函數思想在高中數學解題中的應用

蔡慧鴻

[摘 要]函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題的思想。它是高中數學解題的重要思維策略，是一種考慮對應、運動變化、相依關系，以一種狀態確定地刻畫另一種狀態，由研究狀態過渡到研究變化過程的思想方法。函數比較抽象，學生單純依靠題意和理論理解難度很大，這就要求學生必須運用一定的數學思想才能化繁為簡，以達到理清函數的本質，并找到抽象問題解決的突破口，進而實現完美解答的目的。本文以函數思想在高中數學解題中的應用為研究載體，闡述培養學生多元思維的方法。

[關鍵詞]函數思想;構造函數;函數模型;函數性質

近年來，高考數學試題落實新課程標準要求，以高中數學六大主干知識為考查的重難點，同時兼顧向量、不等式等非主干知識，通過模塊間的綜合、滲透，突出能力的考查，力求綜合考量學生的數學素養，包括數學運算、數據分析、數學抽象、邏輯推理、數學建模和直觀想象等核心素養。高中數學教學的重要環節是提高學生的解題能力，增強學生的數學思想應用意識，不斷提高學生的數學素養。高中數學題型多變，如何快速、正確解題也成為影響學生數學成績提高的重要因素。分析發現，高中數學解題并非無章可循，應用正確的數學思想往往能達到事半功倍的效果。其中，函數思想是重要的一種思維策略。那么，如何引領學生應用函數思想來解題呢？

一、將代數式看作函數來解題

解答高中數學部分題型時，直接進行解答難度較大，而且部分學生因無法處理已知量與未知量之間的關系，導致解題出錯。此時，如能結合題目中的已知條件，將代數式看作函數來解題，可使數學解題柳暗花明。函數思想的應用意識培養，要求教師多呈現相關題型，通過對比分析提升學生的代入感，并在解題中形成良好的思維習慣。

例如，已知函數f（x）=ax3-x+1，為能保證x∈[-2，3]，總有f（x）≥0成立，請問實數a的取值范圍是什么？

分析：解答該類恒成立問題的題目時，不少學生認為應將a分離出來而后進行解答，此種解題思路是正確的，不過在分離參數之前，應當先通過對式子、數據進行分析，顯然本題在分離參數a時，不等式兩邊同時除以a的系數，因此需要對a的系數的正負情況進行討論，即，當x=0時，顯然f（x）=1>0。當x≠0時，需要分兩種情況進行討論：

1.當x∈（0，3]時，f（x）=ax3-x+1≥0成立，可轉化為a≥- ，顯然應將 看做函數，只要a的值大于等于其最大值即可。設g（x）= -，求導得 g'（x）= ，不難得出當x∈（0， ]時，g（x）為單調遞增函數，而當x∈[ ，3]時，g（x）為單調遞減函數，因此，g（x）max=g（ ）=- ，要想滿足題意，則a≥- 。

2.當x∈[-2，0）時，f（x）≥0可轉化為a≤- ，同樣將-看做函數g（x），只要a小于等于其最小值即可，當x∈[-2，0）時， （x）>0，g'（x）單調遞增，因此，當x=-2時，g（x）min=g（-2）= ，即a≤ 。綜上可知a的取值范圍為[- ， ]。

二、利用構造函數法來解題

通過巧妙地構造函數，能使復雜的問題轉化成熟悉而簡單的問題。高中數學綜合型題目中，采用傳統方法很難求解，不少學生盡管花費大量時間，但卻得出錯誤結果，因此，在解答一些數學題目時，教師應引導學生注意觀察，注重構造函數，以降低求解難度，順利進行解答。

例如，函數h（x）=2ex-e-x，為能保證任意x∈[0，+∞），總有h（x）≥ex+2ax成立，求實數a的取值范圍是多少？

分析：該題目題干較為簡單，分離參數法在此就失靈了，可通過構造函數的方法進行求解，即可設g（x）=h（x）-（ex+2ax），即，g（x）= ex-e-x-2ax，因為對所有x≥0，都有h（x）≥ex+2ax，等價于x∈[0，+∞）時，g（x）min≥0，如此便不難求解：

1.如a≤1，當x≥0時， g'（x）=ex+e-x-2a≥2-2a≥0，因此，g（x）在x∈[0，+∞）是增函數，從而g（x）min=g（0）=0，因此，f（x）≥ex+2ax。

2.如a>1，方程 （x）=0的根為x1= 1n（a-），x2=1n（a+），因為 a-<1，因此方程g' （x）=0只有一個正根 x2，當 x∈（0，? x2）， g' （x）<0，g（x）為減函數，當x∈[ x2，+∞），g（x）為增函數，因此g（x）最小值為g（x2 ），不過當x∈（0，x2 ）時，總有g（x）

三、建立函數模型來解題

高考中常以數學應用題來考查學生的數學建模素養，在教學中，我們發現如何具體實施對實際問題的理解，并抽象出數學模型，進而應用數學知識求解實際應用題的解題策略問題一直是學生的硬傷，對此，要多引導學生接觸多樣化的實際應用問題，積累更多的數學模型。函數模型在高中數學應用題中最常見，常以七類初等函數或其混合形式呈現，應在教學實踐中給予適當的歸類訓練，多角度思考，慢慢體會數學模型思想，為學生更好地解題提供更多的可能性。

例如，隨著電商的不斷興起，快遞行業也蒸蒸日上，已知某快遞公司需要從A地運一批貨物給相距Skm的B地，該汽車從A地勻速行駛到B地，汽車每小時的運輸成本為a+bv2元，且最大速度每小時不能超過ckm （其中a，b，c均為大于0的常數），請問汽車的行駛速度為每小時多少千米時，全程運輸成本最小。

分析：該類應用題要結合具體問題情境，梳理數量之間的關系，或易或難地建立起關鍵的兩個變量之間的函數關系式即建立函數模型是解題的關鍵。

設汽車全程運輸成本為y元，則不難得到其與速度v（km/h）之間的關系滿足關系式：y=a· +b··v2（0c時，函數在0

四、利用函數性質靈活解題

高中階段的學生會接觸到很多函數，熟練掌握不同函數的性質，結合具體數學題目加以靈活應用，不僅能降低解題計算的繁瑣度，而且能保證解題的正確性，因此，教師要引導學生學會利用函數性質進行解題。

例如，已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x ）=-f（-x），且圖象關于x =6對稱，當-6≤x <0時f（x）=-log，則方程f（x）+5=0在（0，36）內的所有根的和為多少？

分析：綜合應用函數的性質，數形結合，多思少算是此類題目的解題要點。本題中易判斷函數f（x）是奇函數，不難得出當0

總之，函數思想是高中數學解題的重要思想，由于高中知識點較多，題型又復雜、多變，部分題型利用傳統方法難以找到有效解答的方法，運用函數思想能幫助學生找到解題思路，而且計算并不繁瑣，可達到快速解題的目的。教師要多講解函數思想在解題中的應用，鼓勵學生不斷總結與反思相關數學題型的特點，結合數學題型的特點養成利用函數思想解題的習慣，并在解題實踐中不斷豐富函數解題思想，完善問題解決的策略，最終實現解題能力的全面提升。

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（責任編輯 付淑霞）