捕捉數學活因子 提升經驗積累力

夏常明

[摘 要]數學經驗積累力是指把數學學科知識納入學生個人數學經驗系統的能力，是衡量學生數學素養的重要標準。數學經驗積累力的發展，離不開前延、沖突、聯結三個活因子。數學經驗積累力立足于學生數學活動，捕捉前延、沖突、聯結活因子，不斷發展完善。學生在不斷優化完善數學經驗積累力的同時，其數學基本活動經驗也不斷獲得優質發展。

[關鍵詞]數學活動;活因子;經驗積累力

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）35-0041-03

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確提出了“四基”，即數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，同時指出“數學課堂教學，要緊密聯系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有知識出發，創設生動有趣的情境，引導學生開展觀察、操作、猜想、推理、交流等活動，使學生通過數學活動，積累數學基本活動經驗”。

數學經驗積累力是指把數學學科知識納入學生個人數學經驗系統的能力，是衡量學生數學素養的重要標準。這里的數學經驗積累力，不僅包含總量（即學生數學基本活動經驗的寬廣程度），也包含質量（即學生數學基本活動經驗的積累效率），更重要的是增量（即學生數學基本活動經驗的創新程度以及把數學基本活動經驗轉化為數學素養的程度）。數學經驗積累力的發展，離不開前延、沖突、聯結三個活因子。前延是一切數學活動的基礎，它能發掘經驗積累力，保證數學基本活動經驗前行;沖突是數學活動的資源，能夠把數學活動引入深處，發展經驗積累力，提升數學經驗的品質;聯結則賦予了數學基本活動經驗預設性和假定性的意義，完善經驗積累力，讓數學基本活動經驗充滿活力。

一、捕捉前延活因子，發掘經驗積累力

杜威曾經指出：真正的經驗是具有連續性的。每一種數學經驗都建立在已有經驗之上，同時又以某種方式納入和改變著原有經驗的性質。數學課程標準指出：數學教學活動必須建立在學生已有的經驗基礎之上。需要指出的是，小學生數學經驗的前延不僅包括數學結構性知識，還包括數學程序性知識，更是包括大量的生活經驗。這些數學經驗的前延是零散的、模糊的、感性的，更有甚者是毫無科學道理的，但這些前延都是學生個性化的感性經驗，是積累數學經驗的活因子。為此，在設計數學教學活動之前，教師要準確捕捉學生已有數學經驗的前延活因子，并根據其特點靈活選擇恰當的活動形式，高效激活學生的數學思維，發掘學生數學基本活動經驗積累力。

例如，蘇教版教材五年級下冊“圓”第一課時時展示了幾種不同的畫圓方法。

第一種，圓規畫圓。學生通過自主操作嘗試，都能夠熟練掌握。

第二種，器具畫圓。找到圓形器具，用一只手壓住，另一只手用筆描邊畫圓。

第三種，繩子畫圓。繩子一端系在鉛筆上，另一端固定在中心點上，以其為圓心，拉直繩子作半徑，旋轉繩一周即可畫圓。

第四種，轉圈畫圓。教師手拿帶勺子的竹竿，舀上石灰，以自己的腳為中心，原地轉圈。

除了第一種方法外，教材均是以靜態的方式呈現出其余三種方法，學生很難感受。教師用課件的方式動態展示四種畫圓的方法，讓學生觀察、比較：不同的畫圓方法，有什么相同之處？學生通過觀察、比較，很容易得出：都有一個中心點和固定長度，即圓心和半徑。

