深化建模教學 凸顯模型價值

費云杰

[摘 要]模型思想是三個數學基本思想之一，在數學思想方法中有著非常重要的地位。立足課堂教學，在實踐—反思—再實踐—再反思的基礎上，總結建模課的共性，提煉出數學建模課的一般模式。并在此基礎上，提出建模課教學的四個策略，情境創設、建立關系、抽象本質、辨識應用，從而滲透模型思想，幫助學生建立和把握有關的數學模型，有利于學生抓住數學的本質。

[關鍵詞]模型思想;策略;建模

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）35-0031-02

筆者對模型思想（建模能力）的理解是“重視學生的已有經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程”。本文借助教材單元編排的特點，整理各年級數學教材，找出小學數學模型的基本類型，引領學生進行數學建模學習，培養學生的建模意識和能力。

一、模型思想教學的問題

（一）緣起練習

五年級“簡易方程”單元有如下兩個練習，學生的回答引發了筆者的困惑和思考。

1.甲、乙兩數的和是40，甲數是乙數的2倍。甲數是多少？

學生回答：40÷2=20。

2.蘋果有48個，比香蕉數量的2倍少26個，香蕉有多少個？

學生回答：48-26=22，22÷2=11。

（二）啟發思考

1.學生能力弱

上面的練習題中，學生沒有使用方程解決，而是用原先學的算式來解答。由此可以看出，學生在學習了用方程解決問題之后，尚未擺脫原先的用算式解答問題的慣性思維，沒有形成建模的意識。可見，模型思想在教學中的滲透不足。

2.教師意識薄弱

很多教師對數學建模不甚了解，只是單純地教授有關數學模型的知識，在課堂教學時沒有充分調動好學生的學習積極性，也沒有做到選取合適的、能夠激起學生興趣的問題情境。

二、模型思想教學的思考

（一）分析教材，確立教學模式

1.整理建模內容

從三至五年級教材中精心選擇建模教學內容，可以抽象為數學模型的課程內容如下：

三年級：估算模型、統籌安排問題、“每份數×份數=總數”模型、周長公式、周長最短模型、同分母分數計算模型、平均分模型、韋恩圖。

四年級：三線角模型、乘積最大問題、“單價×數量=總價”模型、“速度×時間=路程”模型、平行與垂直模型、烙餅問題。

五年級：小數乘法模型、乘積變化問題、稱水問題、估價問題、收費模型、進一去尾問題、方程模型、相遇問題、追擊問題、面積計算模型、堆圓木問題、數方格問題、植樹問題。

2.深挖建模共性

通過對建模素材的多方位挖掘，筆者發現可作為建模課程內容的素材都有以下四個共同特點：生活化情境、關系思考、模型建立、應用推廣。

3.確立建模框架

根據研究所得的建模素材的共同特點，我們可以這樣表示小學階段數學建模的模式：模型準備→模型假設→模型建立→模型應用。

模型準備階段：情境引入，初步感知。關鍵在于情境設計生活化。因此，教師要創設能激發學生創造意識的各種情境，促使學生產生質疑問題、探索求解的學習動機。模型假設階段：簡化背景，提煉問題。將生活化的語言進行數學化加工，從而使“生活”上升為“模型”。模型建立階段：引導發現，構建模型。在建模過程中，為了找到解決問題的途徑，就要在諸多因素中抓住主要因素進行抽象化簡，也就是學生的分析、抽象、綜合、表達能力的體現。模型應用階段：運用模型，解決問題。引導學生將實際問題數學化的基礎上，進一步組織深層探究，求解數學問題，充分體現了數學學習是學生用數學知識解決問題和發現新的數學知識的過程。

（二）調整策略，經歷建模過程

1.精選問題，創設情境

教師可以創設游戲情境、生活情境、競賽情境、實驗情境等，以生為本，讓學生自主參與、全身心投入，快樂地參與其中。 情境創設下，教師恰當預設，科學點撥與指導，引導學生找到模型的特征，奠定建模的基礎。

