像越來越高.

師：初中是怎么形象描述的？

生：y隨著x的增大而增大.

師：你能描述函數y=x2在R上的圖像的變化趨勢嗎？

生：分別比較函數y=x2在y軸左側和右側的圖像，y軸左側隨變量x值增大，函數值y減小;y軸右側隨變量x值增大，函數值y增大.

師：從上面的觀察分析可以看出：考察一個函數的單調性，必須指明區間，否則沒有意義. 即函數單調性是針對定義域中某個區間而言的，是一個局部性質.

3. 數形結合，互動探究

設計立意：指導學生從定量分析過渡到定性分析，從直觀認識過渡到數學符號表述，由形到數，再由數到形. 從具體到一般引出函數增減性的定義.

師：函數y=x2的圖像在y軸右側隨x的增大而增大，如何用數學符號語言來描述這種“上升”呢？如何用抽象的數學符號語言清晰描述這一動態變化呢？

生：當1<2<3…時，有f（1）

師：特值對比能反映整體趨勢嗎？

生：不能.

要注意x1，x2取值的任意性.

師：在（0，+∞）上，隨意取兩點（x1，y1）和（x2，y2），觀察x1，x2和y1，y2的關系.

生：當x1

師：怎樣反映出圖像的整體變化趨勢（隨機取足夠多的點對），由此你得出什么結論？

學生表述各自的結論.

教師引導學生得出：函數y=x2在（0，+∞）上圖像是上升的，用函數符號來描述就是：對于（0，+∞）上任意的x1，x2，當x1

師：對于一般的函數f（x），我們應當如何給增函數下定義呢？

設計立意：引導學生討論、交流，說出各自的想法，并進行分析、評價，補充完善后給出增函數的定義.

學生通過觀察、驗證、討論、交流后表述各自的結論.

設計立意：得出減函數的定義，并由此培養學生類比的能力. 與函數y=x2的圖像特點比較，與從具體到一般相呼應，強調定義中的要點.

你能仿照這樣的描述，說明函數y=x2在區間（-∞，0）上是減函數嗎？

師生共得出減函數的定義.

你能分析一下增（減）函數定義的要點嗎？

教師引導學生體會定義中的關鍵點.

設計立意：鞏固概念，并培養學生的自學能力.

自學例1：圖4是定義在區間[-5，5]上的函數y=f（x）的圖像，根據圖像說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數.

教師指導學生閱讀教科書上的例1.

學生回答問題.

設計立意：使學生學會用定義證明函數為增（減）函數，并掌握證明的步驟.

通過學習例2，學會證明函數在某個區間的增減性，并試著總結證明的步驟.

學生閱讀例2，并用定義證明y=x2-1在區間（-∞，+∞）上的單調性.

教師啟發學生概括用定義證明增（減）函數的一般步驟，注意給學生留有思考的時間.

學生交流自己總結的步驟.

教師板書證明步驟.

設計立意：學生通過總結本節知識，進一步對所學內容進行了鞏固.

課堂小結，這節課你有什么收獲？

學生討論、交流本節課內容，并進行小結.

■數學核心素養分析

本節課是基于培養學生的數學核心素養的教學理念進行設計的. 在有限的空間和時間中，既要實現課時目標，又要落實核心素養. ？搖

本節課設計起源于學生熟知的一次函數和二次函數的圖像，首先讓學生對函數單調性有一個直觀認識;其次讓學生回憶小學、初中時對單調性的文字描述;再次引導學生用符號語言進行抽象概括;最后演繹為一般函數單調性的定義. 這一系列活動的目的是從用自然語言描述函數單調性轉化到用數學語言刻畫函數單調性的定義. 基于學生已解決的問題創設情境，激發學生的學習興趣，再次引發學生在構建自身基礎上的“再創造”，并通過獨立思考后的討論，培養學生分析和解決問題以及用數學語言交流的能力. 它為學生提供了自主探究的平臺. 從閱讀學習中發現、分析和解決問題，不僅符合學生的心理特點，還注重了學生的思維過程. 在這一過程中，運用了直觀想象、數學抽象、數學運算、邏輯推理，使數學核心素養真正落實于課堂之中.