算法多樣化到優(yōu)化的教學(xué)改進(jìn)

段曉煒 伍春蘭

[摘要]以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”豎式筆算第一課時(shí)為例，針對(duì)兩次實(shí)踐與反思，從四個(gè)方面對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)提出四點(diǎn)建議：?jiǎn)栴}情境的選擇、算法多樣化到優(yōu)化、算法與算理相隨、學(xué)生調(diào)研的價(jià)值。

[關(guān)鍵詞]兩位數(shù)乘兩位數(shù);豎式筆算;算法多樣化;數(shù)感

[中圖分類(lèi)號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1007-9068（2020）32-0031-03

算理和算法多樣化、數(shù)感等已成為小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)關(guān)注的高頻詞，但在教學(xué)中，教師往往顧此失彼，比如，放手讓學(xué)生算法多樣化，可學(xué)生并沒(méi)有在比較中掌握需要學(xué)習(xí)的算法;又如，算理占據(jù)了一堂計(jì)算教學(xué)課的絕大部分時(shí)間，以至于最后的算法教學(xué)草草收尾。算法、算理如何權(quán)衡？數(shù)感怎樣滲透？下面結(jié)合“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算”第一課時(shí)，闡述我們的實(shí)踐與思考。

一、三本教材相關(guān)內(nèi)容概述

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算”這個(gè)內(nèi)容，北京出版社（以下簡(jiǎn)稱京版）教材、人民教育出版社（以下簡(jiǎn)稱人教版）教材及北京師范大學(xué)出版社（以下簡(jiǎn)稱北師大版）教材都將其安排在三年級(jí)下冊(cè)，見(jiàn)表1。

三個(gè)版本教材所給情境不一，但都是 先考慮不進(jìn)位的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，抽取的乘法算式第二個(gè)因數(shù)也都不約而同地選擇了12。12是具有六個(gè)因數(shù)的較小的兩位數(shù)，既滿足了算法多樣化的條件，也降低了計(jì)算的難度（不進(jìn)位乘法）。第一個(gè)因數(shù)，京版選擇的是24，相比另兩個(gè)版本教材選擇的14，如果在點(diǎn)子圖中標(biāo)注，24就會(huì)過(guò)于“腫脹”。三個(gè)版本教材的轉(zhuǎn)化算法2是溝通脫式計(jì)算與豎式計(jì)算的橋梁。另外，北師大版教材還多了轉(zhuǎn)化算法3，即將兩個(gè)因數(shù)都拆分為10和一位數(shù)的五步脫式計(jì)算方法。

對(duì)于豎式筆算，京版教材更強(qiáng)調(diào)步驟，人教版教材更突出算理，北師大版教材更注重?cái)?shù)形結(jié)合。

二、第一次設(shè)計(jì)及實(shí)踐

本次設(shè)計(jì)分為四個(gè)環(huán)節(jié)——情境引入、嘗試轉(zhuǎn)化、理解豎式、“鋪地錦”激趣，旨在讓學(xué)生通過(guò)算法多樣化體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想方法，在算法與算理的聯(lián)系中理解豎式筆算。

【實(shí)踐片段1】

1.轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題

出示情境圖1，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題：參加三年級(jí)花毽表演一共有多少人？讓學(xué)生想辦法將這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成之前學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，并借助點(diǎn)子圖圈一圈，以留下思維過(guò)程，同時(shí)把思考過(guò)程用算式寫(xiě)下來(lái)。

由于給了較充足的時(shí)間，學(xué)生經(jīng)過(guò)小組交流都得到了5種算法：14×2=28，28×6=168;14×6=84，84×2=168;14×3=42，42×4=168;14×4=56，56×3=168;14×2=28，14×10=140，28+140=168。

在眾多算法中，讓學(xué)生選擇自己喜歡的算法，對(duì)應(yīng)點(diǎn)子圖圈一圈、說(shuō)一說(shuō)理由。算法多樣化的背后是學(xué)生對(duì)于數(shù)與式理解的不斷深入，不同的算法能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生更多的對(duì)于數(shù)與式的感覺(jué)。在數(shù)（算式、結(jié)果）與形（點(diǎn)子圖）的交互中，學(xué)生經(jīng)歷了抽象與具體等思維活動(dòng)，數(shù)感和運(yùn)算能力得到了強(qiáng)化。

2.理解豎式筆算

設(shè)計(jì)了2個(gè)活動(dòng)：

由于學(xué)生之前學(xué)習(xí)過(guò)多位數(shù)乘一位數(shù)的豎式筆算，所以活動(dòng)1的豎式筆算比較順利。但活動(dòng)2的豎式筆算，多數(shù)學(xué)生沒(méi)有思路，所以教師提供了豎式，讓學(xué)生在此基礎(chǔ)上理解算理并簡(jiǎn)化。

