優化解題過程，提升計算能力

孫世林

[摘? 要] 歷年高考解析幾何解答題，綜合性強，能力要求高，考生普遍失分較多. 文章以一道解析幾何問題為例，談談如何回歸解析幾何知識本質，如何優化解題過程，如何從多角度探究問題，從而提升計算能力.

[關鍵詞] 解析幾何;解題思路;運算求解

解析幾何綜合題是考查學生能力的主要內容之一，在高考中占有重要地位， 試題呈現出綜合性強，難度大，靈活多變的特點，對能力要求高，普遍存在解題思路不清、方法選擇不當、計算不過關等現象，下面就談談如何優化解題過程，提升計算能力.

問題：如圖1，已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率為■，F為橢圓C的右焦點，A（-a，0），AF=3.

（Ⅰ）求橢圓C的方程;

（Ⅱ）設O為原點，P為橢圓上一點（點P不是橢圓的長軸端點），AP的中點為M.直線OM與直線x=4交于點D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E，

求證：∠ODF=∠OEF.

思路1：本題的第一問比較簡單，第二問是證明兩個角相等.要想證明這兩個角相等，我們先看這兩個角是怎樣形成的？P為橢圓上一點，AP的中點M與原點O連接并延長，與直線x=4相交，形成了點D，點E是過O且平行于AP的直線與直線x=4相交形成的，這樣才出現了線段DF和EF，從而有了∠ODF與∠OEF，可見這兩個角與點P有緊密的聯系，所以可以從直線AP的方程或點P的坐標入手.

解法1：（Ⅰ）橢圓C的方程是■+■=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0）.設直線AP的方程為：y=k（x+2）（k≠0），

將其代入橢圓方程，整理得（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，

顯然，其Δ>0，設AP的中點M（x■，y■），P（x■，y■）.

所以-2+x■=■.

所以x■=■=■，y■=k（x■+2）=■，即M■，■.

所以直線OM的斜率是■=-■，

所以直線OM的方程是y=-■x. 令x=4，得D4，-■.

設直線OE的方程是y=kx.令x=4，得E（4，4k）.

由F（1，0），得直線EF的斜率是■=■，所以EF⊥OM.

又直線DF的斜率是■=-■，

所以DF⊥OE，

所以∠ODF=∠OEF.

解法2：（Ⅰ）橢圓C的方程是■+■=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0）. 設P（x■，y■）（x■≠±2），其中3x■+4y■12=0.

因為AP的中點為M，所以M■，■.

所以直線OM的斜率是k■=■，

所以直線OM的方程是y=■x. 令x=4，得D4，■.

直線OE的方程是y=■x.令x=4，得E4，■.

由F（1，0），得直線EF的斜率是k■=■，

因為k■·k■=■·■=■=-1，

所以EF⊥OM.

同理可得k■·k■=■·■=■=-1，

所以DF⊥OE，

所以∠ODF=∠OEF.

評析：解析幾何綜合問題常在運動變化過程中探究某些不變的性質與規律，對于這類運動變化問題，解題時要從已知出發深入探究產生運動變化的根源，從產生運動變化的根源入手.解法一從直線AP的方程入手，解法二從點P的坐標入手，對比發現解法二運算量小，究其原因是因為本題運動變化的根源是點P，所以解題時要選擇好是從直線方程入手，還是從點的坐標入手，這樣就可以優化解題過程，減少計算量，自然快捷地解決此類問題.

思路2：本題的第二問是一道證明題，我們可以從結論出發反推成立的條件，若∠ODF和∠OEF相等，則它們的三角函數值就應該相等.我們選擇哪種三角函數？如圖不難發現∠ODF=∠ODH-∠FDH，而∠ODH和∠FDH分別位于Rt△ODH和Rt△FDH中，可見這些角的正切值很容易得到;同理∠OEF=∠OEH-∠FEH也容易求得正切值，這樣我們就可以借助證明兩個角的正切值相等來說明兩個角相等.

解法3：（Ⅰ）橢圓的方程為■+■=1.

（Ⅱ）由解法2可知，D4，■，E4，■. 設直線x=4與x軸交于H，

設∠ODH=α，∠FDH=β，則tanα=■，tanβ=■;

所以tan∠ODF=tan（α-β）=■，同理，tan∠OEF=■.

依題意，y■，y■異號，不妨設y■>0，

所以■-■=■+■= ■.

又y■（y■+12）+y■（y■+12）=（y■+y■）·（y■·y■+12） =（y■+y■）■·■+12=（y■+y■）■+12.

又點P（x■，y■）在橢圓上，所以3x■+4y■-12=0，

所以（y■+y■）■+12=（y■+y■）·■+12=（y■+y■）（-12+12）=0.

所以tan∠ODF=tan∠OEF，

依題意∠ODF和∠OEF均為銳角，所以∠ODF=∠OEF.

評析：解決解析幾何綜合問題時，有時直接求解，常常感覺不知從何入手，我們可以嘗試從結論入手，本解法中我們借助證明兩個角的正切值相等來說明兩個角相等，這就實現了由幾何條件向代數運算的轉化，體現了解析幾何的本質;幾何條件代數化的途徑很多，如本題我們也可以求出三角形的三邊借助余弦定理求角的余弦值，也可以借助向量的數量積求角的余弦值，選擇哪種途徑要依據題目的特點，要有利于接下來的代數運算.

思路3：在解決解析幾何的綜合題時，要善于將問題進行轉化，從多個角度，用不同的方法探究同一個問題，對于本題我們還可以繼續深入探究題目中圖形的幾何特征，從幾何角度尋求突破.本題是證明兩角相等，觀察圖形發現，兩個角分別位于有公共邊OF的兩個三角形中，由此可以聯想到三角形的外接圓，聯想有公共弦的兩個圓，如果這兩個圓的半徑相等，那么其公共弦所對圓周角相等，這樣我們便有了本題的第4種解法：

解法4：由解法一可知得D4，-■，E（4，4k）.

設過O，E，F三點的圓C■的方程為x2+y2+m■x+n■y+p■=0，將O，E，F代入圓的方程得：p■=0，m■=-1，n■=-4k-■，所以，圓C■的半徑為r■=■（m■+n■-4p■）=■1+-4k-■■.

設過O，D，F三點的圓C■的方程為x2+y2+m■x+n■y+p■=0，將O，D，F代入圓的方程得：p■=0，m■=-1，n■=4k+■，

所以，圓C■的半徑為r■=■（m■+n■-4p■）=■1+4k + ■■，可見，圓C■，C■有公共弦且半徑相等，

所以∠ODF=∠OEF.

點評：“解析幾何”研究的是幾何問題，恰當利用平面幾何的有關知識解決問題，也是不可或缺的方法，解析幾何問題中蘊含很多幾何條件，這些幾何條件間有什么關系？從這些幾何關系出發又能得到什么樣的新的幾何關系？某些幾何關系成立需要有怎樣的幾何條件？隨著這些疑問的探究和解決，解題思路也就自然生成了.