利用數學史優化數學教學設計

付燕會

【摘要】數學史是數學文化的重要組成部分，卻漸漸被大家所淡忘。自2005年第一屆“全國數學史與數學教育會議”在西北大學召開以來，HPM（History and Pedagogy ofMathematics）日益受到我國數學教育界的關注，關于數學史教育價值的討論層出不窮，一些HPM教學案例亦悄然誕生。HPM在情感態度價值觀方面的作用得到了廣大數學教育工作者的認同，而在認知方面的作用卻始終受到質疑，這就造成了HPM在公開課、評比課上頻繁亮相，而在日常教學中卻無人問津。因此，數學史應用于數學教學上仍然存在很大的阻礙。

數學史應用于數學教學的最重要的依據之一是歷史發生原理，即個體對數學概念的認知發展過程與該概念的歷史發展過程相似。結合以上存在的現象，本論文主要從數學史應用于數學教學的現狀、理論基礎（新課標要求）和利用數學歷史發生原理設計的教學案例分析等幾個方面，說明了將數學史應用于數學教學的重要性，如何將數學史應用于數學教學，以及對數學史應用于課堂的美好展望。

【關鍵詞】數學史;HPM;數學教學;歷史發生原理

一、將數學史應用于數學教學的重要性

目前，對于中學數學教材中出現的一些數學史知識，多數教師認為數學史在課堂教學中能激發學生學習興趣，但認為其與測試評估無關或因自己的無知而匆匆帶過。因此，縱然數學史是數學文化的重要組成部分，仍然沒有在課堂上得到一席之地，沒有得到應有的重視。

《全日制義務教育數學課程標準》要求分學段介紹有關的數學背景知識，在第一學段要求教材可以在適當的地方介紹一些有關數學家的故事、數學趣聞與數學史料，使學生了解數學知識的產生與發展首先源于人類生活的需要，體會數學在人類發展歷史中的作用，激發學生學習數學的興趣。第二學段要求教材注重體現數學的文化價值。在對數學內容的學習過程中，教材可以在適當的地方插入介紹一些有關數學發現與數學史的知識，豐富學生對數學發展的整體認識。對后續學習起到一定的激勵作用。第三學段要求教材要包含一些輔助材料，如史料、進一步研究的問題、數學家介紹、背景材料等，這樣不僅可以使學生對數學的發展過程有所了解，激發學生學習數學的興趣，還可以使學生體會數學在人類發展歷史中的作用和價值。在各學段都對數學史料的出現形式，內容與目標做出了具體的安排與要求。

我國《普通高中數學課程標準》將“體現數學的文化價值”作為課程的基本理念之一，數學文化日益受到人們的關注。師范院校數學文化課程建設如火如荼，中學數學文化校本課程悄然誕生。然而，數學文化的主要載體是數學課程，而非數學文化課程;數學文化傳播的主陣地是數學課堂，而非數學文化課堂。

新一輪的數學課程改革已將數學文化提到了重要位置，數學文化是人類的本文化，它不僅包括數學的知識成份（命題、方法、問題、語言），還包括數學的觀念成份（數學的精神、思想）。著名數學家徐利治指出：數學教育理應具有“文化素質教育”功能，在很高的水平上陶冶和塑造優秀的科學文化人。他說：我們所說的“科學文化人”泛指具有較高文化素質，能夠體現“數學精神”，且能夠在不同程度上理解并運用“數學思想方法”的科技人才。要使學生理解數學文化價值的內涵（數學是一種科學的語言，一種思維的工具，一種思想方法，一種理論精神，一種藝術），我們就需要通過數學史的文化詮釋，將作為數學文化載體的數學史融入數學教學，增進學生的數學理解，使學生形成正確的數學觀。

可見，現行的教學大綱對數學史優化數學教學設計給予了一定的重視。

二、如何將數學史應用于數學教學

數學史材料的搜集是數學文化傳播的基礎，沒有足夠的素材，就會陷入“巧婦難為無米之炊”的境地，數學文化融入數學教學也就成了一句空話。因此，利用數學史優化數學教學設計的過程一般分為以下六步：搜集數學史材料→創爭合適的話題→分析課堂需要→設計教學活動→實施課堂教學→評價課堂活動。

下面具體給出一個利用數學史優化數學教學設計的案例。

一元二次方程求根公式的推導過程：

大英博物館藏巴比倫泥版BMI3901上有如下問題：正方形面積與邊長之和為3/4，求邊長。解法：置投影1，半之，得1/2，1/2和1/2構成矩形，將1/4與3/4相加，得1，從中減去1/2，即得邊長為1/2。巴比倫人上述解法的依據乃是圖3-1所示的幾何圖形。將置于正方形一邊上的長為1、寬與正方形邊長相等的長方形按虛線剪開，剪下的一半置于正方形的另一邊，然后補一個邊長為1/2的小正方形，即得一大正方形，其面積為3/4+1/4=1，邊長為1，減去1/2，即得所求正方形的邊長。