【實(shí)踐反思1】

本設(shè)計(jì)原設(shè)想通過(guò)算法多樣化，不僅引出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算問(wèn)題，而且發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和化歸意識(shí)。

事實(shí)上，學(xué)生沉浸在算法多樣化中，以為問(wèn)題都已解決了，可發(fā)現(xiàn)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容才剛剛開(kāi)始，而此時(shí)課堂時(shí)間已過(guò)半，學(xué)生的心理和生理就會(huì)跌入低谷。另外，將脫式計(jì)算轉(zhuǎn)換成豎式計(jì)算是多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，本應(yīng)該讓學(xué)生爬坡而得到的豎式計(jì)算，卻以教師的直接給出替代，沖淡了教學(xué)內(nèi)涵。

如果將第二個(gè)因數(shù)換成質(zhì)數(shù)，比如13，相應(yīng)的第一個(gè)因數(shù)由14換成12（為規(guī)避難度疊加，本節(jié)課先學(xué)習(xí)不進(jìn)位的兩位數(shù)乘兩位數(shù)），學(xué)生加減法時(shí)所學(xué)的“湊十法”和“破十法”的經(jīng)驗(yàn)，以及簡(jiǎn)化計(jì)算的需求，會(huì)使他們將12×13轉(zhuǎn)化為12×10+12×3，或是10×13+2×13，也可能想到（12×5）×2+12×3（第一項(xiàng)是整十?dāng)?shù)），這些都是良好數(shù)感的表現(xiàn)，而前兩種算法為新課的學(xué)習(xí)起到了承前啟后的作用。

情境的選取首先要考慮的是能夠轉(zhuǎn)化為學(xué)生已學(xué)過(guò)的，其次要能自然引入將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

三、第二次設(shè)計(jì)及實(shí)踐

【學(xué)生前測(cè)】

前測(cè)共3個(gè)題目：（1）每套12本書(shū)，買(mǎi)了13套，共買(mǎi)多少本，請(qǐng)列出算式（不計(jì)算）;（2）估算12×13，并寫(xiě)出估算的過(guò)程;（3）嘗試寫(xiě)出12×13的豎式筆算。學(xué)生的作答歸類(lèi)，見(jiàn)表3及表4。

前測(cè)表明，學(xué)生能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出乘法模型，而且多數(shù)學(xué)生的轉(zhuǎn)化正確，表明他們掌握了乘法的意義。多數(shù)學(xué)生能將其中一個(gè)兩位數(shù)拆分為一個(gè)一位數(shù)和一個(gè)整十?dāng)?shù)，說(shuō)明“湊十法”“破十法”，以及估算的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)此問(wèn)題的轉(zhuǎn)化起主導(dǎo)作用。但學(xué)生列豎式計(jì)算有困難，而且加減法的豎式筆算對(duì)學(xué)生兩位數(shù)乘法豎式筆算有負(fù)遷移傾向。

【實(shí)踐片段2】

依據(jù)前測(cè)，將12×13融入情境中（不出現(xiàn)文字信息），讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題、建構(gòu)豎式筆算、鞏固豎式筆算、了解“鋪地錦”算法等活動(dòng)。

1.發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題

只呈現(xiàn)花毽表演的點(diǎn)子圖（每個(gè)點(diǎn)代表1人，如圖2），讓學(xué)生就情境信息提出問(wèn)題并嘗試回答。除了“一共多少人？”，學(xué)生提出的問(wèn)題還有：每行多少人，一共多少行？每列多少人，一共多少列？

2.建構(gòu)豎式筆算

師：對(duì)于問(wèn)題“每行12人，共計(jì)13行，一共多少人”，列出算式是什么？

生（齊）：12×13。

師：前測(cè)讓大家嘗試寫(xiě)出12×13的豎式筆算，請(qǐng)看這兩個(gè)豎式（表4中C1、C2類(lèi)），你能讀懂他們的算法嗎？請(qǐng)用點(diǎn)子圖圈一圈，判斷他們的算法對(duì)不對(duì)。

（通過(guò)圈畫(huà)，學(xué)生認(rèn)同這兩個(gè)豎式。不過(guò)學(xué)生L指出，如果第一個(gè)數(shù)是11，這個(gè)方法就失效了。）

師：學(xué)生L說(shuō)得好，這個(gè)方法雖然挺巧的，但不具有普遍性。我們要尋找兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式筆算的通法。看看這個(gè)豎式（表4中的D類(lèi)）可以嗎？

生1：12×l0就得120，12×13不可能只有106，所以這個(gè)豎式不對(duì)。我看像是個(gè)位和個(gè)位相乘，十位和十位相乘，然后相加的。

生2：我就是這樣算的，因?yàn)槲覍?2拆成10和2，13拆成10和3，這樣10×10=100，2×3=6，100+6=106。我覺(jué)得方法對(duì)，但得數(shù)不對(duì)，不知哪有錯(cuò)？

