高中數學解題中化歸思想的有效運用

吳陽鋒

[摘? 要] 思想是數學學習的精髓所在，隨著學生核心素養的落地，我們在數學解題教學過程中，如何將思想與解題相融合，將真正落實素養與能力的并駕齊驅. 為此，筆者借此拙文，以解題中的化歸思想為例，談談如何達成解題與思想的融合.

[關鍵詞] 思想;解題;高中數學;素養

化歸思想是轉化與歸結的簡稱，指的是將一個問題化難為易、化繁為簡，化復雜為簡單的過程，既是一種關鍵的解題思想，又是一種常規的思維策略，更是一種特殊的數學解題方式. 在高中數學教學中，隨著知識難度與深度的提升，解題也是越來越困難，教師可指導學生在解題中有效運用化歸思想，使其把具體問題作精細化處理，增強個人邏輯思維能力.

■多元問題少元化

在高中數學課程教學中，解題是一大難點，究其原因主要在于初、高中數學知識之間跨度較大，部分學生的思維與認知難以跟上正常的教學進度，導致他們在解題中困難重重. 其中高中生在處理數學問題時，通常會遇到含有多個未知數的問題，即多元化，他們通常不知所措，這時教師可以引領學生采用化歸思想，將多元問題少元化，降低解題難度.

例1：如果a>0，x，y，z∈R，x+y+z=a，x2+y2+z2=a2，那么x，y，z的取值范圍分別是什么？

解析：題目中存在三個變量x，y，z，給出的條件是兩個方程，左邊是有關x，y，z的對稱式，把兩個式子結合在一起能夠消元. 例如，可以消去變量z，得到x2+y2+（a-x-y）2=a2，將一個三元方程轉化成二元方程.

解答：教師提示學生把這個函數關系式中的變量x當成常量來看待，就會得到一個關于y的方程式，即y2+（x-a）y+（x2-ax）=0，這個方程存在實根，所以Δ=（x-a）2-4（x2-ax）≥0，化簡后得到3x2-2ax-a2≤0;再把x看成變量，這個式子就成了一個關于x的不等式，解之得-■≤x≤a. 采用同樣的方法可以得到-■≤y≤a，-■≤z≤a.

上述案例，學生通過對化歸思想的有效運用，將“三元”順利變化成“二元”，達到多元問題少元化、煩瑣問題簡易化的目的，使其靈活轉變審題角度，最終解決掉難題.

■代數問題圖形化

代數問題圖形化其實就是數與形之間的轉化，數學研究對象可分為數與形兩大部分，兩者密切聯系、相互轉化. 在高中數學教學中，方程與函數之間有著緊密聯系，能夠相互轉化，函數和圖像又密切相連，教師可以指導學生運用化歸思想，將方程等代數轉化成函數圖像的方式進行研究，達到以數輔形、以形助數的目的，使其靈活運用數形結合思想解題.

例2：已知方程cos2x+4asinx+a-2=0在區間[0，π]上存在兩個不同的解，求實數a的取值范圍.

解析：把cos2x變成sinx的形式，原方程就成為一個關于sinx與a兩者之間的函數表達式.

解答：把原式變成2sin2x-4asinx-a+1=0，設sinx=t，當x∈[0，π]時，t∈[0，1]，原方程變成2t2-4at-a+1=0. 根據函數y=t與y=sinx的圖像得知，（0，1）內的一個t值對應于（0，π）內的兩個x值. 結合題意得關于t的方程f（t）=2t2-4at-a+1=0在（0，1）上有唯一解或t=0. 然后分類討論：若f（0）f（1）=（1-a）（3-5a）<0，則■

在上述案例中，有效運用化歸思想把一個方程問題變成函數問題，再利用函數圖像來分析和解題，顯得更為直觀與方便，體現出了數形結合思想，讓學生的思路變得更加清晰.

■一般問題特殊化

高中生在研究數學問題時，通常以特殊狀態為切入點，探索知識的一般規律，再結合一般規律研究特殊情況，由于特殊問題顯得更為直觀與簡單，有利于他們理解與接受. 解答高中數學題目比較注重靈活性，假如一直采用循規蹈矩的方法分析和運算，將會耗費更多精力與時間，教師可指導學生運用化歸思想，將一般問題變得特殊化，提高他們的解題效率.

