高等數學知識在高中導數教學中的應用

李海濤

(福建省三明市第二中學 365000)

高等數學這一項課程和絕大部分學科之間都存在著極為緊密的關聯，而且還是理科、經濟管理以及工科等許多專業最為基礎的一門學科，同時這也是大學課程開始的一個基本標志.高等數學在本質上是高中數學知識進一步的發展以及延伸，在高中數學教學中應用高等數學知識能夠培養學生獨立思考的能力，而且還可以提高學生自身的數學思維水平.

一、導數知識與現階段高中數學之間存在的實際聯系

由于高等數學屬于非數學系學生在數學方面的三大基礎公共課，所以絕大部分非數學系學生在走進大學校園之后，一定會接觸到高等數學這一項基礎科目，同時這也展現出了高等數學在普通基礎科目中所處的一個核心地位.當我們真正地與高等數學知識接觸后，便可以發現其與高中所學數學知識間存在著極為密切的聯系，簡單來說高等數學這一科目實際上就是初等以及大學數學兩者之間關聯的紐帶.在高中階段有些時候由于受到知識層面的限制，很難對數學進行更深入的了解，然而在學習到高等數學知識之后這些難題便會迎刃而解.

1.能夠讓學生對函數有一個更加深入的了解

處于高中階段的學生在對函數知識進行學習時，主要是理解函數定義域、函數的單調性以及周期性等等.眾所周知，大多數的函數知識都可以通過圖象的方式來進行展現，所以，倘若能夠將函數圖象順利畫出，那么學生便能夠將它所對應的性質進行快速的理解與掌握，從而在對導數進行運算時進行一個熟練的運用.

2.有助學生學習導數中曲線切線這一知識點

大部分學生很容易對導數中的切線知識產生錯誤理解，倘若學生能夠對導數定義和它的幾何含義進行了解與學習，那么他便可以清楚意識到f(x)這一函數在x=x0處切線的斜率是k，同時這也是x→x0的斜率極限值，即

通過導數定義，即k=f′(x)，因此曲線y=f(x)在點(x0，y0)處的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0).

二、高等數學知識在高中導數教學中的實際應用

在高中的數學教學中，導數部分是極為重要的一個知識，但是在現階段高中的導數教學中大多只是注重對于基本運算的訓練，并未對導數本質含義、實際應用以及理論層面的證明進行深入研究與講解.除此之外，高等數學同樣也將導數這一部分作為了自身課題探究的一個主要方向，通過導數能夠使不同章節之間的內容聯系更加密切，從而給高等數學在理論層面提供一定的保障以及基礎.在高中實際的導數教學過程中，高等數學知識有著極為重要且無法替代的作用，與高中傳統的導數教學模式相對比，高等數學在導數教學方面所具有的深度、規范程度以及廣度都有了一個相對顯著的提升.在現階段高中數學教學工作中，導數教學處于了一個較為關鍵且特殊的位置.將高等數學知識應用在高中導數教學工作中，能夠讓學生掌握一個更為便捷與有效的解題思路，同時還可以緩解高中學生在導數學習過程中的壓力，從而使學生自身數學以及應試水平得到顯著提升，最終促進學生數學思維穩定、健康發展.

1.將高等數學知識應用于函數的解析式之中

高考歷年都會將函數解析公式作為最基本的一個考查內容.然而，高中數學中對于函數解析公式求解的方法過于繁瑣、復雜，許多學生無法掌握.倘若學生在做題過程中出現計算失誤等問題，便極有可能會丟掉這一部分的分數，但是借助高等數學中的導數拐點以及拉格朗日公式便可以最大程度降低高中生計算錯誤，從而使計算難度進一步下降，例如方程式y=ax3+bx2+cx+d圖象和y坐標軸的交點是P，同時該曲線在點P處的切線方程是12x-y-4=0，倘若能夠在x=2時取得極值，便可以嘗試將函數解析式進行確定，有助于減少學生做題時間，提高學習效率.

2.通過高等數學中函數單調性來對不等式進行證明

在高中階段，不等式的證明同樣也是數學教學以及學生學習的重難點，學生很難憑借自己抽象思維去理解此類問題的解題思路，但是通過高等數學中的求極限便可以將這一過程進行簡化，通過函數的變化趨勢來對函數增減性進行一個大概判斷，從而在一個合理區域內計算出此函數的極大與極小值.除此之外，教師也應當根據實際狀況調整高等數學知識滲透的內容，從而輔助學生進行導數方面的學習.

3.對函數的極值或是最值進行求解

通過導數來對函數的極值進行解答，最有效的方法是(1)通過求導法則來對相關函數進行求導；(2)令所求導數為0，并解出此時駐點值；(3)對函數進行區間討論，得到相關的單調性區間；(4)對極值點進行判斷，最終得到極值；(5)對區間的端點值進行求解，并將其與極值進行對比，最終得到函數最值.

例如該題，已知x=1是函數f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一個極值點，而且其中m<0.求出m與n的關系表達式.

首先，f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n，且x=1為該函數的極值點，所以f′(1)=0，即3m-6(m+1)+n=0，因此n=3m+6.

綜上所述，盡管高中數學和高等數學之間存在一定差異，但是初等數學是高等數學發展的基礎這一個事實是無法更改的，所以在高中進行導數教學時，一定要做好高等數學與導數之間的銜接，培養高中生用高等數學思維來對問題進行思考以及拓展的能力.除了上述兩項應用之外，高中數學在向量、幾何以及數列等問題上都能夠借助高等數學的思維方式進行教學，因此，高中數學教師一定要找到高等數學與高中數學之間最完美的契合點，激發學生優秀的數學解題思維，最終提升自身教學質量.