師：生，的方法聽(tīng)起來(lái)蠻有道理的，但是結(jié)果卻不對(duì)，問(wèn)題出在哪？請(qǐng)大家在點(diǎn)子圖中圈一圈10×10和2×3，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題了嗎？

生3：（如圖3）缺了10×2和10×3。

師：怎么完善這個(gè)豎式（表4中的D類(lèi)）？

（學(xué)生展示（略））

在對(duì)這些豎式的分類(lèi)、算法和算理的共性和差異比較的思維碰撞中，學(xué)生完成了豎式筆算的建構(gòu)。他們發(fā)現(xiàn)豎式筆算就是將第二個(gè)因數(shù)拆成易于口算的3與10，然后分別與第一個(gè)因數(shù)相乘再相加的脫式計(jì)算的簡(jiǎn)便寫(xiě)法，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)突出本質(zhì)求簡(jiǎn)之美。

【實(shí)踐反思2】

第一次實(shí)踐，算法多樣化成為課堂教學(xué)的中心，擠占了學(xué)生獨(dú)立嘗試豎式計(jì)算，以及溝通算理和算法的時(shí)間。第二次實(shí)踐，不僅將數(shù)據(jù)進(jìn)行了相應(yīng)調(diào)整，將算法多樣化做了適當(dāng)?shù)膭h減，而且以學(xué)生前測(cè)中豎式計(jì)算的錯(cuò)誤為情境，調(diào)動(dòng)了學(xué)生積極探尋錯(cuò)因、完善豎式的欲望;在豎式的改進(jìn)過(guò)程中有意駐留，讓學(xué)生在比較、分析中發(fā)現(xiàn)合理的算法，使豎式筆算的建構(gòu)真正成為教學(xué)重點(diǎn)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

四、思考建議

1.問(wèn)題情境的選擇

將學(xué)習(xí)內(nèi)容融入問(wèn)題情境中，既是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的機(jī)會(huì)，也是發(fā)展他們數(shù)感的契機(jī)。為了突破難點(diǎn)，理解算法和算理，人教版和北師大版教材，都借助點(diǎn)子圖幫助學(xué)生思考與驗(yàn)證。但據(jù)課堂觀察，點(diǎn)子圖對(duì)于三年級(jí)的學(xué)生而言還是抽象的。因此“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的內(nèi)容中，“人”和“隊(duì)伍”的情境更利于學(xué)生抽象成點(diǎn)子圖，有時(shí)候適宜的情境可以達(dá)到事半功倍的效果。

2.算法多樣化到優(yōu)化

數(shù)據(jù)和情境是計(jì)算教學(xué)中重要的一環(huán)，好的數(shù)據(jù)可以帶給學(xué)生算法多樣化的可能，算法多樣化可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感以及對(duì)于算理的理解。但在教學(xué)過(guò)程中盲目的“多”反而適得其反，因此算法多樣化要適度，要讓學(xué)生在“多”中選優(yōu)。優(yōu)化算法的過(guò)程是學(xué)生提升對(duì)于數(shù)與式的感覺(jué)的過(guò)程，亦是提升自身運(yùn)算能力的過(guò)程。

3.算法與算理相隨

算理是學(xué)生掌握算法的根，不少教師都在努力踐行這一理念。然而，僅僅讓學(xué)生明白算法的道理是不夠的，還應(yīng)該促進(jìn)學(xué)生在建構(gòu)算法的過(guò)程中理解算理。學(xué)生在此前學(xué)過(guò)加減法的豎式筆算，學(xué)過(guò)多位數(shù)乘一位數(shù)的豎式筆算，所以學(xué)生在教師的適度引導(dǎo)下是可以建構(gòu)兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式筆算的。由于學(xué)生水平參差不齊，所以創(chuàng)設(shè)基于學(xué)生認(rèn)知的“一波三折”的情境，讓學(xué)生在思考與交流中自然地建構(gòu)算法、理解算理就成為設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。

4.學(xué)生調(diào)研的價(jià)值

必要的課前調(diào)研以及對(duì)于學(xué)生生成性資源的充分分析是開(kāi)展有針對(duì)性課堂教學(xué)之本。課前調(diào)研可以使教師清楚學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)在哪里;學(xué)生對(duì)于“數(shù)”的感覺(jué)，可以在調(diào)研中部分表現(xiàn)出來(lái)，為教師讀懂學(xué)生提供基礎(chǔ)。同時(shí)學(xué)生所呈現(xiàn)的錯(cuò)誤答案是教師分析學(xué)生思維特點(diǎn)和思維發(fā)展水平的重要載體，可為有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)提供參考。

（責(zé)編 金鈴）