基于彌散燃料顆粒開裂的金屬基體裂紋特征模型

陳洪生，龍沖生，肖紅星

(1.深圳市清潔能源研究院，廣東 深圳 518000；2.中國核動力研究設計院 反應堆燃料及材料重點實驗室，四川 成都 610213)

圖1 彈塑性裂紋Dugdale受力分析模型Fig.1 Dugdale stress analysis model for elastic-plastic crack

金屬基彌散燃料元件是由核燃料顆粒彌散分布在金屬基體中形成的一種核燃料元件，與常規芯塊燃料相比，其具有燃料溫度低、停堆熱容小、燃耗深、壽命長等優點[1-4]。在某些特殊工況下，金屬基彌散燃料元件會發生失效，彌散燃料元件的一種重要失效方式為表面起泡[5-7]。燃料元件表面起泡將會影響冷卻劑流速，惡化堆芯傳熱性能，降低燃料元件結構完整性，威脅反應堆運行安全[8-9]。

前期針對彌散燃料元件的顯微觀察結果表明：燃料顆粒開裂是金屬基體開裂的前提條件，只有當燃料顆粒間的金屬基體開裂后燃料元件才會發生表面起泡[6,10]。燃料顆粒開裂后大多數裂紋會貫穿裂變碎片損傷層，到達未損傷的金屬基體。由于未損傷的金屬基體具有較低的屈服強度和較好的塑性，裂紋氣體壓力會促使裂紋尖端的金屬基體發生塑性屈服，使裂紋寬度增加，并在裂紋尖端形成塑性變形區。裂紋寬度及裂紋尖端塑性區長度等裂紋特征對裂紋氣體壓力起著決定性作用，而氣體壓力又決定了金屬基體是否會發生開裂。因而建立燃料顆粒開裂后金屬基體裂紋特征的計算模型對于分析彌散燃料元件表面起泡行為具有重要意義。

本文根據彌散燃料顆粒裂紋附近的應力平衡條件，結合斷裂力學和彈塑性力學，獲得裂紋氣體壓力與裂紋寬度和塑性區長度的關系，建立基于彌散燃料顆粒開裂的金屬基體裂紋特征模型。通過實驗觀察得到的金屬基體裂紋寬度和塑性區長度，對金屬基體裂紋特征模型進行驗證。

1 金屬基體裂紋特征的計算模型

1.1 裂紋氣體壓力引起的塑性區長度

裂紋寬度主要與裂紋氣體壓力作用下的裂紋張開位移有關。當裂紋發生張開時，金屬基體必然發生塑性變形。為得到燃料球開裂后的裂紋張開位移，可先求解裂紋氣體壓力引起的裂紋尖端塑性區長度。由于裂紋尖端塑性區位于金屬基體中，燃料顆粒對裂紋平行面內金屬基體的應力影響較小。因此，在計算氣體壓力引起的裂紋尖端塑性區長度時，可對彌散燃料結構作以下近似與簡化。

1) 彌散燃料元件近似為均質材料。由于裂紋尖端塑性區的物理本質是金屬基體發生局部塑性變形，且彌散燃料元件主要由金屬基體構成，可忽略燃料顆粒的影響。

2) 金屬基體中裂紋尚未聯通前，基于燃料顆粒開裂形成的裂紋長度遠小于燃料元件尺寸，相對于裂紋長度，燃料元件可近似作為無限大物體。

通過以上兩方面簡化，上述問題可簡化為在無限大物體中含有圓形隱藏裂紋、裂紋內表面承受氣體壓力、求解裂紋尖端在氣體壓力作用下的塑性區長度這一問題。如圖1a所示，無限大物體中含有半徑為Rc的圓形隱藏裂紋，裂紋表面承受的氣體內壓為pg，塑性變形區域的長度為s。根據彈塑性斷裂力學Dugdale模型，裂紋尖端的塑性區范圍內作用著均布拉應力，拉應力的數值等于金屬基體的屈服強度σs。根據Dugdale受力分析模型，由線彈性力學的疊加原理可將圖1a所示的問題化為圖1b、c所示的兩個線彈性力學問題的疊加。兩個線彈性力學問題分別如下。

1) 無限大物體中含有半徑為Rc+s的圓形隱藏裂紋，物體遠端不受力，裂紋內表面作用著均布拉應力σs。

2) 無限大物體中含有半徑為Rc+s的圓形隱藏裂紋，物體遠端不受力，裂紋內表面半徑為Rc的范圍內作用著均布壓應力pg+σs。

根據應力強度因子的疊加原理，裂紋塑性區尖端(r=Rc+s)的應力強度因子為：

(1)

對于應力情況1，其應力強度因子[11]為：

(2)

對于應力情況2，其應力強度因子[12]為：

(3)

因塑性區尖端的應力為σs，為消除塑性區尖端應力的奇異性，其應力強度因子為0[13]，即：

KI=0

(4)

