基于高效復習的高三復習課教學立意

陳志廣

[摘? 要] 基于高效復習的高三復習課需以知識鞏固與能力培養為立意，具體來說，就是要立足教材例習題，深化知識理解;重視“一題多解”，擴寬解題思路;聚焦變式題組，打通學生思維;關注題后反思，實現高效解題.

[關鍵詞] 高效復習;高三復習課;思維

隨著高考的日漸逼近，高三數學復習課會隨之到來. 這個階段的數學學習除去復習和鞏固之外，還需進行知識的延伸和拓展，以提升學生的解題能力和思維能力. 鑒于此，這時的復習容易陷入“刷題—批改—講評—再刷題”這樣不斷循環的怪圈之中，學生一絲不茍地在題海中苦苦掙扎的過程中，深深地感慨：“知識還是那些知識，方法還是那些方法，會的還是會，不會的依舊不會. ”顯然，能力的提升成了一紙空談. 而在這個模式下，不僅教師感覺很累，學生更是苦不堪言. 作為一名基層的數學教師，筆者一直思考著如何改變眼下這種“高能耗”的教與學模式，提升復習效率，讓所有的學生都能學有所得. 本文主要從以下四個方面簡要闡述，以期為建構優質高效的高三數學復習課找尋出路.

■立足教材例題、習題，深化知識理解

教師往往會通過對歷年高考試題的深度研究，去反思自身的教學方式和教學過程，進而有目的地適當調整和改進課堂教學的重心. 高考試題的設置在很大程度上起到了教學導向的作用. 然而深究近幾年的高考試題，易發現大部分試題都可以在教材中找尋到它的“影子”. 由此可見，教材是教與學活動的根本，而高考選拔人才正是依據這個“本”實施的. 因此，高三復習需立足教材例題、習題，讓依“標”固“本”成為高三復習課的主題.

例1：已知圓C：x2+y2=r2，試求出過圓C上一點M（x■，y■）的切線方程.

以上問題的初始背景是一道教材例題，因此本例的難度較小，學生容易入手. 筆者設計此題的主旨在于讓學生從熟悉的教材知識開始展開復習. 隨后又以這道典型的好題指引“小題大做”，進行如下變式訓練：

變式1：已知圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2，試求出過圓C上一點M（x■，y■）的切線方程.

變式2：已知圓C：x2+y2=r2，試求出過圓C外一點M（x■，y■）的切線方程.

變式3：已知點M（x■，y■）是圓C：x2+y2=r2內一點，且點M異于圓心，試判斷直線x■x+y■y=r2與圓C的位置關系.

變式4：已知點M（x■，y■）是圓C：x2+y2=r2外一點，試判斷直線x■x+y■y=r2與圓C的位置關系.

變式5：已知點M（x■，y■）是圓C：x2+y2=r2外一點，過點M作圓C的切線，試求出過兩個切點的直線方程.

以上案例中教師放低起點，從一道課本例題的探究開始，并關注到知識的延伸和拓展，做到不惜時力，牢牢把握“直線與圓位置關系”的本質屬性，全面而準確地夯實學生的基本知識技能，提升解題能力;同時發展學生更高層次的數學思維，使得學生的數學理解能力更上一個臺階，以達到“增效減負”的效果.

■重視“一題多解”，擴寬解題思路

“一題多解”具有遷移和求異的本質，有著極其豐富的內涵和異常廣闊的外延，為了達到鞏固知識和提高效率的目的，為了解決高強度、低效率的復習模式，為了應付緊張且緊迫的高三復習，有必要提倡以“一題多解”的形式組織教學，向學生展示不同的思考過程，擴寬思路，培養思維的開放性，促進創新意識的發展. 當然，這里的題型選擇需要緊緊圍繞大綱，題目要有新穎的立意，且要具有典型性和代表性，最好可以覆蓋多種數學思想和思路，這樣才能吸引學生，提升他們的解題熱情.

例2：已知tanα=2，試求■的值.

學生經過獨立思考和自主探究，易得出以下多種多樣的解法：

解法1（二倍角公式的變式）：原式=■=■=tanα=2.

解法2（逆用正切半角公式）：由■=tanα，■=tanα，可得原式=■=■=tanα=2.

解法3（萬能公式統一函數名稱）：設tanα=t，則由sin2α=■，cos2α=■，易解得原式=2.

解法4：由1+sin2α=（sinα+cosα）2，cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）·（cosα+sinα）獲解.

解法5（轉化）：將原式的分子與分母轉化為sinα，cosα的二次齊式后，分子與分母同時除以cos2α，于是可得原式=■=■=2.

