淺議初等數學與高等數學有效銜接的路徑

姚中華　林鑫　齊貴美

摘? 要：對初等數學與高等數學建立有效的路徑銜接，是保障學生能夠盡快適應高等數學學習的有效手段。通過對數學思想的分析，文章從數形結合的思想、化歸與轉化的思想、分類討論的思想、特殊與一般的思想、極限的思想五個路徑，給出初等數學與高等數學的有效銜接的具體措施，旨在幫助實現學生由初等數學過渡到高等數學的無縫銜接。

關鍵詞：數學思想? 高等數學? 初等數學? 有效銜接? 路徑

中圖分類號：G642? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-1578（2020）02-0014-02

1? ?引言

高等數學是大學理工類、經管類專業重要的基礎課，是一門抽象性高、邏輯性強、應用性廣的學科。由于其主要研究對象是無窮和非勻變量，而學生往往以做題為學習的中心環節，忽略了對數學思想和方法的分析總結，從而難以適應高等數學的學習。本文從數學思想的角度出發，分析初等數學和高等數學的教學內容，從而給出從初等數學到高等數學的有效銜接路徑。

2? ?數形結合的思想

學生在中學數學的學習中，能夠熟練地利用圖形推導平方差公式和完全平方公式、借助數軸和文氏圖進行集合的運算、結合函數圖像探究函數的性質、通過圖解法求解簡單的線性規劃問題等等;而在高等數學的學習中，學生往往容易忽略從幾何的角度理解概念和定理。從數形結合的角度看，高等數學中幾乎每一個概念和定理都有對應的幾何解釋，這些幾何解釋可以幫助學生理解抽象的知識點。例如，學習一元函數在某點處極限存在的充要條件時，如果結合一正一反兩個圖形案例來理解這個定理，就會起到事半功倍的效果;類似地，對于函數間斷點的學習，可以結合函數的圖象，從幾何的角度去理解不同類型的間斷點，從而正確掌握相應的概念。

3? ?化歸與轉化的思想

化歸與轉化就是將復雜的、待解決或未解決的、不熟悉的問題轉化為簡單的、已解決或容易解決的、熟悉的問題。在初等數學學習中，學生已經熟練地掌握了將分式方程、二次方程和多元方程轉化為整式方程、一次方程和一元方程這些化歸與轉化的技巧。

在高等數學洛必達法則的學習中，對于兩種基本類型的不定式極限，可利用洛必達法則求解;對于其他類型的不定式極限，如冪指函數的極限，則需通過適當的變形轉化才能求解。此外，對于冪指函數的求導，既可以用對數求導法轉化為隱函數的導數問題，也可以設出合適的中間變量轉化為多元復合函數的全導數問題。

4? ?分類討論的思想

分類討論不僅是一種數學思想，更是一種邏輯方法。在初等數學的學習中，學生最樂于使用分類討論的方法解決數學問題，分類討論思想在各省的高考試題中也往往占據重要地位。

在高等數學的學習中，分類討論也是無處不在。例如，不同于數列的極限，函數的極限可以根據自變量是趨于定點還是趨于無窮大而分為兩大類，在此基礎上，再通過定義單側極限的概念，進一步將其分為六種形式。對于有理分式函數極限的求解，如果能正確理解函數極限的兩大分類，就能快速掌握因式分解消除零因子和同除最高次冪這兩種方法的應用范圍，進一步，對于自變量趨于無窮時有理分式函數的極限，對分子和分母最高次冪的大小進行分類討論，可以得到更一般的結論。再如，對于一元函數的間斷點，利用左右極限的存在性可將其分為兩類，對于第一類間斷點，再根據左右極限是否相等又可進一步分類，通過對間斷點的分類，可以更好地掌握函數間斷點的概念，理解函數連續與間斷的本質。

5? ?特殊與一般的思想

在數學的學習中，很多公式、定理的學習都是通過特殊開始的，從特殊到一般。在初等數學勾股定理的學習中，從畢達哥拉斯地板磚的引入，對等腰直角三角形這一特殊情形進行探究，再引發對一般直角三角形的探討;在高等數學微分中值定理的學習中，首先引入羅爾定理，然后通過取消定理中兩個端點函數值相等的特殊條件，就可以引入更一般的拉格朗日中值定理。

有時，數學的學習也可以從一般情況入手，從一般到特殊，或者說逆向地從特殊到一般。在初等數學中，學生先是認識了一般的四邊形，然后轉到特殊的四邊形——平行四邊形，對于平行四邊形再從特殊的角度入手，進而認識了矩形、菱形和正方形;在高等數學平面及其方程的學習中，可以在認識平面方程的一般式之后，進一步討論方程中系數出現零的特殊情況，從而學習了過原點的平面方程、平行于坐標軸的平面方程和平行于坐標面的平面方程。

此外，如果把數列看做特殊的函數，在極限章節的學習中，可先由特殊到一般，從數列極限的概念入手，再學習函數極限的概念，在系統學習函數極限的計算方法之后，再由一般到特殊，回過頭來掌握數列極限的計算方法。

6? ?極限的思想

高等數學是一門以極限為基礎的學科，處處滲透著極限思想，作為極限存在準則之一的夾逼準則也是求極限的一個重要方法。盡管初等數學課程中并沒有直接講授極限的知識，但在義務教育數學課程標準（2011年版）中卻有著這樣一道例題：圖1中每個小正方形的面積為1個面積單位，試估計曲線所圍圖形的面積[1]。

如果數出圖形內包含的完整的小正方形的個數，就可以估計圖形的面積，且估算值比實際面積要小;在此基礎上，再加上圖形邊緣接觸到的小正方形的面積，也可以估計圖形的面積，且估算值比實際面積要大，實際面積在兩者之間。如果要得到更精確的面積值，則應該將正方形網格加密，把所有小正方形分成更小的正方形，這里不僅體現著極限的思想和夾逼準則的應用，同時也蘊含著有限差分算法中網格加密的策略。

7? ?結語

盡管高等數學與初等數學在內容與深度這兩方面差異很大，但是兩者所體現的數學思想卻是一脈相承的。從數學思想的角度給出從初等數學到高等數學的有效銜接路徑，可以使學生進一步深刻認識到這些數學思想，從而增強學習信心，提高學習興趣，順利地實現從中學數學到大學數學的過渡。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社， 2011：91-92.

作者簡介：姚中華（1993-），男，山東青島人，助教，研究方向：數學教學、計算數學。