“相交線與平行線”學習指導

王宗信

數學里圖形的學習是非常有趣的，同時也是有規律的.通過數量關系可以判斷圖形的位置關系，反之，通過圖形的位置關系也可以確定相應的數量關系，要做到這些，需要通過必要的推理.

一、認識相交線 （一）兩條直線相交產生的四個角之間的關系

1.鄰補角.

如圖1，畫一個平角，則∠AOB=180°.接著畫射線OC，如圖2，則∠AOB被分割為∠AOC與∠BOC，∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB=1800.像∠AOC與∠BOC這樣的兩個角互為鄰補角.兩個角互為鄰補角要滿足兩個條件：（1）有一條邊互相重合（OC為兩個角的公共邊）;（2）另外一條邊互為反向延長線，

還可以通過另外的作圖來理解鄰補角.如圖3，已知∠AOC，反向延長射線OA，得到射線OB與∠BOC（如圖4），∠AOC與∠BOC互為鄰補角：或者在圖3中，反向延長射線OC，得到射線OD與∠AOD（如圖5），∠AOC與∠AOD互為鄰補角.

2.對頂角.

通過作圖我們得到：∠AOC小于180°，可以畫出它的兩個鄰補角（∠BOC與∠AOD），如圖6.而且我們知道，∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB=180°，∠AOC+ ∠AOD=∠COD=180°，根據“同角的補角相等”，可以得到∠BOC= ∠AOD.從圖6中，我們可以發現∠BOC與∠A OD不僅在數量上相等，而且這兩個角還有特殊的位置關系：這兩個角有公共的頂點，∠BOC的兩邊分別是∠AOD兩邊的反向延長線.像∠BOC與∠AOD這樣的兩個角，有公共頂點，其中一個角的兩邊是另外一個角的兩邊的反向延長線，我們稱之為對頂角，圖6中還有一對對頂角：∠AOC與∠BOD.在上述探究的過程中，我們得到對頂角的性質：對頂角相等，

在圖6中，我們還可以發現，直線AB與CD相交于點O.一個周角被分割成四個小于180°的角：∠AOD，∠AOC.∠BOC.∠BOD.這四個角有公共頂點O，它們有兩種位置關系.（1）有一條公共邊，它們互為鄰補角，共有四對角：①∠AOD與∠AOC;②∠AOC與∠BOC;③∠BOD與∠BOC;④∠BOD與∠A OD. （2）無公共邊，它們互為對頂角，共有兩對角：①∠AOC與∠BOD;②∠BOC與∠AOD.把∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD分別標記為∠1，∠2，∠3，∠4（如圖7），四個角兩兩之間有：兩對對頂角（∠1與∠3，∠2與∠4）;四對鄰補角（∠1與∠2，∠3與∠4，它們的和是∠COD，∠2與∠3，∠1與∠4，它們的和是∠AOB）.

在圖8的∠1，∠2，∠3，∠4四個角中，只要有一個為900，則其兩個鄰補角都是90°.根據對頂角相等，它的對頂角也是90°，也就是說這四個角中，只要有一個角是直角，其他的三個角也都是90°.當兩條直線相交時，只要有一個夾角為90°，我們就說這兩條直線互相垂直.

（二）認識一條直線分別與兩條直線相交產生的八個角之間的關系

一條直線與兩條直線分別相交，或者說兩條直線被第三條直線所截，會產生如圖9所示的八個角，為了便于表述，我們把直線EF稱為截線，把直線AB.CD稱為被截線.其中直線EF與直線AB相交產生四個角∠1.∠2，∠3，∠4，這四個角之間只有兩種位置關系：鄰補角或對頂角.它們有公共頂點，同樣直線EF與直線CD相交產生四個角∠5.∠6，∠7，∠8，這四個角之間也只有兩種位置關系：鄰補角或對頂角.這四個角也有公共頂點.我們研究直線AB，CD被第三條直線EF所截得到的八個角中沒有公共頂點的兩個角之間的關系，即∠1，∠2，∠3，∠4這四個角中的一個角與∠5，∠6，∠7，∠8這四個角中的一個角之間的關系.

1.同位角.

同位角，顧名思義是同樣位置的角，同樣位置是指兩個角位于截線的同一側，同時也要在兩條被截線的同一側，觀察圖9中的∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7.∠4與∠8.

從圖10、圖11、圖12、圖13四個圖中我們可以發現互為同位角的兩個角組成的圖形形狀特別像字母“F”或者字母“F”旋轉、翻折之后的樣子，并且可以得到這樣一個結論：兩條直線被第三條直線所截，產生的八個角中有四對同位角.

2.內錯角.

兩條直線被第三條直線所截，產生的八個角中，夾在兩條被截線之間（稱之為“內”）并且在截線的兩側（稱之為“錯”）成交錯狀的兩個角為內錯角.觀察圖9中∠3與∠5，∠4與∠6.

內錯角，形象地說就是夾在兩條被截線之間，并且被截線錯開來的兩個角，那么八個角中符合條件的角只有兩對.我們可以發現互為內錯角的兩個角組成的圖形形狀像字母“Z”或者字母“Z”旋轉、翻折之后的樣子.

3.同旁內角.

兩條直線被第三條直線所截，產生的八個角中，夾在兩條被截線之間（稱之為“內”）并且在截線的同側的兩個角為同旁內角，觀察圖9中∠3與∠6，∠4與∠5.

同旁內角，形象地說就是夾在兩條被截線之間，并且在截線同旁的兩個角，那么八個角中符合條件的角只有兩對.我們可以發現互為同旁內角的兩個角組成的圖形形狀像字母“U”或者字母“U”旋轉、翻折之后的樣子.

三、認識平行線

在同一平面內，兩條不重合的直線只能有兩種位置關系：相交或者不相交，平面內兩條直線不相交，我們說這兩條直線平行，直線a與直線b平行，記作a//b.

如何判定兩條直線互相平行呢？

同學們在小學學過利用直尺和三角尺畫平行線.這種作圖實際上就是把三角尺的600的角進行平移，通過保證同位角相等，畫出了兩條平行線.我們認可這個做法，作為一個基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.

這可以引發我們思考：內錯角、同旁內角是否可以幫助我們判定兩條直線平行？

圖18中，直線AB，CD被直線EF所截，同位角有四對：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8.這四對同位角只要有一對相等，就可以判定直線AB//CD.

圖中內錯角有兩對：∠3與∠5，∠4與∠6.我們鎖定∠3與∠5，猜想：若∠3=∠5，則直線AB與CD平行.我們應想辦法把內錯角轉移到同位角上，∠3有沒有同位角？有，∠3的同位角是∠7，∠7與∠5有沒有關系？∠7與∠5是對頂角，對頂角有何關系？對頂角相等！所以∠7=∠5，又因為∠3=∠5，所以∠7=∠3，我們推出了同位角∠7與∠3相等，那么AB//CD.

剛才的推理過程用數學的符號語言這樣寫：

已知：如上頁圖18，直線AB，CD被直線EF所截，∠3=∠5.

求證：AB//CD.

證明：根據對頂角相等，所以∠7=∠5.

又因為∠3=∠5（已知），所以∠7=∠3（等量代換）.

又因為∠7與∠3是同位角，根據“同位角相等，兩直線平行”，所以AB//CD.

根據上面的探究，我們得到：

兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內錯角相等，兩直線平行.

同學們可以用同樣的思路與方法來探究：同旁內角互補，兩直線平行.

這就是通過數量關系判定圖形的位置關系的應用.反過來，通過兩條直線平行也可以確定同位角的關系、內錯角的關系、同旁內角的關系，