小題也有大價(jià)值

徐繼林 范習(xí)昱

[摘? 要] 探究無處不在，哪怕是一道非常普通的小題，也可挖掘其中非凡的教學(xué)價(jià)值.文章解構(gòu)一道橢圓基本性質(zhì)題，旨在從具體操作層面探討如何進(jìn)行變式教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 小題;變式;探究

在評(píng)講一次高二校際聯(lián)考試卷時(shí)，發(fā)現(xiàn)一道很簡單、很普通的填空題，考查橢圓的基本性質(zhì)，課堂上一分鐘我就講完了，學(xué)生也沒什么大的疑問，可是一位不怎么愛說話的男生卻告訴我還有更好的方法，就是下文要介紹的優(yōu)化解法，正是這一小小的插曲讓我的思想漣漪慢慢飄遠(yuǎn)，一道小題的探究之旅開始啟程.

母題再現(xiàn)：已知F■，F(xiàn)■分別為橢圓■+■=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF■是面積為■的正三角形，則b2=________.

■解法探究

法一：傳統(tǒng)解法

利用正三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，找出三個(gè)變量a，b，c的關(guān)系即可. 由■=■c2，解c=2，容易求得P■，■，即P（1，■）代入，有■+■=1. 又a2-b2=4，故b2=2■.

法二：優(yōu)化解法

連接PF■中利用△PF■F■特殊關(guān)系求出三邊，再利用橢圓定義求解a，b，c得到答案. 不難得到△PF■F■是直角三角形，且∠PF■F■=■，同法一求得c=2，所以PF■=2，PF■=2■. 由橢圓定義2a=PF■+PF■=2■+2，解a=■+1，故b2=2■.

評(píng)析：傳統(tǒng)解法的運(yùn)算略顯困難，主要原因在于兩個(gè)二次方程的求解較復(fù)雜，方法一可以適當(dāng)改進(jìn)，由橢圓第一定義，即2a=PF■+PF■=■+■=2■+2可以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的，但如果數(shù)據(jù)變化，就也很難體現(xiàn)其優(yōu)勢，并且推廣為△POF■是面積為S的正三角形時(shí)，很難計(jì)算，不具有通法的推廣意義.方法二能簡化運(yùn)算的原因在于充分利用了△PF■F■特殊三邊關(guān)系（幾何性質(zhì)），發(fā)現(xiàn)PF■，PF■是這個(gè)直角三角形的兩條直角邊，再利用橢圓定義得到a的值，進(jìn)而算出b2=2■.

■變式探究

1. 推廣為一般情況

變式1：已知F■，F(xiàn)■分別為橢圓■+■=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF■是面積為S的正三角形，則b2=___.

解析：利用優(yōu)化解法，PF■=c，PF■=■c，由橢圓定義2a=PF■+PF■=c+■c，解a=■c，故b2=■c2. 又S=■c2，故b2=2S.

2. 改變?nèi)切螚l件

變式2：已知F■，F(xiàn)■分別為橢圓■+■=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF■是面積為4的等腰直角三角形，且直角頂點(diǎn)是點(diǎn)P，則b2=________.

解析：利用等腰直角三角形的性質(zhì)和面積求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，找出三個(gè)變量a，b，c的關(guān)系即可. 由4=■c2，解得c=4，容易求得P■，■，即P（2，2），代入■+■=1. 又a2-b2=16，故b2=4■-4.

變式3：已知A■為橢圓■+■=1（a>b>0）的右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POA■是面積為1的等腰直角三角形，且直角頂點(diǎn)是點(diǎn)P，則b2=________.

解析：利用等腰直角三角形的性質(zhì)和面積求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，找出兩個(gè)變量a，b的關(guān)系即可. 由△POA■的面積1=■a·■a，解得a=4，容易求得P■，■，即P（2，2），代入■+■=1，故b2=■.

評(píng)析：將條件簡單變化，舉一反三，真正做到會(huì)一題就會(huì)一類，解決學(xué)生上課聽懂了，下課不會(huì)做的頑疾.同時(shí)，對(duì)學(xué)生思維的深層開發(fā)也可以起到很大的作用.