例3：已知a■=n-4，n≤6;a■=2n-5，n≥7，求所有的正整數m讓等式a■+a■+a■=a■·a■·a■成立.

解答：教師提示學生列出數列{a■}的前幾項：-3，-2，-1，0，1，2，4，8，…. 他們通過觀察輕松發現從第5項開始，連續3項的和同積相比，和均會小很多，那么讓等式a■+a■+a■=a■·a■·a■成立的m值只能是整數1，2，3，4，經過計算得到m=1或m=3. 接下來需證明當m≥5時，a■+a■+a■

針對上述案例，通過有效運用化歸思想分析題目，即對一般問題的特殊化處理，使學生選擇一個恰當角度通過一般情況研究問題的特殊情況，讓他們獲得事半功倍的學習效果.

■抽象問題具體化

大部分高中數學問題都比較抽象，對學生的思維能力與認知水平要求較高，他們難以透徹理解題目意思，不利于接下來的正常解題，還容易出錯. 對此，高中數學教師在日常解題教學中可以引導學生有效運用化歸思想，將抽象問題處理得具體化和直觀化，降低理解難度，使學生快速掌握題目中的條件及相互關系，幫助他們優化解題思路，提高正確率.

例4：已知定義域在R上的函數f（x）對任意x，y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），當x>0時，f（x）>0，那么函數f（x）在區間[a，b]上有（? ）

A. 最小值f（a）

B. 最大值f（a）

C. 最大值f■

D. 最小值f（b）

解析：不少學生面對這一抽象的函數問題時往往無法解題，其實本道題目主要考查的知識點是函數的單調性. 由于題型是選擇題，無需詳細的求解過程，可以使用具體的函數來快速解題，巧妙規避使用定義法求證抽象函數單調性的煩瑣過程，即將抽象問題具體化.

解答：將滿足條件的函數模型設成正比例函數f（x）=kx（k>0），由此可見該函數在區間[a，b]上呈單調遞增性，所以存在最小值f（a），故正確答案是A.

如此，學生在解決這類抽象性極強的函數類問題時，假如是選擇題，可以結合函數的某些性質猜測出該函數的具體模型，再結合具體模型的性質處理題目，有效提高他們的解題速度.

■正向思維反向化

在高中數學教學中，不少題目都較為復雜，運用化歸思想的主要目的就是把復雜問題變得簡單化，從整體層面降低解題難度. 不過部分數學題目運用正向思維很難解決，這時可以考慮從反向思維出發，找到突破口. 高中數學教師應指導學生運用化歸思想，使其根據實際情況轉化思維方式，通過反向思維尋找解題思路，輔助他們順利解題，增強學習自信.

例5：已知a■，a■，a■，a■都是正數，而且它們是一組公差是d的等差數列，其中d≠0，問：是否存在a■和d，可以讓a■，a■，a■，a■構成等比數列？

解析：學生在分析這道題目時，發現信息較少，一時之間無從下手，假如他們循規蹈矩地從正向思維展開思考更是沒有辦法，很難順利找到解題的切入點. 此時，教師可以提醒學生采用化歸思想，轉化思維角度，從反向思維來分析：先假設存在一組a■和d能夠讓a■，a■，a■，a■構成等比數列，再反過來推理和求證，研究這組數是否具有等比數列的性質. 他們通過驗證能輕松發現假設與題設存在著矛盾點，即假設不成立. 如果假設不成立的話，那么結論將會被推翻，這就表明這種情況不存在，即沒有一組a■和d會讓a■，a■，a■，a■成為等比數列.

對于上述案例，教師提示學生運用化歸思想轉變思考角度，由常規的正向思維變化成反向思維，把復雜問題簡單化，促使他們在后續解題中遇到瓶頸時學會從反向視角切入.

在高中數學解題教學中，教師需深刻意識到化歸思想的重要性和價值，指導學生依據具體題目靈活自如地運用化歸思想分析和處理題目，使其掌握更多的解題竅門與技巧，對數學不再存在懼怕心理，逐步提高他們的解題能力與思維水平.