習題優化重組，加強知識聯系

李杰 彭飛

[摘? 要] 數學教育家波利亞說：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一個門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”作業講評教學中，教師可以把孤立的習題重組起來，形成習題題組，使知識結構化、系統化，通過解決題組中的問題，幫助學生形成易于遷移的知識結構.

[關鍵詞] 習題重組;知識聯系;系統化

在教學過程中，筆者發現這樣一個問題，不少學生只會解決一些簡單易操作的題型，當遇到稍許綜合的問題時，學生往往存在找不到思路，或者思路斷裂的現象，學生自己將此現象描述為“有公式，無方法”. 筆者以等差數列為例，談談自己在解決上述問題的一點想法，不當之處，還請讀者批評指正.

■問題呈現

筆者在講述等差數列時，就遇到了上述學生所描述的問題.

例1：在等差數列{an}中，若a1=-3， 11a■=5a■-13，那么該數列前幾項的和最小是多少？

筆者批改本題時發現，絕大部分學生都能做對. 經過訪談，學生回憶了解題過程. 因為記得公式a■=a■+（n-1）d，S■=na■+■，幾乎不需要經過分析，自然就會想到先求出d，再用a■，d求出S■就可以解決了.

而當問題發生改變時，如：

例2：已知等差數列{a■}的前n項和為S■，若a■=12，S■>0，S■<0.

（1）求公差d的范圍;

（2）問：S■，S■，…，S■中哪一個的值最大？并說明理由.

同樣記得公式a■=a■+（n-1）d，S■=na■+■，不少學生在解答第二問時思維卻不自然、不順暢了. 為什么會出現這樣的情況？在作業講評教學中又該如何處理？筆者試談談對此的理解與思考.

■分析問題，探求方案

學生在求解例1時，“只要記住公式a■=a■+（n-1）d，S■=na■+■就不需要分析，自然就會想到先求出d，再求出S■”，這是什么意思？從知識的聯系角度來看，例1中的a■，a■與a■，d有了a■=a■+（n-1）d的聯系直接可以求出d，有了S■=na■+■的聯系直接可以求出S■. 整個解題過程各個量之間的聯系簡單而直接，從“已知”到“目標”幾乎不需要拐彎，所以就很容易求解. 而對于例2，沿用原來的思路，不少學生的頭腦中各個量之間的聯系很快就會中斷，如利用a■=a■+（n-1）d的聯系，a■，d不能直接求出，從而S■就不能求出，因此S■什么時候有最值就無法得知.

通過調查研究，筆者發現不少學生的思路是，表示S■總是想著一定要具體求出a■，d的值，或者在求解二次函數的最值時總是希望求出二次函數具體的解析式. 通過筆者對上述問題的思考，筆者認為學生對知識是淺層次的理解，往往只能應對簡單的問題;如若學生能打破知識間的隔閡，對知識間的聯系有深刻的理解，不再是只看到表層知識，那么對綜合問題的求解就會越有利. 因此可以從打破學生頭腦中知識間的隔閡，加強知識間聯系的角度出發，提高學生解決問題的能力.

問題解決當然也不能離開好的問題■[1]，數學教育家波利亞說：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一個門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”作業講評教學中，教師就可以把孤立的習題重組起來，形成新的問題、好的問題，去幫助學生挖掘出問題的各個方面，讓學生形成聯系豐富的知識體系.

■習題重組，試探前行

作業中的習題編排，一般由易到難，循序漸進，有時為了避免知識點的重復，會把類似的問題分散編排. 作業講評之前，需要根據學生的完成情況，了解學生對知識掌握得怎么樣、知識結構是否良好. 作業講評時，可以根據學生掌握的情況，把相關習題集中編排，形成結構良好的習題組.這樣有助于學生從整體上重新審視作業中的這些知識點，溝通與相關知識之間的聯系，加深對知識的理解，形成良好的知識結構，從而有利于問題的解決. 現將習題重新組織呈現如下：

例3：（1）在等差數列{a■}中，若a■= -3，11a■=5a■-13，那么該數列前______項和最小.

（2）已知等差數列{a■}的前n項和為S■，若a■=12，S■>0，S■<0.

①求公差d的范圍;

②問：S■，S■，…，S■中哪一個的值最大？并說明理由.

（3）在等差數列{a■}中，a■=13且S■=S■，那么n取何值時，S■取最大值？

（4）若{a■}是等差數列，S■為前n項和，且S■S■，求n為何值時S■有最值.

（5）設等比數列{a■}滿足a■+a■=10，a■+a■=5，求a■a■…a■的最大值.

■教學過程，片段展示

1. 片段一

師：同學們，以上幾題是我們最近作業中的關于S■最值的問題，有同學反映“記得公式，但沒有方法”. 今天我們準備通過這幾道題深入思考，看能否從中獲得關于相關知識與方法的更深刻的理解.

