例析二階導數在函數方面的應用

江蘇省南通市海門證大中學 李 明

隨著高等數學知識下放趨勢的明朗，在全國各地的高考題中，越來越多地出現了具有高等數學背景的題目。當然，高考題目依然是以高中所學的知識為主要依據，但是這也意味著高中階段對于高等數學中極限、微積分等思想的涉及應該越來越廣泛、深入。

一、二階導數在單調性判斷方面的運用

在高考題中對函數這一考點的考查，往往需要從導數的角度出發解決，學生通過對函數進行一次求導，并進一步結合函數與導數的相關知識，從而對一般性的證明題或者求解參數取值范圍的題目進行求解。但隨著高等數學思想的引入，部分題目在進行了一次求導后，依然無法明確判斷出原函數一階導數的正負性，如此也就很難對原函數的增減性進行判斷，這將給學生的解題帶來了困擾。如果學生利用二階導數的知識，繼續對一階導數進行求導，也就是求原函數的二階導數，往往可以產生不錯的效果，通過對二階導數正負性的判定，進一步確定一階導數的正負性，從而判斷出原函數的增減性，為學生的解題提供了極大的便利。

反思：從本質上來說，本題是由導函數的正負性出發，進一步判斷原函數的增減性，從而完成原題，但是在本題中，原函數的導函數的正負性無法通過直接觀察等簡單的方法得出結論，因此需要通過分析二階導數的正負性來判斷出原函數的導函數的正負性，從而完成對原函數增減性的判定。

二、二階導數在判斷根的個數方面的應用

在近幾年的高考題中，多次出現對某一方程根的個數的判定，這類題目一般無法直接通過計算得出結論，既然不能通過直接計算得出結論，學生可以考慮建立函數關系，從而通過對函數本身性質的討論，間接得出原方程的根的個數。

例2：已知函數f（x）=（x2-3x+3）ex，設g（x）=f（x）+（x-2）ex，當x＞1 時，試判斷方程g（x）=x根的個數。

解析：令φ（x）=g（x）-x，即φ（x）=（x-1）2ex-x。因為φ'（x） =（x2-1）ex-1， 則φ''（x）=（x2+2x-1）ex。 當x＞1 時，φ''（x）＞0，即φ'（x）單 調 遞 增，則φ'（x）＞φ'（1）=-1＜0。又φ'（2）=3e2-1＞0，故在區間（1，2）內必存在點x0，使得φ'（x0）=0，且x∈（1，x0）時，φ（x）單調遞減，x∈（x0，+∞）時，φ（x）單調遞增，故x=x0是φ（x）唯一的零點，即方程g（x）=x只有一個根。

反思：近幾年的高考題中關于方程根的個數的判定幾乎是必考題型，但是此類題型中對方程的求解幾乎是高中生無法完成的任務。因此，學生在考慮該類問題時，可以優先考慮建立新的函數關系，再利用導數對原函數的增減性進行判定。這里要注意的是，當一階導數的正負性無法直接判定時，可以利用二階導數加以分析。

三、利用二階導數求解函數中的參數值

翻閱近幾年的高考題會發現，關于函數中參數值的求解，一直是高考的常考題型，但是隨著高等數學思想的下放，此類題型的難度也在逐年升高。如今該類題型已經無法通過直接計算函數值來求解了，那么此時只能運用函數本身的性質進行判定。

反思：在該題中兩次運用了導函數與原函數之間的關系，進行逆推分析出兩者之間的關系，從而使原本復雜的題目變得簡單易懂，其中二階導數的計算與分析起到了至關重要的作用。

綜上所述，學生在解決數學問題時合理運用二階導數，不僅提供了更加廣闊的解題思路，最重要的是幫助學生正確探知、理解了題目的內涵。學生在平時進行適當的相關練習，可以拓展思維、發散思維。