最優(yōu)化方法及其在實(shí)際生活中的應(yīng)用研究

付秋卓

摘要：作為一種理論性、實(shí)踐性極強(qiáng)的解決問(wèn)題工具，最優(yōu)化方法在實(shí)際生活中受到廣泛應(yīng)用，具有重要意義。本文在對(duì)最優(yōu)化方法進(jìn)行論述的基礎(chǔ)上，分別從不同學(xué)習(xí)階段列舉拋物線頂點(diǎn)法、線性規(guī)劃最值法以及拉格朗日乘數(shù)法在實(shí)際生活中應(yīng)用的例子，以期促進(jìn)最優(yōu)化方法的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)化方法;實(shí)際生活;應(yīng)用

追求最優(yōu)結(jié)果是人人都期待的，最優(yōu)化方法的出現(xiàn)為人類從大量備選項(xiàng)中找出最優(yōu)答案提供了一種思路，因而加強(qiáng)最優(yōu)化方法學(xué)習(xí)，培養(yǎng)最優(yōu)化方式思考問(wèn)題，具有重要意義。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，最優(yōu)化方法受到普遍關(guān)注，并被廣泛應(yīng)用于企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理、物流運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)等各個(gè)領(lǐng)域。在實(shí)際生活中，利用最優(yōu)化方法解決問(wèn)題的例子比比皆是，例如管理人員在企業(yè)經(jīng)營(yíng)過(guò)程中確定合適的商品價(jià)格和產(chǎn)量，以追求效益或利潤(rùn)最大化目標(biāo)，又如消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)商品時(shí)通過(guò)不同的商品組合，以最大程度滿足自身期望。最優(yōu)化方法對(duì)實(shí)際生活的突出指導(dǎo)意義，要求人們進(jìn)一步增強(qiáng)對(duì)最優(yōu)化方法的學(xué)習(xí)了解與實(shí)踐應(yīng)用。因此，本文用三種不同例子介紹最優(yōu)化方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

1最優(yōu)化方法概述

隨著現(xiàn)代管理科學(xué)的日臻完善，最優(yōu)化方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，在其中扮演著重要理論基礎(chǔ)的角色。最優(yōu)化方法是指決策者為實(shí)現(xiàn)人力、物力以及財(cái)力的效益最大化，綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)工具對(duì)待解決問(wèn)題的眾多方案展開(kāi)深入研究，并做出選擇，從而為其做出科學(xué)合理的決策提供理論依據(jù)。在實(shí)際生活中，被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理、交通設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。

在具體應(yīng)用時(shí)，最優(yōu)化方法是在既有約束條件下，找到最佳選擇使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值，即可分為兩種情形：第一，通過(guò)尋找最佳的資源要素投入，實(shí)現(xiàn)產(chǎn)量最大或利潤(rùn)最高的目標(biāo);第二，為達(dá)到某一目的，使投入資源要素控制在最少狀態(tài)。[1]在利用最優(yōu)化方法解決具體問(wèn)題時(shí)，一般分為四個(gè)步驟，即明確求解問(wèn)題和已知信息、建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型、分析求解數(shù)學(xué)模型、檢驗(yàn)結(jié)果是否為最優(yōu)解。

2最優(yōu)化方法的實(shí)際應(yīng)用

本文分別列舉三個(gè)從不同學(xué)習(xí)階段習(xí)得的最優(yōu)化方法知識(shí)（拋物線頂點(diǎn)法、線性規(guī)劃最值法、拉格朗日乘數(shù)法）在實(shí)際生活中的例子，增加人們對(duì)最優(yōu)化方法的應(yīng)用了解，促進(jìn)對(duì)最優(yōu)化方法的應(yīng)用推廣。

舉例1：拋物線頂點(diǎn)法。

一商店銷售某種品牌洗衣液，已知該品牌洗衣液進(jìn)價(jià)為每瓶10元，根據(jù)以往銷售數(shù)據(jù)，該品牌洗衣液每天銷售量與售價(jià)呈以下線性關(guān)系，即：Q=40-2X，求商店每天以什么價(jià)格銷售該品牌洗衣液時(shí)利潤(rùn)最大？對(duì)應(yīng)銷售量是多少？

利潤(rùn)為收入和成本之差，根據(jù)題意可知，設(shè)銷售價(jià)格為X，即可得到關(guān)于利潤(rùn)的關(guān)系式，即：y=x-1040-2x。

