例析平拋運動與斜面的組合問題

許文

將平拋運動與斜面組合是一種常見的深化平拋運動的構題方式。這類組合問題往往通過斜面的一些隱含條件，能很好地考查同學們對平拋運動規律的理解與運用。下面通過實例剖析平拋運動與斜面組合的幾種經典構題方式，探究各種組合問題的命題規律，總結求解問題的分析方法。

一、起點在斜面外、落點在斜面上的平拋

起點在斜面外、落點在斜面上的平拋運動問題往往會給出做平拋運動的物體落在斜面上的速度方向與斜面的夾角或物體落在斜面上的位置。斜面往往會隱含著物體做平拋運動末速度的方向、平拋運動的水平位移與豎直位移間的關系。通常根據斜面的傾角，由幾何關系、三角函數等數學知識找出相關的隱含條件，才能使問題得以順利求解。

例1 如圖1所示，斜面傾角為θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正對斜面頂點B水平拋出，小球到達斜面時運動的時間為t，重力加速度為g。則下列說法中正確的是（ ）。

點評

本題中斜面約束了小球的平拋運動，斜面的傾角隱含著小球做平拋運動的末速度方向、水平位移與豎直位移間的關系。通過相關的數學知識找出這種隱含條件是分析求解這類問題的關鍵。

例2 如圖2所示，斜面上a、b、c三點等距，小球從a點正上方O點拋出，做初速度為v0的平拋運動，恰好落在b點。若小球的平拋初速度變為v，落點位于c點，則（ ）。

A. v0

B.√2v0

C. 2v0

D. v>3v0

例3 如圖4所示，傾角為θ的斜面上有A、B、C三點，現從這三點分別以不同的初速度水平拋出一小球，三個小球均落在斜面上的D點，現測得AB：BC：CD =5：3：1，則（ ）。

A.從A、B、C三處拋出的三個小球的運動時間之比為1：2：3

B.從A、B、C三處拋出的三個小球落在斜面上時的速度與初速度間的夾角之比為1：1：1

C.從A、B、C三處拋出的三個小球的初速度大小之比為3：2：1

D.從A、B、C三處拋出的三個小球的運動軌跡可能在空中相交

解析

因為AB：BC：CD=5：3：1，所以從A、B、C三處拋出的三個小球做平拋運動的位移大小之比為

點評

本題中三個小球的運動均為同一斜面上的平拋運動，上述求解過程中充分利用了斜面上平拋運動的幾個二級結論，即運動時間t∞v0，合位移s∞v0，末速度與初速度方向間夾角a與斜面傾角θ之間滿足tan a= 2tanθ，實現了快速求解問題的目標。

例4 如圖5所示，每級臺階高h=0.2 m，寬l=0. 25 m。一小球從臺階頂以初速度v0=2 m/s平拋，問：小球最先落在哪一級臺階上？（取g=10 m/s02）

點評

本題對小球落在哪一級臺階上的判斷，需要先求出小球做平拋運動的水平位移z或豎直位移y的大小，再根據每一級臺階的寬度或高度進行推理判斷。上述求解過程中先通過連接每一級臺階頂部構成一斜面，再利用起點與落點均在同一斜面上平拋運動的相關二級結論，使得問題得到有效的解決。

三、起點在斜面上、落點在水平面上的平拋

對起點在斜面上、落點在水平面上的平拋運動問題的分析與求解，要充分挖掘隱藏在幾何圖形中的相關隱含條件，必要時還可將平拋運動的軌跡延長到與斜面或水平面相交，從而將問題轉化成起點與落點均在同一斜面上或不被斜面約束的平拋運動問題。

點評

本題分析的難點是第三種可能的情況。我們把落在斜面上的平拋運動軌跡延長到與水平面相交，把落在水平面上的平拋運動軌跡延長到與斜面相交，將問題進行轉化比較，從而順利地突破了這個難點。

感悟與提高

1.如圖9所示，一固定斜面體的傾角為θ，將小球A從斜面頂端以速率v0水平向右拋出，擊中了斜面上的P點;將小球B從空中某點以相同速率v0水平向左拋出，恰好垂直斜面擊中Q點。不計空氣阻力，重力加速度為g，下列說法中正確的是（ ）。

A.若小球A在擊中P點時的速度方向與水平方向所夾銳角為φ，則tanθ=2tanφ

B.若小球A在擊中P點時的速度方向與水平方向所夾銳角為φ，則tanφ=2tanθ

C.小球A、B在空中運動的時間之比為2tan2θ：1

D.小球A、B在空中運動的時間之比為tan2θ：1

2.如圖10所示，橫截面為直角三角形的兩個相同斜面體緊靠在一起，固定在水平面上，它們的豎直邊長都是底邊長的一半。小球從左邊斜面的頂點以不同的水平初速度v向右平拋，最后落在斜面上，其中三次的落點分別是a、b、c。下列判斷正確的是（ ）。

A.小球落在a點時的飛行時間最短

B.小球落在c點時在飛行過程中的速度變化最大

C.小球落在c點時在飛行過程中的速度變化最快

D.無論小球拋出時的初速度多大，落到兩個斜面上的瞬時速度都不可能與斜面垂直

3.如圖11所示，水平面上固定有一個斜面，從斜面頂端向右平拋一個小球，當初速度為v0時，小球恰好落到斜面底端，小球做平拋運動的時間為t0。現用不同的初速度v從該斜面頂端向右平拋這個小球，則圖12中四幅圖像能正確表示小球做平拋運動的時間t隨初速度v變化的函數關系的是（ ）。

4.如圖13所示，一小球以初速度v0從傾角為θ的斜面底端斜向上拋出，落到斜面上的M點且速度水平向右?，F將該小球以初速度2v0從斜面底端朝同樣方向斜向上拋出，落在斜面上的N點。下列說法中正確的是（ ）。

A.落到M和N兩點所用時間之比為1：2

B.落到M和N兩點時的速度大小之比為1：1

C.M和N兩點距離斜面底端的高度之比為1：2

D.落到N點時的速度方向水平向右

參考答案：1. BC 2.D 3.C 4.AD

（責任編輯 張巧）