4. 改變提問方式（存在性問題）

變式4：已知A■為橢圓■+■=1（a>b>0）的右頂點(diǎn)，橢圓上是否存在點(diǎn)P，使△POA■是面積為■的正三角形？

解析：假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)P，使△POA■是面積為■的正三角形，則利用正三角形的面積■=■a2，解得a2=4，而P的坐標(biāo)■，■，即P（1，■）代入橢圓方程，■+■=1，解得b2=4. 這與橢圓中a2>b2矛盾，故假設(shè)不對(duì)，即橢圓上不存在點(diǎn)P，使△POA■是面積為■的正三角形.

變式5：已知B■為橢圓■+■=1（a>b>0）的下頂點(diǎn)，橢圓上是否存在點(diǎn)P，使△POB■是面積為■的正三角形？

解析：假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)P，使△POB■是面積為■的正三角形，則利用正三角形的面積■=■b2，解得b2=4，而P的坐標(biāo)■，-■，即P（■，-1）代入橢圓方程，■+■=1，解得a2=4. 這與橢圓中a2>b2矛盾，故假設(shè)不對(duì)，即橢圓上不存在點(diǎn)P，使△POB■是面積為■的正三角形.

5. 改變提問方式（推廣）

變式6：已知A■為橢圓■+■=1（a>b>0）的右頂點(diǎn)，橢圓上是否存在點(diǎn)P，使得△POA■是面積為S的正三角形？

解析：由△POA■是面積為S的正三角形，則S=■a2，而P的坐標(biāo)■，■，代入橢圓方程■+■=1，即■+■=1，解得a2=b2. 這與橢圓中a2>b2矛盾，故假設(shè)不對(duì)，即橢圓上不存在點(diǎn)P，使△POA■是面積為S的正三角形.

變式7：已知B■為橢圓■+■=1（a>b>0）的下頂點(diǎn)，橢圓上是否存在點(diǎn)P，使得△POB■是面積為S的正三角形？

解析：假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)P，使△POB■是面積為S的正三角形，則利用正三角形的面積S=■b2，而P的坐標(biāo)■，-■代入橢圓方程，■+■=1，解得a2=b2，這與橢圓中a2>b2矛盾，故假設(shè)不對(duì)，即橢圓上不存在點(diǎn)P，使△POB■是面積為S的正三角形.

評(píng)析：改變提問方式是變式教學(xué)的一個(gè)常見方法，由變式6和變式7不難發(fā)現(xiàn)，橢圓上其實(shí)是不存在點(diǎn)P，使得△POA■為正三角形的，哪來面積可言呢？這都是我在教學(xué)探究過程中發(fā)現(xiàn)的，一道小題，價(jià)值一點(diǎn)也不小??！

6. 改變背景為雙曲線、拋物線

變式8：已知F■，F(xiàn)■分別為雙曲線■-■=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，△POF■是面積為S的正三角形，則b2=___.

解析：仿照優(yōu)化解法，PF■=c，PF■=■c，由橢圓定義2a=PF■-PF■=■c-c，解a=■c，故b2=■c2. 又S=■c2，故b2=2S.

變式9：已知F■，F(xiàn)■分別為雙曲線■-■=1的左、右焦點(diǎn)，A■為右頂點(diǎn)，雙曲線上是否存在點(diǎn)P，使△PF■A■是正三角形？（不存在）

變式10：已知F為拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，O為拋物線頂點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PFO是正三角形？（不存在）

評(píng)析：圓錐曲線本源一致，很多性質(zhì)和結(jié)論都是類似的，將本題背景推廣為雙曲線，發(fā)現(xiàn)了相應(yīng)的結(jié)論.這也是知識(shí)的正向遷移，是培養(yǎng)學(xué)生類比能力的有效途徑，我想，在課堂條件允許下，開展這樣的探究教學(xué)，無疑對(duì)學(xué)生內(nèi)化知識(shí)、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、形成綜合能力作用巨大.

■結(jié)束語

這道很小很小的習(xí)題，那么平凡，那么簡單，如果我一帶而過，也就沒有上述還算精彩的探究之旅了，我為那份試卷評(píng)講之前備課不充分和些許膚淺深感內(nèi)疚. 幸運(yùn)的是，我雖然花了半節(jié)課的時(shí)間返工，彌補(bǔ)了之前的疏忽，卻完成了自己感覺不錯(cuò)的變式探究教學(xué). 從這道小題的探究過程，我們應(yīng)該受到很大的啟發(fā)：關(guān)注教學(xué)中的每一個(gè)細(xì)節(jié)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏其中的精彩，用心思考，小題也有大價(jià)值！