“高觀點(diǎn)”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)

孫曉芳

“高觀點(diǎn)”視角是指，用經(jīng)典的高等數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)、思想與方法研究初等數(shù)學(xué)的一種方法策略。“高觀點(diǎn)”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)是以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為研究工具，以初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容為研究對(duì)象，通過(guò)尋找與挖掘初中數(shù)學(xué)內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)知識(shí)之間的異同點(diǎn)，幫助學(xué)生更深層次地理解數(shù)學(xué)概念、剖析數(shù)學(xué)問(wèn)題、掌握數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)教學(xué)不是簡(jiǎn)單的、機(jī)械的知識(shí)傳授，而是幫助學(xué)生完成知識(shí)體系的構(gòu)建。因此，“高觀點(diǎn)”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)更加致力于深入挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，讓學(xué)生感受與體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，從而讓學(xué)生明晰數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的前因后果，把握知識(shí)脈絡(luò)，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

一、“高觀點(diǎn)”在概念教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和解決問(wèn)題的重要依據(jù)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念具有極強(qiáng)的抽象性和邏輯性，需要教師充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)，促使其思維從具體化向形象化過(guò)渡，才能順利地完成對(duì)數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建。然而，在初中數(shù)學(xué)教材中，有些數(shù)學(xué)概念如果不用“高觀點(diǎn)”的知識(shí)背景進(jìn)行闡釋，會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生一種模棱兩可的印象，甚至?xí)蓡?wèn)重重。因此，在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)用“高觀點(diǎn)”突破概念難點(diǎn)，往往能起到事半功倍的效果。

例如，在進(jìn)行“方程”的概念教學(xué)時(shí)，現(xiàn)階段大部分?jǐn)?shù)學(xué)教材中給出的定義是“含有未知數(shù)的等式叫作方程”。這種定義形式雖然嚴(yán)謹(jǐn)性不強(qiáng)，但更易于初中生理解與認(rèn)同。首先，學(xué)生要了解這個(gè)概念，首先需要弄清“等式”的概念。

師：是否所有含未知數(shù)的等式都叫作方程呢？

生1：不一定，比如：a+b=b+a、x2-y2=（x+y）（x-y）。（學(xué)生知其然而不知其所以然）

師：是呀，那么究竟什么樣的等式才可以叫作方程呢。下面我們一起來(lái)看看有關(guān)等式的定義。（引入高等數(shù)學(xué)中有關(guān)等式的概念）

定義1：“看下面的例子：4+x=7，s=ab， 1+2=3，像這樣表示相等關(guān)系的式子就是等式。”

定義2：“用符號(hào)將兩個(gè)解析式連接起來(lái)，所得的式子如果分別用兩個(gè)解析式或數(shù) f（x，y，，z），g（x，y，，z）表示，則f（x，y，，z）=g（x，y，，z）就是一個(gè)等式。”

師：根據(jù)定義1和定義2，我們不難看出，等式可以分為條件等式、恒等式及矛盾等式三種類型，比如，像剛才同學(xué)們提到的x2-y2=（x+y）（x-y）， a+b=b+a都屬于恒等式，而像為矛盾等式， 5x-3=9為條件等式。可見(jiàn)，定義1中只包含了恒等式與條件等式，定義2中包括了這三種類型。

對(duì)于學(xué)生而言，定義1僅具有形式的外殼，學(xué)生無(wú)法真正地弄清楚方程的思想，但是對(duì)于定義2，學(xué)生雖然能夠認(rèn)為4+x=7是等式，但是當(dāng)x=2時(shí)， 4+x=7是否仍然為等式呢？很多學(xué)生以為是答案的錯(cuò)誤，但事實(shí)上，當(dāng)x=2， 4+x=7仍然是等式，只不過(guò)是等式中的矛盾等式這一類。由于在初中數(shù)學(xué)教材中并未給出矛盾等式的概念，容易導(dǎo)致學(xué)生混淆概念，因此，我們可以認(rèn)為方程的定義是“含有未知數(shù)的條件等式叫作方程。”但在這種定義下又會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題，比如x2+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)屬于矛盾等式，如果其定義域的范圍進(jìn)行擴(kuò)展到復(fù)數(shù)范圍，方程仍然可以看作是條件等式。由此可見(jiàn)，不同的定義有不同的優(yōu)缺點(diǎn)，在“高觀點(diǎn)”視角下，引入這些定義不僅是對(duì)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的補(bǔ)充，更為重要的是讓學(xué)生在思考、判斷與分析過(guò)程中掌握方程的概念、體會(huì)到方程的實(shí)質(zhì)。

二、“高觀點(diǎn)”在解題教學(xué)中的應(yīng)用

著名教育家斯托里亞爾說(shuō)過(guò)：“可以把現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要思想轉(zhuǎn)化為學(xué)生能接受的語(yǔ)言，這就為二者的融合提供了理論基礎(chǔ)。”融合的關(guān)鍵在于在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法。在“高觀點(diǎn)”視角下，更加強(qiáng)調(diào)將數(shù)學(xué)思想方法貫穿于課堂教學(xué)中，用高等數(shù)學(xué)的思想、方法與觀點(diǎn)來(lái)指導(dǎo)學(xué)生解題，從而溝通初中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生降低解題難度，并形成解題規(guī)律。

例1（不定方程組求解問(wèn)題）：假設(shè)某種電子產(chǎn)品有A、B、C三種型號(hào)的配件，若購(gòu)買A型號(hào)3件、B型號(hào)7件、C型號(hào)1件，一共需要3.15元;若購(gòu)買A型號(hào)4件、B型號(hào)10件、C型號(hào)1件，一共需要4.2元。如果分別購(gòu)買A、B、C三種型號(hào)各一件需要多少元？