聯立式(1)～(4)可得到氣體壓力pg引起的塑性區長度s：

(5)

1.2 裂紋氣體壓力引起的裂紋張開位移

氣體壓力會導致裂紋面在軸向發生應變，從而形成裂紋張開位移。由于裂紋面主要由燃料顆粒組成，而燃料顆粒的力學性能與金屬基體相差較大，彈塑性Dugdale模型不適用于裂紋張開位移計算。在氣體壓力的作用下，裂紋面上部分的燃料芯體會受到壓應力，而在裂紋面之外的金屬基體(包括塑性變形區和彈性區)會對裂紋面上部分的燃料芯體產生拉應力，使燃料芯體保持應力平衡，如圖2所示。因此，可根據應力平衡條件，計算由于裂紋氣體壓力引起的裂紋張開位移。

圖2 裂紋尖端附近金屬基體中因氣體壓力引起的應力分布Fig.2 Stress distribution in metal matrix induced by gas pressure near crack tip

根據燃料芯體在垂直于裂紋面方向(z軸)上的應力平衡可知：

Fpg+Fplastic+Felastic=0

(6)

式中：Fpg為氣體壓力pg作用于裂紋面的壓力；Fplastic、Felastic分別為裂紋平行面上塑性區和彈性區對燃料芯體的拉力。

由圖2可知，氣體壓力pg直接作用于裂紋面的壓力Fpg為：

(7)

裂紋平行面上塑性區對燃料芯體的拉力Fplastic為：

(8)

裂紋平行面上彈性區對燃料芯體的拉力Felastic為：

(9)

式中，Re為彈性應力σz(r)在燃料芯體內的作用半徑。該方法的關鍵是確定金屬基體彈性區內的應力分布函數σz(r)，Tsai通過J積分計算了無限大物體為彈性材料、圓形裂紋面壓力為p0時的應力分布函數，其表達式[14]為：

(10)

式中，ρ=r/a，a為圓形隱藏裂紋半徑。

當裂紋尖端發生塑性屈服時，在塑性區內σzz等于材料的屈服強度，而在未發生塑性變形的彈性區內，其應力分布函數σz(r)與式(10)的應力σzz(ρ>1)類似，即：

ρ>relastic/a

(11)

式中，系數A與裂紋內壓、裂紋大小、塑性區長度、屈服強度等因素有關。由式(10)可知，當塑性區長度為0時，A=2p0/π。

對于彌散燃料芯體，圓形隱藏裂紋半徑為Rc。在金屬基體塑性區與彈性區的界面處(r=Rc+s)，金屬基體的應力σz等于屈服強度σs，即：

(12)

聯立式(11)、(12)可得到應力分布函數系數A：

(13)

因此，裂紋平行面上金屬基體彈性區的應力分布函數σz(r)為：

σz(r)=

(14)

由式(14)可知，彈性區的應力σz(r)隨半徑r的增大而急劇減小，當半徑較大時，σz(r)趨于0。另外，彈性區內的應力主要存在于連續的金屬基體內，當半徑增大到與其他燃料顆粒的裂紋相遇時，σz(r)將被進一步消弱。因此，可近似認為σz(r)在燃料芯體內的作用范圍等于燃料顆粒間距，即：

(15)

根據上述應力平衡條件，可得到裂紋氣體壓力pg與塑性區長度s的關系，結合Dugdale模型中塑性區長度s與氣體壓力pg的耦合方程(式(5))，便可計算給定條件下的裂紋氣體壓力pg和塑性區長度s。

當燃料顆粒開裂后，裂紋面主要由2個開裂的燃料半球組成。燃料顆粒的彈性模量遠高于金屬基體的彈性模量，因而由燃料顆粒組成的裂紋面幾乎不發生翹曲變形。裂紋形成的空腔體積Vcrack主要由裂紋張開位移δT來決定：

(16)

結合裂變氣體的實際氣體狀態方程，得到裂紋氣體壓力和裂紋空腔體積與裂變氣體釋放量的關系：

(17)

式中：ng為單個燃料顆粒開裂后的裂變氣體釋放量，與燃耗深度、退火溫度等因素相關，裂變氣體釋放量的計算模型詳見文獻[15]；R為氣體普適常數；T為熱力學溫度；a和b為實際氣體狀態方程參數，a=5.57×10-5m3，b=2.39×10-5m3。

基于前文計算的裂紋氣體壓力和塑性區長度，結合金屬基體的力學性能數據，即可得到裂紋面氣體壓力作用下的裂紋張開位移。

2 結果分析及驗證

通過建立的金屬基體裂紋特征模型，可計算不同條件下的裂紋張開位移和塑性區長度。通過對比分析實驗觀察得到的裂紋寬度和塑性區長度，可對金屬基體裂紋特征模型進行驗證。

2.1 金屬基體裂紋特征模型的計算結果

圖3 退火溫度對裂紋張開位移和塑性區長度的影響Fig.3 Influence of annealing temperature on crack opening displacement and plastic zone length