上例中，教師與學生花了較長的時間對本題的求解做出了深入探討，讓學生經歷了思考、分析、討論、爭辯、辨析和總結的過程，得出了以上五種解法，并從思維的切入和運算的繁簡等方面對比解法的優劣性. 這樣的探究過程，其立意是學生探究能力和思維能力的培養，讓學生的思維更具發散性和延展性. 學生完成以上五種解法，應該說讓學生對這一類題目的全貌有了一個準確的認識;同時又通過解法的比較，多角度探究思考的方向，使學生探明了不同解法的切入點，從而實現解法的優化，有效提升了對這一類題目的求解能力.

■聚焦變式題組，打通學生的思維

由于高三復習中的“題海”缺乏新信息的刺激，學生的思維易疲勞，逐漸淪為“解題機器”;同時抑制了思維的發散，使得好奇心、想象力和創造力日漸削弱，這樣的復習效率可想而知. 變式題組就是借助對例題、習題的引申或變式，去改變原題的條件或結論等，形成系列小題或是構成一個題組的教學方式. 聚焦變式題組，可以為學生創立最佳的學習情境，有效調動學生的積極性，打通學生的思維，培養學生的分析能力、解題能力和數學素養.

例3：試作出不等式組-x+y-2≤0，x+y-4≤0，x-3y+3≤0所表示的平面區域.

本題是一道線性規劃問題，主要考查二元一次不等式組所表示的線性區域，學生一旦掌握“在平面直角坐標系中表示二元一次不等式所在線性區域”的方法，則可以很快獲解. 之后，筆者以本題為指引設計了以下變式題組：

變式1：若點P（x，y）的坐標滿足不等式組-x+y-2≤0，x+y-4≤0，x-3y+3≤0，試求出x2+y2的取值范圍. （距離問題）

變式2：若點P（x，y）的坐標滿足不等式組-x+y-2≤0，x+y-4≤0，x-3y+3≤0，試求出■的取值范圍. （斜率問題）

變式3：若點P（x，y）的坐標滿足不等式組-x+y-2≤0，x+y-4≤0，x-3y+3≤0，試求出z=3x+2y的取值范圍. （截距問題）

上例的復習中，教師關注到考試資源的有效整合，從學生的具體學情出發涉獵到具有典型性的題型，設計變式題組，打通學生的思維，有效拓寬學生的視野，讓學生真正理解該題的本質，使其在解題過程中懂得靈活變通，取勝高考.

■關注題后反思，實現高效解題

反思和總結是促進知識內化和能力提升的有效手段，可以這樣說，沒有經歷過題后反思的數學解題是低效的，甚至是無效的. 有效的題后反思可以使解題經驗升華和理論化，從而達到質的飛躍，實現學一題而懂一片，學一片而會一面的目標，最終實現高效解題，這才是高三復習中解題教學的最終歸宿，否則就好似“入寶山而空返”，錯失復習鞏固的有效時機.

例4：已知函數f（x）=2x2-8x+t，g（x）=2x3+3x2-12x，且t∈R.

（1）若對任意x∈[-2，2]，都有f（x）≤g（x）成立，試求出實數t的取值范圍;

（2）若存在x∈[-2，2]，使f（x）≤g（x）成立，試求出實數t的取值范圍;

（3）若對任意x■，x■∈[-2，2]，都有f（x■）≤g（x■）成立，試求出實數t的取值范圍;

（4）若對任意x■∈[-2，2]，存在x■∈[-2，2]使得f（x■）≤g（x■）成立，試求出實數t的取值范圍.

本題是考查恒成立與有解的問題，可以從問題出發構造函數，并利用函數思想解析本題（詳解略）. 解析完成后，筆者通過提問的形式引領學生進行如下反思：其一，第一問和第二問分別是什么問題？有何相同點和不同點？其二，第一問和第三問分別是什么問題？有何相同點和不同點？其三，第四問是什么問題？與前三問相比有何相同點和不同點？

教師作為課堂的“向導”，其主導作用的發揮在很大程度上體現在“反思與提升”的水平和質量上. 上例中通過題后反思揭示出問題之間的聯系，將這一類知識進行整合，將不易理解和掌握的知識規律化印入學生的腦海中，以達到隨時提取的效果，實現培養學生遷移能力的目的，最終提升學生的解題境界.

總之，筆者一線教學多年感受到學生做題的數量一年多于一年，教師的課堂容量也一年增于一年，但教師對教學的研究卻一年少于一年，創新的、有深度的教學越來越少，這樣的教學定然是營養不良的、加之殘缺的. 面對現狀，要使高三復習課真正增質提效，需要我們教師重新認識教學內容和學習本質，追回教學的智慧，擺脫傳統的題海復習模式，找尋到與新課改教學相符合的高效復習模式，有效回避知識羅列的枯燥乏味，活化學生的思維，使其高效復習，培養出基礎扎實、思維活絡的優秀學習者.