解析：假設(shè)A型號(hào)配件單價(jià)為x元，B型號(hào)配件單價(jià)為y元，C型號(hào)配件單價(jià)為z元。根據(jù)題意可得：

這是一道不定方程組求解的題目。我們常規(guī)的解題方法是根據(jù)方程組的特點(diǎn)，采用配方法、乘法公式、因數(shù)分解等對(duì)方程組進(jìn)行變形后再進(jìn)行求解。這樣通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)直接利用（1）×3 -（2）×2即可求出x+y+z的結(jié)果。

師：這道題目還有沒(méi)有別的解法呢？怎么將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題呢？（設(shè)計(jì)意圖，站在“高觀點(diǎn)”視角下，引導(dǎo)學(xué)生利用空間解析幾何中的平面知識(shí)進(jìn)行解題，深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法）

師：在解析幾何中，我們可以將方程（1）、（2）看作是兩個(gè)平面，求解上述問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何確定一個(gè)過(guò)平面（1）、（2）交線的平面，即： x+y+z=k。平面的交線就是聯(lián)立方程組求解。在空間解析幾何中，已知兩個(gè)平面的交線，如何確定經(jīng)過(guò)交線的平面，可以采用以下方法，根據(jù)上面條件，可得經(jīng)過(guò)交線的平面束為：λ（x+y+z-3.15） +μ（4x+10y+z-4.20）=0，通過(guò)拆項(xiàng)，移項(xiàng)，可得：λ=3， μ=-2，所以， k=3.15×3-4.20×2=1.05。

利用空間解析幾何探究的目的，是幫助學(xué)生建立代數(shù)與幾何的對(duì)應(yīng)關(guān)系，雖然這部分知識(shí)超出學(xué)生的學(xué)習(xí)范圍，但通過(guò)對(duì)解題方法的深入探討，讓學(xué)生了解到不定方程組的另一種求解思路，當(dāng)題目中的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，不失為一種有效的解題方法。

三、“高觀點(diǎn)”在小結(jié)課教學(xué)中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教材中，有不少的數(shù)學(xué)公式、定理、運(yùn)算等需要學(xué)生進(jìn)行歸納與總結(jié)，在課堂教學(xué)中無(wú)論教師是否會(huì)安排專題進(jìn)行教學(xué)，但始終都離不開(kāi)數(shù)學(xué)公式、定理及運(yùn)算等內(nèi)容的推廣與轉(zhuǎn)化。因此，在“高觀點(diǎn)”視角下，教師可以通過(guò)有選擇的安排專題，將課內(nèi)的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化，即每學(xué)完一個(gè)版塊內(nèi)容后，引導(dǎo)學(xué)生回顧并登高鳥(niǎo)瞰，這樣有利于幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。

例2：（二次函數(shù)最值問(wèn)題綜合題）

（1）求以下函數(shù)的最值： y=x+1，y=-， y=x2-6x+5。

（2）分別求出當(dāng)1≤x≤2，1≤x≤4， 4≤x≤6時(shí)，二次函數(shù)y=x2-6x+5的最小值。

（3）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，分別求出二次函數(shù)y=x2-6x+m，y=x2-mx+5，y=mx2-6x+5（m≠0）的最小值。

這是學(xué)生在學(xué)習(xí)完二次函數(shù)最值內(nèi)容后小結(jié)課中設(shè)計(jì)的一道習(xí)題，其中問(wèn)題（1）屬于基礎(chǔ)題，是站在函數(shù)的角度，將一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)這三種形態(tài)的函數(shù)結(jié)合起來(lái)考查學(xué)生對(duì)函數(shù)最值的掌握程度。問(wèn)題（2）是以問(wèn)題串的形式，讓學(xué)生體會(huì)到當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，二次函數(shù)最值的變化情況，尊重了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與知識(shí)內(nèi)部之間的聯(lián)系。當(dāng)1≤x≤2時(shí)，反映了函數(shù)的遞減性;當(dāng)4≤x≤6時(shí)，反映了函數(shù)的遞增性，而當(dāng)1≤x≤4時(shí)，則反映了函數(shù)從減到增的過(guò)程。問(wèn)題（3）同樣是以問(wèn)題串的形式，對(duì)含有參數(shù)的二次函數(shù)最值進(jìn)行研究，由于含有參數(shù)，因此，二次函數(shù)的解析式無(wú)法確定，如何求解它在某一定義域內(nèi)的最值問(wèn)題，其關(guān)鍵在尋找到在定義域范圍內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律。要弄清楚這一點(diǎn)，就需要準(zhǔn)確地分析函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、自變量的取值范圍以及一些關(guān)鍵點(diǎn)的位置。而這些都需要借助數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)完成，充分體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)教育的價(jià)值取向，同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與方法體系的構(gòu)建。

綜上所述，“高觀點(diǎn)”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)是一種新的教學(xué)理念，是從低起點(diǎn)切入，在學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行高度提升，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)更加豐實(shí)和厚重，從而對(duì)學(xué)生未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)作用。因此，這需要教師站在更高的視角和數(shù)學(xué)思想方法的立場(chǎng)上，重新審視初中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容體系，在了解兩者之間異同的基礎(chǔ)上，以問(wèn)題為引領(lǐng)，幫助學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)化知識(shí)和思維，并以不同的方式方法來(lái)研究與探討初中數(shù)學(xué)，促使學(xué)生數(shù)學(xué)整體意識(shí)、數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)能力的提升，為學(xué)生的數(shù)學(xué)生命自然生長(zhǎng)積蓄力量。