師：在批改過程中，我發現絕大部分同學都能解決第一道題，下面的幾題有不同程度的困難. 其實，解決下面幾題的方法、想法都能在第一題的解法中找到，我們需要好好挖掘一下這個寶藏. 先請一位同學來說說第一題的解法和想法.

生1：我先把公差d求出來了，等于■;然后把S■表示出來了，是S■=■n2-■n;求出對稱軸n■=5.9，取最靠近的整數，所以當n=6時S■最小.

師：不錯，你能說說想法嗎？

生1：要求S■什么時候最小，我就先把S■表示出來，是關于n的二次函數，從函數的角度來看，就是要找到其對稱軸，數列中n只能取整數，所以取最靠近的6就解決了.

師：解決得很好，其他同學也是這么解決的嗎？

生：是的. （異口同聲，說明大部分學生都是這樣的）

師：這么好的方法，為什么不用到第二個題目中來呢？再找一位同學來說一下.

（第二題的第一問學生基本上都做對了，其結果是-■

生2：我本來也是想用同樣的方法，從函數的角度來解決第二問的，可是遇到了問題.

師：什么問題？能否跟第一題做個比較.

生2：我也準備把S■表示出來，可是不行，第一題之所以能表示S■是因為a■，d都能求出來，而第二題中的a■，d都求不出來，所以就不行了.

2. 片段二

師：原來如此，我們一起來反思一下這個問題，你認為a■，d不能求出來，S■就不能被表示出來，對嗎？

生2：是的，求不出來值就不能表示……（停頓、思考）好像字母也可以表示：S■=na■+■=■n2+a■-■n，可是表示出來也不能解決……

師：我們再來回顧一下目標，從函數的角度來看，S■什么時候取最值，關鍵是看什么？

生2：由于S■是二次函數，所以關鍵是看開口方向和對稱軸，由于d<0，所以開口向下，對稱軸n■=-■=■-■，可是a■，d沒有具體的數值而且是兩個字母……

師：是不是一定要求出具體的數值才可以？這兩個字母有沒有聯系？

生2：由于a■=12，則a■+2d=12，兩個字母有聯系，可以消去一個，n■=■-■，由于d有范圍，所以可求得n■的范圍是（6，6.5）. 噢，所以當n=6時，S■取最大值.

師：很不錯，看來目標很重要，而且字母并不可怕，字母也是數，是可以變化的數.

師：上述過程我們是否可以再進行優化呢？我們再來研究一下上述過程中用到的S■的公式：S■=na■+■=■n2+a■-■n，這個公式從函數的角度來看，d≠0的情況下，一定是二次函數，大家能畫出它的簡圖嗎？看看有什么特點.

生：如圖1、圖2所示. d>0時，開口向上;d<0時，開口向下時，并且圖像都過（0，0）.

師：很好，本題已知d<0時，開口向下，關鍵是對稱軸，能否在圖上標出S■，S■，并建立對稱軸與S■，S■的關系呢？

生2：從圖3可知，可用函數的兩個零點0，n■表示對稱軸n■=■=■，而n■∈（12，13），則n■∈（6，6.5），所以當n=6時，S■取最大值.

生：掌聲……？搖？搖

3. 片段三

師：從上述的解題中，我們挖到了很多寶藏. 比如，要求S■的最值，可以從函數的角度來解決，如果是二次函數的最值，關鍵是開口方向和對稱軸，可以從代數的角度來表示，也可以通過數形結合來解決.

師：我們還能從其他角度來思考解決嗎？這個角度從哪里來呢？

生：……

師：要求S■的最值，與等差數列S■相關的公式共有哪些？

生：S■=■=na■+■，還有S■=a■+a■+…+a■.

師：剛才是從函數的角度來看，你能從一般求和角度S■=a■+a■+…+a■來說說S■為什么有最值嗎？

生3：S■是由一個一個的數相加得到的，如果一直加正數，那么S■會一直變大，S■沒有最大只有更大;如果一直加負數，那么S■會一直變小，S■沒有最小只有更小. 所以如果要使得S■有最大值或最小值，一定是a■變號的時候.

師：很好，其他同學覺得他說得對嗎？

生：對的！（全體）

師：現在可以從這個角度重新解決第一題嗎？試試看？

生：可以. 由a■=-3，d=■，可得a■=■n-■，令a■≤0，a■>0，得■

師：我們現在有了函數角度、一般求和角度，函數角度還有具體不同的操作，同學們在解決問題的時候，就需要選擇、需要優化了. 下面請同學們自己試試第二、第三、第四、第五題.

