阻斷思維定式，讓遷移由“負”轉“正”

張曉霞

[摘要]雖然學生的錯誤資源往往可以成為重構知識的契機，但是錯誤可以形成免疫，也可以帶來偏執。因此，面對一些有可能形成思維定式的“坑洞”，必須追根溯源，從知識的來歷講起，重組知識結構，幫助學生辨明知識生成的始末，切實提升教學效率。

[關鍵詞]近似數;十萬位;萬位;保留數位;取值

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0034-02

偶然的機會，讀到一篇教研論文，題目為《著急的明理，草率的回歸》（以下簡稱文1），針對發表在同一期刊上的另一篇論文《惑于始，解于端》中提及的一道練習題發表論述，而這道題又是出自另一篇論文《是什么、為什么、怎么辦》的論點，三篇高質量的論文跨時空論戰，各有千秋。

對于文1中的觀點和處理策略，筆者深表贊同。在實際教學中，筆者曾出示一道同類題：某整數取近似值是10萬，請你推測出原數的可能范圍。被調查的80名學生中，竟然有50人不約而同地填寫“95000～104999”，只有5人填寫“50000～149999”，余下是其他答案。

一、追查錯因

這道題之所以難倒一批學生，究其原因，其一是學生受到類似“把一個整數保留到萬位后取值10萬”題型的誤導，后面遇到的所有練習題都下意識地參照此解題過程，因而得出“95000～104999”的答案;其二是多數學生陷入經驗陷阱，看到大寫的“萬”字，就想當然地以為這個整數是保留到“萬”位，遵從“四舍五入”法，那就需要審查千位上的數字來判斷究竟是該“四舍”還是“五入”;其三是有些學生認為“有一個整數，把它保留到萬位后是10萬……”和“有一個整數，把它保留數位后是10萬……”兩種表述大意相同，實則理解有誤;其四是教師的教學存在缺漏，多數學生對這部分知識是“一題一得，一事一議”，生搬硬套，沒有做到融會貫通、舉一反三。尤其是出現這種需要反向推理的題型時，學生理解起來更加困難;其五是出題人超前出題。課程標準明確指出：會用萬、億為單位表示大數。按照課程標準的指示，并未刻意避開“單位”的近似數這一提法，人為提高準入門檻。筆者還查了本冊教材制訂的所有教學目標，可以確定這樣一個總目標：使學生學會用“四舍五入”法省略小于一億的數萬位之后的尾數，來求近似值。

二、追根溯源

1.爭辯

筆者出示原題：

1.某整數，保留數位后取近似值是10萬，這個數的原值范圍上限是（ ），下限是（ ）。

2.某整數，保留到萬位后取近似值是10萬，這個數的原值范圍上限是（ ），下限是（ ）。

師：上面兩道題有區別嗎？

生1：有，一個明確規定要保留到萬位，一個則沒有作此規定。

生2：第1題盡管沒有注明要保留到萬位，但10后面連綴了一個“萬”字，暗示要保留到萬位。

生3：我不同意生。的說法，“10萬”只能代表取近似值后的數值。

2.感悟

于是，筆者將“10萬”寫在黑板上。

師：“10萬”去掉單位萬，改寫成阿拉伯數字是什么？

生4：100000。

生5：刪除“萬”字，再添補4個0即可。

師：照這樣，“某整數，保留數位后取近似值是10萬”是否等價于“某整數，保留數位后取近似值是100000”？

生6：等價。

師：好，按照這種邏輯，那“某整數，保留數位后取近似值是100000”，沒有了“萬”字，誰來說一說，你覺得這個近似值保留到了哪一位？

生7：十萬位，因為這個數的最高位是十萬位。

生8：從萬位開始都是0。根據“四舍五入”法可知，當萬位上的數小于等于4時，則將萬位上的數字舍去;當萬位上的數大于等于5時，則先向前進位后再歸零。無論萬位上的0是什么來歷，總之必須清零。于是推知，是將原數保留到了十萬位。

