論導數在不等式證明中的應用

得清王么

摘要：縱觀近幾年全國各省的高考試題，用導數證明不等式依然是考試的熱點、重點、難點。本文以近年來高考相關題型為例，利用導數來研究函數的單調性、最值、極值，進而解決不等式問題。

關鍵詞：導數;高考;不等式;應用

函數是高中數學的主干內容，是歷年數學高考的考查重點，導數作為選修課進入新課程，為研究函數提供了有力的工具，也為解決函數問題提供了更為廣闊的空間。代數以函數為主干，導數與函數、不等式的結合是熱點。從另一個角度看那就是近年來，在高考試題中，存在一個整體趨勢那就是：不等式的證明往往與函數、導數、數列等的內容綜合起來出題。屬于在知識網絡的交匯處設計的試題，有一定的綜合性和難度，突出體現對理性思維的考查，特別是利用高中新增內容的導數來證明不等式，體現了導數的工具，也是與高等數學接軌的有力點。

在國內外，導數的引入是高中數學學習的一次革命性實踐，利用導數證明不等式能夠體現導數的工具性和導數應用的靈活性。不等式的證明由于題目較為抽象，證明方法繁多，一直都是學生學習高等數學的難點，掌握導數在不等式中的證明方法和技巧對學生學習高等數學有著很大的幫助。本文將通過一些高考實例，來說明利用導數證明不等式的基本方法。

1.利用函數的單調性證明不等式

在證明不等式時，我們可以根據不等式的特點，恰當地構造一個函數，首先用導數證明該函數的單調性，然后再用函數的單調性達到證明不等式的目的，也就是把不等式的證明轉化為了證明函數的單調性。

函數的單調性問題包括確定函數的單調區間、證明不等式、確定方程根的個數和證明某些命題。其中對方法和技巧要求較高的是證明不等式，證明不等式的關鍵是要引入一個函數。引入函數的方法有多種，最簡單的是將不等式的一邊移到另一邊構成輔助函數，較復雜的則需根據對不等式特征的觀察加以確定，因而有一定的技巧，需要通過大量做題、多加練習才能掌握。

2.利用函數圖形的凹凸性進行證明

雖然函數的凹凸性在高中數學中不做要求，但它經常在考試中作為新定義型的題目出現，下面利用這種方法證明不等式，相信這種方法可以讓大家做此類題時減少很多運算，節省很多寶貴的時間。

所以 ，原等式成立。

函數的凹凸性在不等式的研究中很重要，而不等式的證明最終歸結為研究函數的特性，所以研究函數的凹凸性就顯得十分重要，我們可以結合導數和函數的凹凸性來證明不等式。

從以上幾例可以看出，導數不僅是證明不等式的重要思想方法，也是判斷函數的單調性、求函數極值、最值等的重要思想方法。它在解決數學有關問題中起到工具的作用。 尤其在高考中這一解題思路是非常重要的，可以為考試節省很多寶貴的時間。隨著課程改革的不斷深入，導數的應用必定會越來越廣泛，將會在社會的各個方面都會利用到，這就需要我們加強對導數的利用，讓學生深刻體會到導數在解決不等式證明方面的應用性、靈活性、工具性。

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