最后這幾道題都有了不同的角度、不同的解法.摘錄第五題的解法如下：

方法一：設{an}的公比為q，聯立方程組a■（1+q2）=10 ①，a■（q+q3）=5②，

聯立方程①②得a■=8，q=■.

所以a■=24-n.

所以a■a■…a■=2■=2-■（n-■2-■.

所以當n=3或n=4時，a■a■…a■有最大值為64.

方法二：同方法一可得a■=24-n.

令a■≥1，0

可知{a■}中的前四項是大于或等于1的，第五項開始大于0且小于1，其中a■=1.

所以當n=3或n=4時，a■a■…a■有最大值為64.

■教后反思

1. 習題重組，構建知識系統，深化知識間聯系

知識的系統化，是指從整體、全局或聯系中去掌握具體的概念和原理，使所學的概念和原理回到知識系統中應有的位置上去[2]. 章建躍先生指出：“系統掌握”是指學生頭腦中有清晰的、穩定可辨別的、遷移能力強的“數學知識結構圖”，不僅理解知識及蘊含的數學思想方法，而且懂得知識間的邏輯關系、聯系方式. 作業講評課如何促進學生系統掌握課本知識？筆者覺得重新組織作業中的習題使之形成一個整體，有助于知識系統化. 重新組織習題時要盡量做到少而精，有梯度有聯系，其作用會深而廣. 組織習題時盡量先選擇作業中已有的習題，以達到資源利用的最大化，同時時間的使用也最經濟. 若作業中習題不能組織成結構良好的題組，則可以適當補充習題或變式，使之形成良好的知識結構.這樣在講評作業時也可以突出重點、詳略得當，而不需要面面俱到. 系統掌握知識，聯系緊密而深刻，牽一發而動全身，有利于知識運用時得以提取和遷移.

2. 習題重組，自然習得，助學生更易學

自然的過程指的是自然的思維過程. 怎樣的思維過程才自然呢？比如：（1）來源于學生的想法是自然的，學生的想法有時候可能并不能完全解決問題，但是肯定接地氣，有群眾基礎，不要急于否定，多從學生的角度看問題，一定有其合理的地方，加以發展和改進，從而自然過渡到正確的思路上來. 同時，學生也能感到老師的尊重和重視，從情感上產生更大的投入，也非常有利于學好數學. （2）來源于課本知識的想法是自然的，有時候老師提出的想法或方法，會讓學生有一種“魔術師帽子中拎出來一只兔子”的感覺. 這樣提出的方法或想法就不容易學會，長此以往，反而會讓學生產生畏懼心理，甚至產生厭學情緒.若能溝通與課本知識的聯系，學生會感到方法更自然，更容易接近. 例如，前面求S■最值的一般求和角度，怎么會想到的呢？因為前n項和S■=a■+a■+…+a■，那么可以從“加上一個數a■，S■是變大還是變小”這個角度來思考，類似求a■a■…a■的最大值，可以從“乘一個數a■，a■a■…a■是變大還是變小”的角度來考慮.

3. 習題重組，深度認知，打開學生數學思維之泉

“講的沒有考，考的沒有講”，這是不少學生在考試后會發出的感慨. 當然這應該也是這些學生的真實感受，但在不少老師看來，哪兒會有沒講過的東西呢，最多也就是換湯不換藥罷了.這就需要老師加強指導辨認“藥”是怎么沒有換的，而“湯”又是如何換的. 比如，對等差數列的定義a■-a■=d的理解，很多學生認為a■-a■=2符合等差數列的定義，{an}是等差數列;而a■-a■=2中，就看不到{a■}是等差數列了. 這時可以通過多舉幾個例子，如■-■=2，■-■=2，（n+1）a■-na■=2，等等. 讓學生回歸到等差數列的定義，后一項與前一項的差是一個常數，這里的“后一項”與“前一項”的內容（湯）可以換，但實質（藥）沒有換. 當然，隨著理解的深化，將來定義中的d也是可以換的，但由定義推導an的過程方法還可以繼續使用. 加強知識之間的聯系，相當于建立四通八達的渠道，可以更容易引到源頭活水，甚至還可以引到更優質的水源. 比如，在學習數列通項公式、前n項和公式時，加強從函數的角度看數列，將來解決問題時可以活化從函數角度解決問題的思路，在此基礎上如果能夠再加強目標與已知之間的聯系，可以優化解題過程，減少解題長度，獲得對知識的深刻理解.

作業是課堂的延伸和補充，講評的意義在于加深對數學的理解，提升運用數學解決問題的能力，對學生和教師都有非常積極的意義.

參考文獻：

[1]? 趙峰.一題多變導數題[J]. 數學通訊，2015（Z2）.

[2]? 章建躍. 數學教育隨想錄[M]. 浙江教育出版社，2017.