基于數學實驗下類切線方程的探討

張碩

[摘? 要] 圓錐曲線的切線問題，在高考中是一大亮點，一些文獻中均有不同方面的探究. 文章主要探究一類形似切線方程，同時借助數學實驗探討該類直線與圓錐曲線的位置關系，根據定點選擇的不同，進一步論證了該類切線與圓錐曲線的交點個數，探討了該知識點的具體幾何意義.

[關鍵詞] 圓錐曲線;橢圓;雙曲線;拋物線;切線;位置關系

高考中常遇到一些形似于圓錐曲線切線方程的直線問題，這些直線看似切線形式，但由于定點的選擇不同，這些直線也將會有自己的實際意義.筆者發現2019年全國Ⅲ卷，2014年廣東卷，2013年安徽卷、山東卷、廣東卷等均對該知識點做了不同層面的考查和應用.

引理：設P（x■，y■）為圓錐曲線Ax2+By2+Cx+Dy+F=0上一點，則該圓錐曲線過點P的切線方程為：Ax■x+By■y+C■+D■+F=0.

簡析：引理的常用證明有，方法1：判別式法，直線代入圓錐曲線;方法2：高等數學方法，隱函數求導，此處詳細證明略，主要領會圓錐曲線的一般切線形式和方程思想即可.本文中把形如引理中切線方程的直線，稱之為“類切線”.

■提出問題

探究如下問題：已知橢圓方程■+y2=1，定點P■（x■，y■），直線方程為■+yy■=1.

（1）當■+y■=1，則直線■+yy■=1與橢圓■+y2=1的交點個數______.

（2）當■+y■>1，則直線■+yy■=1與橢圓■+y2=1的交點個數______.

（3）當0<■+y■<1，則直線■+yy■=1與橢圓■+y2=1的交點個數______.

■實驗探究

借助數學軟件幾何畫板對不同的數學實驗進行探究，即取不同的點P■（x■，y■）使其分別滿足上式的條件，通過實驗發現（1）式直線即為該橢圓的切線，與橢圓交點個數為一個;（2）式直線與該橢圓相交，交點個數為兩個;（3）式直線與該橢圓相離，交點個數為零個. 實驗如圖1、2、3所示.

通過上面一個具體的例子，我們可以進一步探究，根據定點P■（x■，y■）的三個不同位置，所確定的直線對于一般的橢圓曲線具有不同的幾何意義，它們的位置關系也不一樣.

■理論證明

由以上實驗的探究，可以進一步給出理論上的證明：

橢圓■+■=1（a>b>0） ，定點P■（x■，y■），直線■+■=1，

■+■=1，■+■=1？圯（a2y■+b2x■）x2-2a2b2x■x+a4b2-a4y■=0.

當y■=0時，直線方程可變為■-1=0;

當y■≠0時，Δ=4a4b4x■-4（a2y■+b2x■）·（a4b2-a4y■）=4a6b2y■■+■-1.

（1）當■+■=1，即點P■（x■，y■）在橢圓上時，所以Δ=4a6b2y■■+■-1=0，故直線■+■=1與橢圓■+■=1（a>b>0）相切，有唯一公共點，即為橢圓的切線方程.

（2）當■+■>1，即點P■（x■，y■）在橢圓外時，當y■≠0時，Δ=4a6b2y■■+■-1>0，當y■=0時，■-1=0顯然與橢圓有兩個交點，故直線（類切線）■+■=1與橢圓相交，有兩個公共點. 事實上過點P■作橢圓的兩切線，該類切線即為過兩切點的切點弦所在的直線（證明略）.

（3）當0<■+■<1，即P■（x■，y■）在橢圓內部且不與原點重合時，當y■≠0時，所以Δ=4a6b2y■■+■-1<0，當y■=0時，■-1=0顯然與橢圓無交點，故（類切線）直線■+■=1與橢圓■+■=1（a>b>0）無公共點.事實上過點P■任作一條直線交橢圓于P■，P■兩點，過P■，P■分別作橢圓的切線，該兩切線交點的軌跡即為該類切線（證明略）.