師：畫圓的時候要注意什么？

生1：中心點位置不能偏，偏了就畫不圓了。

生2：固定長度的距離要保持好，不能忽長忽短。

師：中心點是圓心，固定長度是圓的半徑。關于圓心和半徑，你還有哪些認識？

生3：圓心能夠確定圓的位置，因為這些圓的位置都是由圓心決定的。

生4：在同一個圓內，半徑的長度都是相等的。可以從不同畫圓的方法中看出來。

生5：在不同的圓內，半徑的長度是不相等的。

……

動手操作是學生認識圖形、探索與圖形有關知識的一個重要方法和途徑。課中，教師讓學生動手畫圓，在畫圓過程中認識圓的相關特征。其中，器具畫圓、繩子畫圓、轉圈畫圓是學生日常生活中經常見到或使用過的方法，這些都是學生關于畫圓經驗的前延因子。生動熟悉的生活素材與生活情境和自己的親身經歷可以使數學由抽象變得具體，激發學生的學習興趣。學生通過畫圓操作，不僅掌握了畫圓的技巧，還發現了圓的相關特征。教師巧妙利用課件，動態展示了畫圓的方法，捕捉了前延活因子，極大地調動了學生的學習積極性，有力地促進了學生主動思考。

二、捕捉沖突活因子，發展經驗積累力

奧蘇伯爾在有意義學習觀點中指出：在新知識的學習中，認知結構中原有經驗起決定作用，這種原有的知識經驗對新知識起固定作用。學生必須積極主動地使這種具有潛在意義的新知識與認知結構中的舊知識發生相互作用。課程標準指出，學生課堂學習的過程，是自主建構新知的過程，是學生與課堂諸因素之間相互作用的過程。在這個過程中，沖突是有意義的學習所必不可少的。不同學生個體年齡大小、心理特征、認知結構等方面存在差異，即使面對相同知識，不同學生仍然會積累不同的活動經驗，甚至是前后沖突的經驗。如果出現沖突經驗，學生自身經驗系統就處于一種失衡狀態，沖突此時成為“因子”。在小學數學學習活動中，教師要善于把學生數學經驗沖突當成資源，從外在的表現形式入手，展現學生的思維過程，從而把學習活動引入深處，逐步發展學生數學基本活動經驗積累力。

例如，在教學“小數除以小數”時，讓學生上黑板板演“7.98÷4.2”。

第一位學生算出0.19。算理：4.2的小數點向右移動一位，用7.98除以42，所得到的結果就是0.19。

第二位學生算得19。算理：4.2的小數點移動到最右邊，7.98的小數點也移動到最右邊（很顯然，他忘了應該是移動相同位數）。

第三位學生算得1.9。算理：4.2的小數點向右移動一位，7.98的小數點也跟著向右移動一位。

師：對于上述幾種不同的計算方法，你有什么發現嗎？

生1：第一位同學把除數小數點向右移動了一位，而被除數沒有變化。

生2：第二位同學把除數小數點向右移動了一位，卻把被除數的小數點向右移動了兩位。

……

可誤主義數學觀下，數學經驗在“批判—認同”的建構中創新。學生主體同時建立和構造關于新經驗認知結構的過程。既要建立對新知識的理解，將新知識與已有經驗建立聯系，又要將新知識與原有認知結構結合，通過納入、重組和改造，構成新的認知結構。學生在嘗試解決小數除以小數的問題之前，已經積累了小數乘以小數、整數除以小數、小數除以整數等相關數學知識經驗。這些未經提煉和優化的經驗，很大一部分還處于一種因操作性和情境性太強而不能與之分離，或者停留于不能轉化為結構表征的淺層次經驗。當學生運用這些淺層次經驗去解決問題時，必然會出現不科學、不嚴謹，甚至錯誤的結果，產生數學經驗“沖突”因子。為此，教學中教師需要及時引導學生回顧富含個人經歷的數學活動，并進行討論、反思、總結，以實現感性經驗理性化，個人經驗社會化，零散經驗系統化。

三、捕捉聯結活因子，完善經驗積累力

數學基本活動經驗分為靜態和動態兩方面。從靜態上看，數學活動經驗是知識;從動態上看，數學活動經驗是過程。日常教學中，教師容易將數學經驗客體化，將一切人類認識成果當作靜態經驗。本質上，數學基本活動經驗是由經驗生問題，通過知識與學生的相遇，實現經驗意義的增加。其中，聯結起到了關鍵作用。聯結是心理原理的一個重要概念，在這里，聯結賦予了數學基本活動經驗預設性和假定性的意義，通過學生感受與理解、歸納與抽象、感悟與升華、體驗與反思等活動，經驗具有了活力，變得鮮活，情感和思想有了聯結，從而得出了新的數學基本活動經驗。需要指出的是，學生新的數學基本活動經驗不一定是科學的，也不一定是正確的，但是已觸及了經驗的內在聯結。也許學生并不清楚這種內在聯結，也不能清楚地表達這種內在聯結，但是學生是能感受到這種內在聯結的。