師：保留到十萬位，主要取決于哪一位上的數字？

生9：萬位。

師：檢索最大值時，萬位上的數字可能出現哪些情況？

師：那么萬位后面的數字怎么設置呢？可以設想哪些數？

（學生匯報后，填寫下表）

師：檢索最小值時，萬位上的數字存在哪些情況？這時，萬位之后的各位上怎么設置數字？

（學生匯報后，填寫下表）

3.明理

師：“某整數，保留數位后是10萬，請你寫出它的取值范圍”，應該怎么設想呢？

生10：大于50000，小于149999。

生11：不對，正確答案應是大于或等于50000，小于或等于149999。

師：如果用x表示這個數，那么可以用不等式表示取值范圍為50000≤x≤149999。

師：請大家細致觀察以上表格，依照這種思路，誰能敘述一下操作方法？

生12：看表可知，保留到十萬位后的近似數是10萬，檢索最大值時，實際值超過十萬，用的是“四舍”法，萬位上最大可取值4，其余數位最大均可取值9。

生13：看表可知，保留到十萬位是10萬，檢索最小值時，十萬位上的數字可以為0，即十萬位缺位，原數小于10萬，此時采用的是“五入”法，萬位上的數必須大于5，由于是最小值，因此萬位上最小可取值5，其余數位最小均可取值0。

生14：我發現十萬位上的數字有規律，檢索最大值時維持原狀不變，檢索最小值時則要減1。

生15：我發現表格中萬位上的數字也有規律，縱向看恰好是0～9，合計10個數字。檢索最大值時取4，檢索最小值時取5。

生16：看題目有無明確提出保留到哪一位，具體情況具體分析。

師：好一個“具體情況具體分析”。遇到這類題目時切不可操之過急，一定要沉著冷靜，關鍵是分清這個近似數是保留到了哪一位，這才是正確解題的法寶。其次我們可以利用表格來解題。

三、課后反思

對待每一節課，教師都要“三思”：第一思，你要把學生引向何處？第二思，你采用什么引路方式？第三思，你如何確認已經達到目的？

“把學生引向何處？”——筆者對學生的經驗和學情嚴重誤判，主觀臆測成分偏多，沒能統籌兼顧到全體學生，在頂層設計上無法做到在基本層面上施策，只是片面強調了“四舍五入”法的取值法則。“采用什么引路方式？”——對于給出一個近似數檢索出原數的取值范圍的題型，筆者沒有充分考慮到需要逆向思維才能解答的題型特征，沒能搭設好催化逆向思維的知識鏈條，導致學生自主探究和反思時欲速不達，教學手段和策略無法施行到位，大大降低了學習效果。“如何確認已經達到目的？”——筆者只是“就題論題”，沒有舉一反三。

平素教學時，我們只將“四舍五入”法教給學生，這種程式化的操作自帶了一些基本要件，那就是必須明確告知保留到哪一位數字。如，整數297800，精確到萬位，結果是300000;改寫成以“萬”作單位的數，結果是30萬;精確到十萬位，結果是300000;改寫成以“十萬”作單位的數，結果仍是30萬，保留結果和改寫結果竟然毫無區別。改寫單位時，如果精確到哪一位就以哪一位作單位的話也好區分，如300000（精確到萬位）就寫成“30萬”，300000（精確到十萬位）就寫成“3十萬”，但是，計數單位一般只有“萬”“億”等，所以沒有“3十萬”這種改寫法，于是在沒有指明精確度的逆向推導時，就會產生歧義。因此，對于上文中的例題，還原成阿拉伯數字更便于觀察，可以作兩種理解，然后取最大范圍，因為95000到104999這個區間包含于50000到149999這個區間，所以正確答案應該是50000到149999之間。

基于以上認識，在學生充分辯論、探析后，為了確認已經達到目的，筆者又增設了應用、提示和拓展三個層級的鞏固練習。通過以上改進舉措，學生對這一知識點達到純熟的程度。

（責編 李琪琦）