（一）幾何方法引入

讓學生分組合作，用任何方法解下面的問題。

問題1：已知矩形的半周長為20，面積為96。求矩形的長和寬。

在學生完成之后，教師在黑板上用硬紙板介紹幾何方法如圖2：取邊長為10的正方形，其面積為100;割去面積為4的正方形（邊長為2），余下的面積為96;按虛線剪去小矩形（長為8，寬為2）;將小矩形豎直放置在右側。

于是，所求的矩形長為12，寬為8。

接著，教師讓學生用幾何方法解類似的問題：已知矩形的半周長為12，面積為30。求矩形的長和寬。注意，此時應割去的小正方形邊長為無理數。讓學生書面總結解這類問題的一般步驟。

（二）合作討論與提出問題

分組討論解上述問題的步驟、出現矛盾的情形，每組選一名代表向其他組介紹自己所在組的討論結果。接著，教師讓學生自己提出類似問題，分別要求：所求矩形的長和寬為整數;所求矩形的長和寬不能為整數。

（三）新的矩形問題

教師提出新的問題。

問題2：矩形的長為10，寬未知。在矩形一邊放一正方形，如圖3所示。已知矩形和正方形面積之和為39，問矩形的寬為多少？

讓學生用解問題1的方法來解本題。若學生不能完成，教師用硬紙板演示新的解法（圖3）：將原矩形沿豎直方向分割成兩半;其中一半粘到正方形的底邊;在右下角補一個邊長為5的小正方形。于是，整個正方形的面積為39+25=64，從而得邊長為8。因此，x+5=8，x=3。

接著，教師讓學生書面總結解這類問題的一般步驟。

（四）求根公式的再發現

教師提問：根據前面總結的解題步驟，能否找到一般公式，直接求得問題2解呢？引導學生用字母b表示問題2中矩形的長，c表示矩形和正方形的面積之和。分組討論矩形寬的計算公式：

教師將上述幾何問題翻譯成代數語言：

x²+bx=c（b）

（a）式即為該方程的求根公式。接著，教師讓學生用該公式解具體的一元二次方程，如x²+8x=9，x²+15x=75等，接下來，教師讓學生找出一元二次方程

ax²+bx=c（c）

的求根公式，引導學生將二次項系數化成1，即方程兩邊同除以a，即得方程（b）形式

x²+b/ax=c/a

故在公式（a）中用b/a代替b，用c/a代替c，即得公式

最后，考慮一般方程

ax²+bx+c=0（e）

為了獲得一元二次方程的所有根，我們必須考慮b²-4ac的負平方根，因此，方程（e）的完整的求根公式即為

這個例子的設計使用了數學歷史發生原理，通過幾何方法引入一元二次方程的解法，較符合學生的認知規律，體現了發生教學法的主要特征之一：主題之可接受性，即所引入之新主題建立在學生已有的認知基礎之上。

三、對將數學史應用于數學教學設計的展望

F·克萊因曾指出：“教學應遵循人類從知識的原始狀態到更高級形式的道路。推廣這種自然的真正科學的教學的主要障礙是缺乏歷史知識。”百多年后的今天，克萊因所說的障礙依然存在，要想將數學史更好的利用于數學教學設計，我們需要抓好以下幾點：第一，多數中學數學教師缺乏數學史知識，對數學史與數學教育之間的關系更是不甚了了。竊以為，“數學史與數學教育”應該成為數學教師在職培訓的課程。第二，設立中學數學教師數學史論壇，成為數學史與數學教育交流平臺和陣地。第三，在進行數學史融入數學教學設計和教學實踐時，先由大學教師完成相關主題的歷史研究，獲得歷史材料，然后由大學與中學的教師合作，根據需要對材料進行加工，使之適合于教學，最后由中學教師將加工后的材料用于教學設計，并付諸實踐。第四，要讓更多數學教師接受數學史運用于數學教學設計的實踐，首先就必須讓他們看到數學史應用于數學教學案例的成功之處，我們需要更多的關于數學史的案例。第五，獨木難成林。有一個志同道合、不斷進取的團隊，共同為數學史應用于數學教學設計服務，才能使其不斷壯大。

【參考文獻】

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[5]汪曉勤.HPM的若干研究與展望[J].中學數學月刊，2012（2）：1-5

數學史是研究數學科學發生發展及其規律的科學，簡單地說就是研究數學的歷史。它不僅追溯數學內容、思想和方法的演變、發展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數學科學的發展對人類文明所帶來的影響。因此，數學史研究對象不僅包括具體的數學內容，而且涉及歷史學、哲學、文化學、宗教等社會科學與人文科學內容，是一門交叉性學科。