探索“放縮與替換求和”在解題中的應(yīng)用

欒功

[摘要]結(jié)合課本習(xí)題和高考壓軸題探索“放縮與替換求和”在解題中的應(yīng)用，以提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]放縮;替換;求和;應(yīng)用

[中圖分類號]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0014-03

近年高考真題出現(xiàn)函數(shù)、不等式與數(shù)列求和綜合的一類不等式證明問題.這類題目綜合性強(qiáng)，容易給考生造成一定的心理壓力，考生常常望而生畏.深入分析可知，這類問題源于課本且延伸到高等數(shù)學(xué)內(nèi)容.筆者經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，借助函數(shù)不等式“放縮”可使題目求解柳暗花明，替換求和水到渠成.

一、一道課本習(xí)題的解法分析

人教A版選修2-2第一章《1.3.3函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)》的B組第1題（3）（4）：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)的圖像直觀驗(yàn)證：（3）;（4）.

分析一：從導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的通法看，可以構(gòu)造函數(shù)與，利用單調(diào)性證明.

證明：設(shè)，則.x<0時;x>0時.

因此函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，故，所以.

記，，時，;時，.因此函數(shù)在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故時，所以當(dāng)時，.

分析二：從函數(shù)圖像的關(guān)系看，問題源于曲線在（0，1）處的切線和y=lnx在（1，0）處的切線.通過觀察函數(shù)圖像的位置關(guān)系可以得到以上結(jié)論.如圖1，可得，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號;x-1≥lnx，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號.

評注：和源于課本，兩者有著密切的聯(lián)系.如在中以lnx代換x，可得，即.這兩個不等式也稱為切線不等式，其實(shí)現(xiàn)了指數(shù)、對數(shù)問題的放縮與轉(zhuǎn)化，以此為源頭可演繹出許多不同結(jié)構(gòu)的試題，用以考查導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識與基本方法，考查不等式轉(zhuǎn)化、對數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)、不等式求和等.

二、由課本習(xí)題引申出的高考題解法分析

[例1]（2017年新課標(biāo)III卷理21）已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx.

（1）若f（x）≥0，求a的值;

（2）設(shè)m為整數(shù)，且對任意正整數(shù)n，.，求m的最小值.

解析：（1）解答過程略，f（x）≥0時，a=1.

（2）解法1：由（1）知當(dāng)x>0，x≠1時，f（x）=x-1-lnx>0，即lnx

令.

，即.

所以.

所以m的最小值為3.

解法2：因?yàn)椋▁=0時取等號），所以，

所以.

又，所以m的最小值為3.

評注：本題當(dāng)a=1時函數(shù)解析式f（x）=x-1-lnx，考生容易聯(lián)系到課本習(xí)題所得切線不等式.同時第（1）問的問題再次指向了該不等式，即當(dāng)x>1時.再來看第（2）問，不等式的左端n個式子結(jié)構(gòu)形式一致，具有數(shù)列的特征，考生的思維容易聯(lián)系到數(shù)列求和.而對數(shù)運(yùn)算正好實(shí)現(xiàn)了積與和的轉(zhuǎn)化，這就有了解法1.借助切線不等式實(shí)現(xiàn)放縮.觀察待證不等式通項特征，可令，即有

，通過變量替換和對數(shù)運(yùn)算，把n個式子求積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為n個式子求和，問題迎刃而解.當(dāng)然，對于n個式子求乘積的運(yùn)算，考生還會聯(lián)系到指數(shù)運(yùn)算律，結(jié)合本題情境使用切線不等式來放縮，可令，則有，連乘積問題通過指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，問題的求解水到渠成.

[例2]（2018年廣州二測文21）已知函數(shù).

（1）若函數(shù)f（x）的極小值不大于k對任意a>0恒成立，求k的取值范圍;

（2）證明：.（其中e為自然數(shù)的底數(shù)）

解析：（1）略.

（2）證法1：由（1）知，a=1時，即（x=1時取等號）.

當(dāng)時，取，則，

即，，

將以上n個式子相加得

證法2：因?yàn)椋▁=0時取等號），所以，

從而.，

記，由證法1知，

因此.

評注：本題的兩種證法都源于切線不等式，與例1有異曲同工之妙.本題與例1的區(qū)別是在替換求和過程中出現(xiàn)了錯位相減，進(jìn)一步告訴考生這類問題的關(guān)鍵在于尋找切線不等式，從而實(shí)現(xiàn)放縮，以達(dá)到不等式求和之目的.而求和又不止于等比數(shù)列，需要考生靈活應(yīng)用方法.

[例3]（2011年“華約”自主招生13）已知函數(shù).

（1）求數(shù)列的通項公式;

（2）證明：.

解析：

（1）由，得，所以，從而，

由得，所以.

（2）要證，只需證，即.

，整理得.

證法1：由知，從而.

所以，

即，

從而.

所以

證法2：由得，

所以，.

評注：例3的第（1）問求解數(shù)列通項公式為第（2）問的求解做好了鋪墊.考生遇到的難點(diǎn)是所證式子代進(jìn)通項公式后結(jié)構(gòu)形式較為復(fù)雜，不具備直接使用切線不等式放縮的結(jié)構(gòu)特征，需要考生對式子等價變形，轉(zhuǎn)化為，此時問題與例1、例2如出一轍.

三、提煉概括

這類不等式的一般結(jié)構(gòu)形式為

解決問題的主要方法是借助切線不等式放縮，用待解問題中的通項替換切線不等式中的變量，通過指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算把和、積不可求的問題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和.

導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列求和綜合的這類題目，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的基礎(chǔ)知識，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值和最值的方法，考查對數(shù)函數(shù)和、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式轉(zhuǎn)化與數(shù)列求和等知識，對考生的問題轉(zhuǎn)化能力和推理論證能力都提出了較高要求，有一定難度，但又很有規(guī)律，都是源于函數(shù)的不等式替換求和問題，考生需將待證不等式整理為一般形式，從而便于探源尋找與數(shù)列不等式結(jié)構(gòu)形式一致的函數(shù)不等式，用來放縮以便求和.解題的一般程序?yàn)椋赫{(diào)整——放縮——替換——求和.

[參考文獻(xiàn)]

教育部考試中心.高考理科試題分析[M].北京：高等教育出版社，2017.