數(shù)學(xué)建模思想滲透于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)的實(shí)踐

王宏軍

(山西醫(yī)科大學(xué) 汾陽學(xué)院，山西 汾陽 032200)

所謂的數(shù)學(xué)建模，就是將問題做出假設(shè)并簡化，用數(shù)學(xué)符號寫出表達(dá)式或者表示成圖表、圖示等，根據(jù)表達(dá)式或者圖表建立模型，并對所建立的模型進(jìn)行分析、求解、評價、檢驗(yàn)和應(yīng)用在實(shí)踐中。是一個可以將現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系和外在特征表示出來的數(shù)學(xué)工具。目前，各種模型尤其是概率模型被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)踐中，可以說模型在現(xiàn)實(shí)生活中無處不在，所以數(shù)學(xué)建模的思想顯得愈發(fā)重要。

一、概述數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模的中心思想主要是透過問題表象看到問題的實(shí)質(zhì)和其內(nèi)在規(guī)律，然后將問題用數(shù)學(xué)表符號表示出來。也就是運(yùn)用數(shù)學(xué)那種發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的思想和方法解決現(xiàn)實(shí)中的問題，即首先將問題做出假設(shè)并簡化，用數(shù)學(xué)符號寫出表達(dá)式或者表示成圖表、圖示等，根據(jù)表達(dá)式或者圖表建立模型，并對所建立的模型進(jìn)行分析、求解、評價、檢驗(yàn)和應(yīng)用在實(shí)踐中。邏輯思維、推理能力、計(jì)算能力等對于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)固然重要，但將知識運(yùn)用到實(shí)踐中的能力也是非常重要的，而很多學(xué)校的教育都重視學(xué)生的邏輯思維的培養(yǎng)而忽略了學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力[1]。為了應(yīng)對這種教育方式的不足，很多學(xué)者和高校對教育體系、教育內(nèi)容、教育方式等做了深入的研究和探討，繼而教育體系的改革、教學(xué)內(nèi)容的改革及教育方式的改革等都陸續(xù)發(fā)生在很多高等院校及中小學(xué)院校中。面對這些改革，培養(yǎng)適應(yīng)新的教育體系的新型教師是當(dāng)前的首要任務(wù)。但是，雖然近幾年我國的數(shù)學(xué)專業(yè)在多方面(如教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)方式、課程體系等方面)都進(jìn)行了一系列的改革，新的教育體系對新型教育人才的需求卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了改革的速度。主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

(1)數(shù)學(xué)教學(xué)體系仍然以單一學(xué)科自身為重點(diǎn)，重視學(xué)生對專業(yè)課程自身的學(xué)習(xí)而忽略學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力，使數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科嚴(yán)重割裂，即相對于與其他學(xué)科的聯(lián)系相比更加重視本學(xué)科。這樣很難培養(yǎng)學(xué)生的整體數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，而且使本專業(yè)學(xué)生應(yīng)用專業(yè)知識能力很差，無法提高專業(yè)水平。

(2)隨著社會文化的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)專業(yè)的新教學(xué)體系應(yīng)該有所改進(jìn)，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該涵括近代數(shù)學(xué)研究的成果，但是，恰恰相反，大多數(shù)高校的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容仍然僅僅是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這樣陳舊老化的教學(xué)體系脫離了現(xiàn)代教育的現(xiàn)狀，不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)。

(3)雖然傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展也是有幫助的，但在學(xué)生將專業(yè)知識實(shí)踐在社會生活中已經(jīng)不再適用?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教育體系要求在傳統(tǒng)的教學(xué)體系基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，能將專業(yè)知識熟練應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活及各個領(lǐng)域之中[2]。將數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科緊密聯(lián)系起來，滲透數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力，這樣既適應(yīng)了現(xiàn)代社會對人才需求的趨勢，又進(jìn)一步推進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科教育事業(yè)的發(fā)展，對實(shí)踐和應(yīng)用型的發(fā)展具有重大的理論和實(shí)際意義。

二、數(shù)學(xué)建模思想融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中的必要性

概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科中也包含了很多類似于建立模型、變換模型、構(gòu)造方法、將模型數(shù)量化等數(shù)學(xué)方法，是一門將邏輯思維與理性思維相結(jié)合的學(xué)科，分析和模型化的方法在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的教學(xué)中也是必不可少的。近年來，我國開展了很多有關(guān)數(shù)學(xué)建模的競賽，而從競賽題目中可以很明顯地看出數(shù)學(xué)建模競賽題目中所涉及的知識面越來越廣，尤其是概率論及統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的知識。例如，2010年，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽中有關(guān)儲油罐與罐容表標(biāo)定的題目；2011年，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽中關(guān)于交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置與調(diào)度的題目；而葡萄酒的評價與腦卒中發(fā)病因素是2012年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽的題目；2013年，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽的題目是城市交通與共享單車的問題，這些題目多多少少都涉及了概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識。但是，在比賽過程中發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)數(shù)學(xué)理論知識學(xué)習(xí)得很好，但真正面對問題時完全忽略了對真實(shí)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)、研究和分析，也沒有預(yù)估和假設(shè)檢驗(yàn)所建立的模型，而只是單一地使用統(tǒng)計(jì)軟件按照一些時間順序或假設(shè)來建立模型，甚至有的同學(xué)面對問題時完全想不到運(yùn)用概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識[3]。由此看來，數(shù)學(xué)建模思想對概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)是非常重要的，也是非常必要的。只有培養(yǎng)學(xué)生在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中建立數(shù)學(xué)建模思想，學(xué)生才能將理論知識與實(shí)際問題結(jié)合起來，真正做到學(xué)有所用。

