判斷平行首先考慮同面

徐璐

[摘要]小學教材中的數學概念通常都是狹義范圍內的，限制條件很多，外延很窄，到了中學后，同樣的概念內涵不斷拓展，外延越來越寬，許多原先被排除在外的條件又重新納入概念之中。因此，在小學階段，教師為了加深學生對原始概念的精準理解，提出一些迷惑性的問題也無可厚非，但一定要適可而止，否則就會陷入超綱、超范圍的泥沼。

[關鍵詞]剖析;平面;平行;幾何體;相交

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0036-02

在教學了平行線的概念后，為了檢測學生掌握得是否扎實，在課后鞏固練習題中，教師結合長方體設計了圖1，讓學生判斷圖中a、b兩條直線平行與否。顯而易見，這種與空間立體圖形結合的題型，屬于同體異面的兩條直線的空間位置關系的判定，有別于學生已知的同一平面中兩條直線的位置關系。不難看出，編創這道涉及立體幾何圖形的題目有著特殊的目的：加入干擾項，讓學生通過辨析，加深對平面上平行線概念的理解;鍛煉學生的空間想象能力，使之初步建立空間觀念。學生在獨立判斷后，普遍認為圖1中的兩條直線并不平行，理由是直線a、b分處于兩個不同的平面上。

面對這樣的回答，教師一時拿不出確鑿的證據來反駁學生的結論，沒有充足的理由來證偽學生的結論，于是只好草率地默認了學生的判斷。

一、剖析“同一個平面”的深意

有教師這樣分析：本題的癥結在于要判定兩條直線不在同一平面上，屬于異面直線，根據平行線嚴格的學術定義（在同一個平面上不相交的兩條直線叫作平行線），這個概念里有一個大前提——在同一個平面內，也就是說，在判斷兩條直線平行與否前，先要獲得評判資格，那就是設法把直線a、b置于同一個平面上。基于這一認識，想到將長方體沿著棱邊剪開，展開成平面圖（如圖2）的辦法。但仔細琢磨后發現，這樣的做法于事無補，反而帶來新的問題。本題判斷的要訣在于對概念中的前提條件“在同一個平面上”的領悟：此處提及的“同一個平面”只能是一個已知已定的二維幾何平面，能否是一個尚未成型的平面，或是一個有待加工合成的平面？分屬兩個不同平面的兩條直線能否在另一個尚未明確的第三個平面共處？

學生判斷圖1中兩條直線“不在同一平面上”，一方面顯露出學生的思維具有具體、形象與直觀的特性;另一方面暴露出學生對“同一平面”這一表述的曲解。通過對這道題的鉆研，可以令學生醒悟：同體異面的兩條直線并非一定相交，也存在平行的可能，因為它們可以共處于第三個平面，當然這個“第三個平面”未必是已經標明的，也不一定是視覺可感的，而是需要我們去推理想象的，是在理論上客觀存在的。而后者才是促進教師反思改進教案的主要推動力。

從表面看，將長方體（如圖1）展開成平面圖（如圖2）后，似乎能夠很直觀地揭示出a、b兩條直線同面，但圖2中的兩條直線已不再是圖1中的兩條直線，因為對長方體的展開已使得原有兩條直線的位置關系發生了變化，它們的空間位置發生了整體性位移。確切地說，其中一條直線已發生“身份變化”，不再是“它本身”。因此，這樣的做法是荒唐的。

我將例題稍作修改：試著判斷圖3中的直線c和直線d平行與否。

延續圖2的方法，將圖3展開成平面圖（如圖4），可以直觀看出，圖4中的兩條直線相互平行。但據此推測圖3中的兩條直線互相平行，顯然站不住腳。實際上，圖3中的兩條直線是異面直線，既不存在相交的位置關系，也不存在平行的位置關系。

那么，是否可以借助動畫演示，將立體圖形抽離，只留下c、d兩條直線呢？這樣雖然三維空間上這兩條直線的空間位置關系沒有發生改變，但實際上當兩條線的背景圖撤去后，它們的相對位置關系也隨之改變了。如此處理，判斷的結果也是錯誤的。

二、利用實物圖，降低理解難度

針對學生在解決圖1所屬問題時出現的狀況，教師可指引學生觀察實物來輔助理解，建立直觀表象，如黑板的對邊、籃球架的支架等。通過觀察、觸碰等方法研判它們的位置關系，借此讓學生去捕捉、猜想那個看不見摸不著、虛無縹緲，但確實存在的“同一個平面”，從而使學生清醒意識到平行線概念里的“同一個平面”可以是直觀畫出的，也可以是需要推理證實存在的。

根據學生的認知特點，不妨在圖1之前出示圖5，以降低圖1所屬問題的起步高度。

學生通過觀察物體，可以準確判斷出圖5中線段e和線段廠是平行關系。至于兩條線段“在同一平面上”的裁定，可充分調動學生的想象力，或借助動畫演示（如圖6）來完成。有了圖6引路，圖1中的問題便可迎刃而解。

圖1所屬問題的出現，雖明顯超綱，但對于學生理解概念、拓展思路、提升空間運動想象力等都起到積極的促進作用。

三、對問題提法本身的反思

“同體異面的兩條直線平行嗎？”這個問題拿來考查小學生，是否超綱姑且不論，這個問題的提法本身就很值得商榷。

圖1中的立體圖形是長方體，由6個長方形圍成，這6個面都不是沒有邊界的平面，而是封閉的平面圖形，既然是封閉的，就存在邊界。而直線是無限延長的，故不在同一面上的a、b兩條直線，嚴格來講其實只能算作線段。

因此，嚴密的表述應該是“同體異面的兩條線段平行嗎？”如此一來，問題的難度直線飆升，即便是高中生來回答，尚需作輔助線，再根據一些幾何定理小心求證，方可能證明。因此，小學生能看懂題目已經是萬幸。不過，這里無法隨心所欲地運用“在同一平面上不相交的兩條直線叫作平行線”這個定義，因為在同一幾何體的同一平面上的兩條線段不相交的現象俯拾即是。如圖7所示，a和b在同一平面上，既不相交，也不平行。異面呢？異面的兩條線段，可以平行也可以不平行，沒有一定。總之，這樣提問題，只會越繞越亂，最終將教師也繞進去。

問題出在哪里？主要原因在于，這類問題涉及的情形太復雜，概念繁多，隱含的條件也盤根錯節，不宜讓小學生來處理。那么，是不是小學生就不能接觸這類問題呢？能！但是有個前提，就是要堅決摒棄抽象的幾何圖形，以房屋、空調、電視機、大廈等實物取而代之，不同樓棟的單元水電埋設，吊頂、壁柜與天花板相連處，都有同體異面線段平行的現象，讓學生觀察這些日常現象，對學生今后的學習是大有裨益的。

以上就這道有關平行線判斷的幾何題進行的探究，希望能為廣大教師正確全面地理解平行線的概念、教學設計的問診把脈提供一些借鑒。

（責編 李琪琦）