如教學“速度×時間=路程”問題時， 創設趕火車的情境：現有10名旅客要趕往30千米遠的一個火車站去乘火車，離開車時間只有3小時了，他們步行的速度為每小時3千米，還可以用的交通工具是一輛小汽車，但這輛小汽車連司機在內至多只能乘坐5人，汽車的速度為每小時60千米。問：這10名旅客能趕上火車嗎？

又如教學“平行四邊形的面積”問題時， 創設分地的情境：以前有個地主，他給兩個兒子分地，給大兒子分長方形的地，給小兒子分平行四邊形的地，如右圖所示，你覺得公平嗎？

2.充分感知，建立關系

建立數學關系是建模的起始階段，用數字、圖表、算式、方程等符號來表示問題中的數量關系和變化規律，形成模型的基礎框架，便于更深入地思考與建立模型。以上述中“速度×時間=路程”模型為例：

師：這個問題中，每個數量表示什么？

生1：

師：你能找到這些數量之間的關系嗎？

生2：總路程、步行速度可以求出步行時間。

生3：總路程、汽車速度可以求出行駛時間。

生4：總人數、一次能載人數可以求出載幾次。

通過活動，學生分析問題中存在的變化規律，發現了其中的奧秘，建立數學關系，這就是建模過程。

3.合作探究，抽象本質

解決過初級問題后，學生有了初步解決問題的方法，但還沒有形成解決一類問題的模型。這時教師引導學生類比、分析，抽象出問題的特點與解決思路，能培養起學生建模素養。以“烙餅問題”模型為例，當已經建立“同時烙”模型后，讓學生合作探究“交替烙”模型。

師：小紅一家3口人，如果媽媽要烙3張餅，怎樣烙才能讓大家盡快吃上餅？我們來幫小紅想想辦法吧。要求：（1）想一想，3張餅怎樣烙最節省時間;（2）同桌交流，擺一擺，畫一畫;（3）將方案記錄在練習紙上。

生1：我們用了12分鐘。先用同時烙法烙第1、2張餅，再用1張餅的烙法烙第3張餅。

生2：我們用了9分鐘。先烙第1、2張餅的正面，然后烙第1張餅的反面和第3張餅的正面，最后烙第2、3張餅的反面。

生3：按照生2的烙法，每次鍋里都有兩張餅在烙，只需要烙3次，所以節省了時間。

師：看來要想節約時間，就必須保證每次鍋里都有2張餅，我們把這種省時的烙法叫作“交替烙”。

師：烙2張餅的最佳方法是“同時烙”，烙3張餅的最佳方法是“交替烙”。

4.回歸生活，辨識應用

將數學模型還原為具體的數學直觀或可感知的數學現實，解決相應的實際問題并不是數學模型建構的終結，而是利用建模過程中所采用的策略，對模型進行調整、修正，或能正確區分不同模型，從而解決問題。

師：美味餐廳只有2名廚師，餐廳里來了3位客人，每人都點了1個菜，假設每名廚師炒每個菜的時間為5分鐘，客人等待的總時間最少是多少分鐘？

生1：這個問題與“烙餅問題”類似。2名廚師相當于鍋里最多同時烙2張餅，3位客人相當于3張餅，3個菜相當于餅的正反兩面，炒一個菜的時間相當于烙一面的時間，等待的時間相當于烙餅的時間。

生2：烙餅的最短時間=餅的張數×每面的時間

等待的總時間=人數 ×炒每個菜的時間

所以等待的總時間=3×5=15（分）。

學生運用新學習到的“烙餅問題”模型，解決關于炒菜的問題，并遷移延伸到其他情境方面，開拓了思維，發展了建模素養。

總之，數學模型的構建、模型思想的培養對于學生學習數學知識，把握數學本質都具有重要教學價值，教師在實際教學中要不斷探索建模教學的有效實施策略，優化教學過程，促進教學改革取得實效。

（責編 吳美玲）