1.由數(shù)學(xué)模型引入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程

要想將數(shù)學(xué)建模思想滲透進(jìn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中，就要將數(shù)學(xué)建模引進(jìn)到課程中讓學(xué)生對其產(chǎn)生興趣。就像“三門一羊”這種等可能概型問題，教師可以將其組織成一場游戲，讓全班同學(xué)都參與進(jìn)來，并分成A、B、C三組，將門分成M、N、S三種，然后讓AB兩組的同學(xué)在M、N、S中隨機(jī)抽取兩扇門，讓C組同學(xué)抽取一種門，這樣可以讓每一位同學(xué)都體會到學(xué)科的特點(diǎn)并引起興趣，教師在課程中還可以像講故事一樣，將概率統(tǒng)計(jì)的歷史背景和由來講給學(xué)生聽，或者出一些簡單并貼近現(xiàn)實(shí)生活的問題讓學(xué)生思考，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對本門學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。例如，在日常生活中經(jīng)常做的猜硬幣的行為，假設(shè)兩個人就猜硬幣正反面來賭200元錢，約定先猜對3局的人勝利并贏得200元，而在進(jìn)行了3局后，其中一人贏了兩局，另外一個人贏了一局，那么這時讓學(xué)生思考一下這時兩個人應(yīng)該都拿多少錢才算公平呢?然后在學(xué)習(xí)等可能概型事件后，再讓大家思考這個問題，并讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)的等可能事件和全概率事件的公式用不同的方法來計(jì)算兩人應(yīng)該得到的錢數(shù)[4]。即在5局之后必有一人勝出，而現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)行了3局，所以剩下的兩局有4種可能，根據(jù)每種可能最后得出已經(jīng)贏了2局的人應(yīng)該分得150元，贏得1局的人應(yīng)該分得50元。這樣不僅增加了課堂樂趣，還有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.有利于加強(qiáng)教材建設(shè)

在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生是主體，教師則起到引導(dǎo)作用。教師根據(jù)教材內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生來學(xué)習(xí)，而現(xiàn)在很多概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教材內(nèi)容過于陳舊，所以，在能讓學(xué)生掌握傳統(tǒng)教材知識的同時，要對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教材進(jìn)行改革，這種改革的主要目的是增加理論與實(shí)踐相結(jié)合的部分，即降低某些知識點(diǎn)的難度，增加部分應(yīng)用問題在教材中。其中《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(三)概率統(tǒng)計(jì)分冊》就是一本既有基礎(chǔ)知識又有應(yīng)用案例的教材，這本教材在每一章節(jié)后面都加入了一個能應(yīng)用本章理論知識解決的應(yīng)用性問題，這樣可以使學(xué)生將理論知識和時間問題結(jié)合起來，舉一反三，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，真正感受到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的使用性，為以后的學(xué)習(xí)和應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。

3.鼓勵和培養(yǎng)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽

早在1985年，美國舉辦了第一屆數(shù)學(xué)建模大賽，競賽以實(shí)際問題的解決為主自主選題，要求三個人一組在三天內(nèi)完成選題和相關(guān)論文。我國的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽的舉辦是在1992年，隨著文化教育的發(fā)展，我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽題目涉及的知識和領(lǐng)域越來越廣泛，尤其是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的知識。很多同學(xué)都對數(shù)學(xué)建模感興趣，但其概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)等數(shù)學(xué)方面的基礎(chǔ)不太好，那么就需要教師的指導(dǎo)和幫助。很多教師在大學(xué)一年級講高等數(shù)學(xué)時就會簡單向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)建模，然后，在課下指導(dǎo)對此感興趣的學(xué)生，讓他們學(xué)習(xí)相關(guān)軟件(如Word, Excel, Lingo,SPSS和MATLAB等軟件)并查閱相關(guān)資料，提前為參加數(shù)學(xué)建模大賽做準(zhǔn)備[5]。并且學(xué)校還專門設(shè)立了數(shù)學(xué)建模的課程且對學(xué)生進(jìn)行考核和選拔，使對數(shù)學(xué)建模感興趣的學(xué)生有學(xué)習(xí)的機(jī)會。汾陽學(xué)院在2002年開始組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模大賽，一直以來取得的成績都比較優(yōu)異。

三、數(shù)學(xué)建模思想滲透于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)的實(shí)踐

