一個導數問題的兩種方法

孫孟

導數及其應用是高考考查的重點知識，此處命題題目難度大，難度體現在知識容量大，思維邏輯性強，題目變化多樣，學生在學習和考試中往往遇到很大困難，但是在變化萬千的題目中也是有規律與方法可遵循的，掌握一些處理題目的方法，可以有效的解決很多導數問題。

方法一：分析：此題目為恒成立問題，我們研究的最小值，而對于最小值的研究可以利用導數進行。

證明：（我們需要判斷與0的大小關系，從而得到的單調性，進而解決的最小值，但此題中不可解，但我們可以用的二階導函數來研究的與0的大小關系。）

總結：此題用上述方法進行處理的困難在于函數存在極值點，但我們無法通過方程進行求解，無法求出極值點就很難判斷導函數與0的關系，就無法研究函數的單調性，從而難以解決函數的最值問題，所以我們要通過對的性質的研究（借助）及函數零點存在定理，得到存在極值點，得到的單調性，從而解決其最值問題。這種一階導函數與0的關系不能直接得到，需要二次求導及利用函數零點存在定理得到極值點存在，并利用極值點是導函數對應方程的解對原函數的最值進行化簡整理已達到題目的要求的方法，我們稱之為“零點反代”。這種處理導數問題的思路在現在導數問題的研究中經常會遇到。

總結：此題的處理方法就是利用的方法一，完全按照方法一進行的求解，處理這一類問題一定注意要有目標，要清楚自己要完成什么目標，條件提供給我們什么信息，這是我們完成一個數學問題的重要思維方法，也是我們分析解決數學問題的一種重要方法----分析法。

總結：此題主要應用了二次求導與零點存在定理對問題進行處理。此題在高考中學生做得相對來講比較差，一個重要的原因是將三角函數與對數函數組合在一起進行了考查，學生感覺比較陌生，另一個重要原因學生缺乏解決問題的思路，不會思考問題，沒有目標意識，沒有解決問題的思路，從此題來看不管題目是以什么樣的背景呈現，一類題目解決問題的思路方法是一致的，我們既要教會學生如何思考問題，也要交給他們具體問題解決方法。

總結：此題難度相對前幾個題目較大，但是整體的思路做法都符合處理此問題的一般方法，此題的難點還在于更精確的確定一下的范圍，若有必要我們要用二分法精確一下的范圍，在最后求的取值范圍時，要有目標意識，也可注意的取值范圍問題。

這些不等式的證明方法都是一樣的，這里就不再一一證明。這些不等式揭示了不同函數之間的大小關系，所以我們可以利用這些大小關系來比較不同類型函數的大小。

2020年山東高考導數大題的21題第二問對很多考生來講比較困難，現在很多人也研究了此題目提出了各種各樣的解法，有很多方法設計思路十分巧妙，這里就不再一一陳述。下面提出兩種方法僅供參考，這兩種方法是根據上面的方法一與方法二進行的求解。

綜上：

總結：此題用法1就是利用了“零點反代”的思路進行了處理，除了此處為難點，另一處難點在于直接求很難處理，把表示為的函數，利用題目中的關系利用解函數不等式的方法先解出的取值范圍，再利用函數求值域的方法解出的取值范圍。過程較為繁瑣，思維含量高，不過流程性很強，并不難掌握。法2就是利用了指數函數與一次函數之間的不等關系，尋求了一個中間量，讓中間量先滿足條件，保證原式滿足條件，但是注意此處并不等價，還需要一個檢驗的過程。

總體而言，導數及其應用作為高考必考內容，思維含量大，而數學的本質就是思維，因此導數問題一直是高中數學學習及高考的重點知識，而一個數學老師應該提高學生的思維能力，老師在講解導數問題時應該“講道理”，應當體現數學思維，給學生一種思路，一種通法，能夠解決一系列問題。以上兩種解決導數問題的方法在高考中的應用比較多，規律性也比較強，是學生通過學習可以掌握的方法。

（作者單位：山東省博興縣第三中學）