裂紋張開位移和塑性區長度與裂變氣體釋放量和退火溫度等因素相關，而裂變氣體釋放量又與燃耗深度和退火溫度等相關。通過建立的模型可計算退火溫度等因素對裂紋特征的影響規律。圖3為燃耗深度為10%時，退火溫度對裂紋張開位移和塑性區長度影響的計算結果。由圖3可知，隨著退火溫度的升高，塑性區長度和裂紋張開位移均增加。這是因為當退火溫度升高時，金屬基體的屈服強度降低，為保證燃料芯體內裂紋平行面上的應力平衡，裂紋面的氣體壓力會隨之降低。在裂變氣體釋放量保持不變以及溫度逐漸升高的條件下，欲使裂紋氣體壓力降低，只有增加裂紋張開位移。因此，退火溫度增加會導致裂紋張開位移增加，且增加速率隨溫度的升高逐漸變大。同樣，由于金屬基體的屈服強度隨溫度的升高而降低，這會導致裂紋尖端塑性區向彈性區擴展，因而塑性區長度隨退火溫度的升高而增大。

2.2 模型計算結果與實驗數據的對比分析

事實上，影響裂紋張開位移和塑性區長度等裂紋特征的因素有很多，包括燃耗深度、退火溫度、燃料顆粒尺寸、燃料相體積、金屬基體材料等。對于確定的彌散燃料元件，燃料顆粒尺寸、燃料相體積、金屬基體材料等基本不會發生變化，因此本文主要分析燃耗深度和退火溫度對裂紋特征的影響。中國核動力研究設計院[16]對輻照退火后的彌散燃料進行了觀察，采集了不同燃耗深度和退火溫度的燃料顆粒開裂圖像，并對不同樣品中單個燃料顆粒開裂后的裂紋寬度和塑性區長度進行了統計分析。統計結果表明：裂紋寬度和塑性區長度的整體趨勢均隨退火溫度的升高而增加；在相同的退火溫度下，裂紋寬度隨燃耗深度的增加而增大，燃耗深度的變化對塑性區長度的影響較小。由于裂紋張開位移與燃耗深度和退火溫度均相關，而通過實驗觀察得到的統計數據較離散，為直觀地比較模型計算結果和實驗數據，將燃耗深度、退火溫度和裂紋張開位移制成三維圖。圖4為裂紋張開位移的模型計算結果與實驗數據的對比，圖中彩色曲面代表計算結果，黑色球體代表裂紋寬度的實驗數據。由圖4可知，實驗數據分布在計算結果曲面附近，模型計算結果與大多數實驗數據符合得較好，計算結果與實驗數據的平均相對偏差為13%。裂紋張開位移的對比結果驗證了金屬基體裂紋特征模型的有效性。

模型計算結果顯示，塑性區長度的主要影響因素為退火溫度，燃耗深度對其影響較小，這與實驗數據相符。圖5為退火溫度對塑性區長度的計算結果與實驗數據的對比，可見兩者符合得很好，平均相對偏差約為0.55%，塑性區長度的對比結果同樣驗證了金屬基體裂紋特征模型的合理性。

圖4 裂紋張開位移的計算結果與實驗數據的對比Fig.4 Comparison between experimental data and calculating results of crack opening displacement

圖5 塑性區長度的計算結果與實驗數據的對比Fig.5 Comparison between experimental data and calculating results of plastic zone length

由本模型可知，裂紋寬度和塑性區長度等裂紋特征主要與裂變氣體釋放量相關。裂變氣體釋放量是彌散燃料元件失效評估的重要參數，而在實際彌散燃料芯體中，不能直接通過實驗測量得到裂變氣體釋放量。因此，根據本文建立的模型，可通過觀察裂紋特征對裂變氣體釋放量進行間接估算，進而評估彌散燃料元件表面起泡行為。

3 結論

金屬基彌散燃料中燃料顆粒開裂后，裂紋寬度和裂紋尖端塑性區長度等特征決定了金屬基體開裂行為。基于彈塑性斷裂力學和應力平衡條件，本文建立了基于彌散燃料顆粒開裂的金屬基體裂紋特征模型，并通過實驗觀察的裂紋張開位移和塑性區長度對金屬基體裂紋特征模型進行了驗證，獲得以下主要結論。

1) 裂紋張開位移隨退火溫度和燃耗深度的升高而增加；裂紋尖端塑性區長度主要與退火溫度相關。

2) 裂紋張開位移和塑性區長度的計算結果與實驗數據均符合較好，驗證了基于彌散燃料顆粒開裂的金屬基體裂紋特征模型的有效性。