一直以來，數(shù)學(xué)在日常生活中扮演一個重要的角色，在各個領(lǐng)域的作用也都非常重要。概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)同樣在生活中發(fā)揮著非常重要的作用。例如，隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來越多的人注重理財(cái)和投資，而這時，概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)就會起到非常大的作用。而且概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)理論早在1953年就已經(jīng)被美國的一位學(xué)者應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中，這位學(xué)者創(chuàng)立了可以幫助人們以最小的風(fēng)險達(dá)到最大收益的證券組介理論。然后，布萊克和斯科爾斯作為美國的經(jīng)濟(jì)學(xué)家在1974年運(yùn)用了概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)的定理創(chuàng)造了聞名世界的布萊克一斯科爾斯公式，這一創(chuàng)作進(jìn)一步推進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。近幾年，不僅投資和理財(cái)?shù)娜嗽絹碓街匾暩怕式y(tǒng)計(jì)學(xué)的作用，而且概率統(tǒng)計(jì)學(xué)還引起了很多高校的高度重視，尤其是概率統(tǒng)計(jì)學(xué)在證券交易中的作用。

現(xiàn)實(shí)生活中很多人都買過彩票，很多人甚至希望通過買彩票來發(fā)家致富，所以就一直買彩票，甚至不惜花費(fèi)幾萬甚至幾十萬去買彩票，但學(xué)過概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識的人就會知道，這樣發(fā)家致富的概率基本上是千萬分之一，也就是說中獎的概率是非常小的，中獎的人也是非常少的，那么如果想靠買彩票來發(fā)家致富的人更是大錯特錯，由此可以看出，概率統(tǒng)計(jì)學(xué)在人們生活中的重要性。

當(dāng)然概率統(tǒng)計(jì)學(xué)的作用不僅僅局限于證券或者彩票交易中，在很多其他專業(yè)領(lǐng)域也需要用概率統(tǒng)計(jì)的知識來解決問題。比如，類似于對市場上蔬菜水果的需求量和合理價格的預(yù)測這種經(jīng)濟(jì)貿(mào)易領(lǐng)域的問題、發(fā)貨時間和數(shù)量等物流管理專業(yè)方面的問題、機(jī)械維修和產(chǎn)品質(zhì)量檢測等機(jī)械專業(yè)的相關(guān)問題等很多專業(yè)領(lǐng)域的問題都與概率統(tǒng)計(jì)學(xué)有關(guān)。還有在學(xué)校教學(xué)過程中，可以總結(jié)歷年來在數(shù)學(xué)建模競賽中的經(jīng)驗(yàn)，并讓學(xué)生搜集一些大賽中比較優(yōu)秀的論文來學(xué)習(xí)，這樣可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，對概率統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)習(xí)更加深刻[6]。從學(xué)生反饋和教學(xué)實(shí)踐來看，這種方法對學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想的建立和概率統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)習(xí)都有很大的幫助。

四、經(jīng)典建模問題的概率統(tǒng)計(jì)解法

概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的前提。但是，概率論的研究對象是隨機(jī)變量，其研究隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是首先抽取一部分研究對象，然后對相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究。因此，概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)在很多方面是不同的，例如，思考問題的出發(fā)點(diǎn)，思考方式和所適用的領(lǐng)域等方面，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是根據(jù)對數(shù)據(jù)資料的研究和統(tǒng)計(jì)來解決問題，這也是與概率論的最大不同之處。而數(shù)學(xué)建模思想是一種涉及知識和領(lǐng)域非常廣泛、并將各方面知識相結(jié)合的思想，并且解決問題的過程中很多時候都要依靠概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論知識。

在數(shù)學(xué)建模中，在很多問題的解決中都應(yīng)用了數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、求解、檢驗(yàn)等數(shù)學(xué)思想方法，例如，對產(chǎn)品的銷售額進(jìn)行預(yù)測的問題、預(yù)估產(chǎn)品售價和銷量的問題、估計(jì)學(xué)生某學(xué)科平均成績的問題等。可以說，數(shù)學(xué)建模思想和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想是相輔相成，不可分割的。這樣的案例也有很多，例如，摸不同顏色球的概率、不同事件配對和貨車裝運(yùn)等隨機(jī)事件的問題，像某些收益變化和開水房水龍頭數(shù)量等隨機(jī)變量問題。在解決諸如此類的問題時，將數(shù)學(xué)建模思想和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想相結(jié)合，并將理論與實(shí)踐相結(jié)合，這樣既拓展了學(xué)生的思維，有增加了學(xué)生知識面，使學(xué)生可以獨(dú)立解決現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)建模問題。

五、概率統(tǒng)計(jì)在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用意義

在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想是需要一個過程的，不能急于求成，教師要在教學(xué)過程中不斷引導(dǎo)學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并將課本中的理論知識與實(shí)際問題相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生自主解決問題的能力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中真正體會到數(shù)學(xué)建模思想的重要性，并在教師的指導(dǎo)和幫助下用數(shù)學(xué)建模思想解決問題，真正做到學(xué)有所用。

六、結(jié)語

總而言之，通過對數(shù)學(xué)建模思想在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中作用的探討，確定數(shù)學(xué)建模思想在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重要性，不僅可以將概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論知識和現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題緊密聯(lián)系起來，還可以拓展學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力，使學(xué)生發(fā)展成為實(shí)踐型和應(yīng)用型人才。