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后，即得y=-2x2+60x-400，根據(jù)拋物線相關(guān)知識(shí)，不難得到該拋物線開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸為x=15，此時(shí)求解得到y(tǒng)=50，即該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（15，50）。

由此可以知道當(dāng)商店將該品牌洗衣液定價(jià)為每瓶15元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)50元，此時(shí)對(duì)應(yīng)的銷售量為10瓶。

舉例2：線性規(guī)劃最值法。

某人以制作A、B兩種手工藝品謀生，其中制作1件A手工藝品需要用1個(gè)小時(shí)，同時(shí)用掉2件方木，每件可獲利8元;制作1件B手工藝品需要用4個(gè)小時(shí)，同時(shí)用掉1件方木，每件可獲利12元。該手工藝者每天工作10個(gè)小時(shí)，每天方木固定供應(yīng)12件，求該手工藝者每天制作A、B兩種手工藝品各多少件時(shí)獲利最高？最高可獲利多少元？

假設(shè)該手工藝者每天制作手工藝品A為x件、手工藝品B為y件，獲利為z元。根據(jù)題意可知，需要求解獲利得公式為：z=8x+12y。對(duì)應(yīng)的線性約束條件為：

由此，本題線性規(guī)劃求解數(shù)學(xué)模型已經(jīng)建立。通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系及研究分析后，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2，y=4時(shí)，獲利z可取最大值64元。經(jīng)過(guò)驗(yàn)證分析，該解是最優(yōu)解，即有當(dāng)該手工藝者每天分別制作A、B兩種手工藝品件2件、4件時(shí)，可以獲得最高收益64元。

舉例3：拉格朗日乘數(shù)法。

某企業(yè)以生產(chǎn)甲、乙兩種商品為主，其中每生產(chǎn)1件甲商品可獲利2元，每生產(chǎn)1件乙商品可獲利3元。根據(jù)以往歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析，當(dāng)生產(chǎn)x件甲商品、y件乙商品時(shí)，生產(chǎn)總成本C（x，y）與生產(chǎn)甲和乙兩種商品的件數(shù)具有以下關(guān)系：Cx，y=x2+y2-4xy+2x+3y（元）。已知該企業(yè)每天生產(chǎn)甲和乙兩種商品的產(chǎn)能之和控制在200臺(tái)，求當(dāng)甲、乙兩種商品分別生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí)企業(yè)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

由題意可知，兩種商品200臺(tái)的產(chǎn)能控制即為約束條件，所以約束條件函數(shù)為x+y=200。

由此可得到拉格朗日函數(shù)F（x，y），進(jìn)而通過(guò)求導(dǎo)求解本題，即F（x，y=2x+3y-x2+y2-4xy+2x+3y+λx+y-200，求偏導(dǎo)結(jié)果為：

-2x+4y+λ=0

-2y+4x+λ=0

x+y=200

不難解得x=100，y=100，λ=-200。通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算，可得此時(shí)企業(yè)利潤(rùn)為20000元。經(jīng)過(guò)分析驗(yàn)證，當(dāng)甲、乙兩種商品均生產(chǎn)100臺(tái)時(shí)，企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)20000元。

通過(guò)對(duì)上述三個(gè)實(shí)際例子的講解說(shuō)明，更加深入了解了最優(yōu)化方法在實(shí)際生活中的作用，且最優(yōu)化方法不只局限于這三種，諸如運(yùn)籌學(xué)中最大流等問(wèn)題的解法都是最優(yōu)化方法的一種。

3總結(jié)

本文以三個(gè)實(shí)際例子說(shuō)明了最優(yōu)化方法的實(shí)踐意義，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，大量最優(yōu)化方法可以通過(guò)計(jì)算機(jī)技術(shù)求解最佳答案，例如Matlab等軟件，這也是未來(lái)最優(yōu)化方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)有效結(jié)合發(fā)展的趨勢(shì)。[2]同時(shí)，本文激勵(lì)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)最優(yōu)化方法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題能力，對(duì)未來(lái)發(fā)展具有重要作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]李順杰.運(yùn)籌學(xué)與最優(yōu)化課程教學(xué)研究[J].高教學(xué)刊，2015（21）：64-65+67.

[2]陳征，沈丹紅.基于Matlab軟件的《最優(yōu)化方法》教學(xué)[J].寧波工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，23（03）：101-103.