例如，教學蘇教版教材五年級上冊“平行四邊形的面積”時，出示例1中的一組圖形。

有的學生采用數格子的方法，有的學生把不規則的圖形轉化成長方形這一規則圖形。

師：比較這兩個圖形的面積時，是數方格方便，還是轉化后再比較方便？

師：把不熟悉的、較復雜的圖形轉化成熟悉的、簡單的圖形，是計算圖形面積的一種常用方法。

師：你能想辦法求出平行四邊形的面積嗎？

（學生演示各種剪拼方法）

師：這些方法各不相同，方法之間有相同的地方嗎？

生：它們都是沿著平行四邊形的一條高剪開的。

師：所有的平行四邊形都能用剛才的方法轉化成長方形嗎？

……

上述平行四邊形的面積計算教學分兩個層次進行。第一層次，要求學生判斷例1兩個圖形的面積是否相等，引導學生在動手操作中體會到：不規則圖形可以轉化成規則圖形，割補、平移是實現轉化的基本方法。同時讓學生明確，轉化前后的圖形的形狀雖然發生了變化，但是面積是不變的，為學習平行四邊形面積計算做好準備。第二個層次，首先要求學生獨立動手操作，完整經歷把平行四邊形轉化成長方形的過程;其次，展示學生獨立剪、拼的成果，引導學生觀察和比較，建立初步猜想。學生在剪拼活動中的操作是有個性特征的，在拼的過程中獲得的經驗又是多樣的。通過引導學生對比不同的剪拼方法，發現共同特征：沿著平行四邊形的一條高把它剪成兩個部分。最后，組織學生參與平行四邊形面積公式的推導活動。對于轉化前后兩個圖形面積以及相關邊長的對應聯結，學生在活動已經有了感知，并且在平行四邊形面積公式的推導過程中數學經驗積累力得到了很好發展。

學生在實際操作、主動猜想、觀察比較和推理抽象的過程中發現了各種圖形之間的內在聯系，并且進一步合乎邏輯的推理抽象出平行四邊形面積公式。這樣的教學安排，不僅讓學生充分經歷了平行四邊形面積公式的推導過程，使學生積累數學活動經驗，還讓學生充分經歷了由建立猜想到驗證猜想，獲得正確結論的過程，同時感受到數學經驗之間的內在聯結。

綜上可知，教師在觀察的基礎上，從簡單問題入手，讓學生經歷猜想和發現的過程，不斷嘗試和反思，進而建構一定的數學直觀感知和判斷能力，從而提升學生的數學經驗積累力。數學經驗積累力的提升并不是一兩次感性直觀行動就能完成的，也不是簡單的理性模式，而是要多捕捉數學學習活動中的活因子。數學源于生活，但不等同于生活。教師必須充分利用學生的原有經驗，從中捕捉數學活因子，設計生動有趣、直觀形象的數學活動，讓學生在生動具體的情境中提升數學經驗積累力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 王林.我國目前數學活動經驗研究綜述[J].課程·教材·教法，2011（6）.

[3] 杜威.經驗與教育[M].北京：人民教育出版社，2013.

[4] 張鑫.波普爾知識增長四段圖式理論的思考[J].廣西民族師范學院學報，2010（6）.

[5] 皮亞杰，英海爾德.兒童心理學[M].北京：商務印書館，1980.

【本文系江蘇省教育科學“十二五”規劃立項課題“小學生數學基本活動經驗‘積累力提升策略的研究”的階段研究成果之一。】

（責編 黃春香）