■探源與類比推廣

類比思維是數學核心素養邏輯推理中的分支，通過類比可以發現其中的精髓，因此由橢圓中類切線的實驗探究及理論證明，容易類比推廣到其他的圓錐曲線上，實驗和理論都再次證明（限于篇幅，這里略去實驗步驟和實驗結果圖）這樣的類比推廣是正確的.

（1）拋物線：x2=2py（p>0），定點P■（x■，y■），直線xx■=p（y+y■），

xx■=p（y+y■），x2=2py ？圯py2+2（py■-x■）y+py■=0，Δ=4x■（x■-2py■）.

①當x■=2py■，即P■（x■，y■）在拋物線上時，Δ=4x■（x■-2py■）=0，故直線xx■=p（y+y■）與拋物線x2=2py（p>0）相切，有唯一公共點，即為拋物線的切線方程.

②當x■>2py■，即P■（x■，y■）在拋物線外部時，Δ=4x■（x■-2py■）>0，故直線（類切線）xx■=p（y+y■）與拋物線相交，有兩個公共點，幾何意義同橢圓.

③當x■<2py■，即P■（x■，y■）在拋物線內部時，Δ=4x■（x■-2py■）<0，故直線xx■=p（y+y■）與拋物線x2=2py（p>0）無公共點，幾何意義同橢圓.

（2）雙曲線■-■=1（a>0，b>0），定點P■（x■，y■），直線■-■=1，

■-■=1，■-■=1？圯（a2y■-b2x■）x2+2a2b2x■x-a4b2-a4y■=0.

當a2y■-b2x■≠0時，Δ=4a4b4x■+4（a2y■-b2x■）（a4b2+a4y■）=-4a6b2y■■-■-1.

①當■-■=1，即P■（x■，y■）在雙曲線上時，Δ=-4a6b2y■■-■-1=0，直線■-■=1與雙曲線相切，有唯一公共點，即為雙曲線的切線方程.

②當■-■<1，即P■（x■，y■）在雙曲線兩支之間（不含漸近線上點）時，當y■≠0時，Δ=-4a6b2y■■-■-1>0，直線■-■=1與雙曲線相交，有兩個公共點，幾何意義同橢圓.

③當■-■>1，即P■（x■，y■）在雙曲線內部時，當y■≠0時，Δ=-4a6b2y■■-■-1<0，直線■-■=1與雙曲線無公共點，幾何意義同橢圓.

■真題回顧

由以上理論推導不難發現，2019年全國Ⅲ卷，2014年廣東卷，2013年山東卷、廣東卷、安徽卷等均對該知識點做了不同層面的考查，體現了高考試題“常考常新，推陳出新”的理念. 這些題均可以用類切線知識的通性通法來解答，由于篇幅關系，此處只做簡析.

1. （2019年全國Ⅲ卷）已知曲線C：y=■，D為直線y=-■上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.

（1）證明：直線AB過定點;（2）略.

簡析：由上面類切線理論推導知，AB即是所謂的類切線，設Dt，-■，所以直線AB的方程形式：

■=■，即tx-y+■=0，所以直線AB過定點0，■.

2. （2013年山東卷）過點（3，1）作圓（x-1）2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為_______.

簡析：由類切線知識，可以直接寫出直線AB方程為（x-1）（3-1）+1×y=1，即2x+y-3=0.

3. （2013年廣東卷）已知拋物線C的定點為原點，其焦點F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為■. 設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

（1）略;（2）當點P（x■，y■）為直線l上的定點時，求AB的方程;（3）略.

簡析：（2）拋物線C的方程x2=4y，由上面類切線理論推導知，AB即是所謂的類切線，所以可以直接得到直線AB的方程形式：x■x=4×■，

即x■x-2y-2y■=0.

在探究直線與圓錐曲線的位置關系中，類切線方程是極其重要的一部分，近幾年各省市高考均對其有不同的青睞. 本文從實驗探究開始，利用理論證明、類比推廣等方法，比較系統地探究了根據點的位置選擇不同類切線與圓錐曲線的位置關系以及幾何意義.