思路突破探考題，反思微設(shè)覓方法

趙平

[摘? 要] 圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，常作為壓軸題出現(xiàn). 優(yōu)秀的高考真題是眾多命題專家智慧的結(jié)晶，通過探究真題不僅可以獲得考題的命題思路、知識(shí)重點(diǎn)，還可以從中提取寶貴的方法和經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)思維. 因此對(duì)于優(yōu)秀的考題，需要透過表象，深入探究本質(zhì)，拓展解題思維. 2020年江蘇高考數(shù)學(xué)第18題的命題視角、解法思路具有極高的研究?jī)r(jià)值，文章將對(duì)其探究解讀，教學(xué)反思.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;幾何;向量;面積;模型

■真題呈現(xiàn)，思路突破

1. 真題呈現(xiàn)

考題（2020年江蘇高考數(shù)學(xué)卷第18題）：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：■+■=1的左、右焦點(diǎn)分別為F■，F(xiàn)■，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF■⊥F■F■，直線AF■與橢圓E相交于另一點(diǎn)B.

（1）求△AF■F■的周長(zhǎng);

（2）在x軸上任取一點(diǎn)P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，求■·■的最小值;

（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S■，S■，若S■=3S■，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

2. 思路突破

上述是以橢圓為基礎(chǔ)，融合三角形、向量積的圓錐曲線綜合題，主要考查橢圓的定義，圓錐曲線中幾何周長(zhǎng)、面積的處理方法，向量積的轉(zhuǎn)化思路，等等. 問題突破需要立足基礎(chǔ)知識(shí)——以基本的定理、定義為基礎(chǔ)，合理選用方法轉(zhuǎn)化求解.

（1）該問依托橢圓的焦點(diǎn)構(gòu)建了△AF■F■，由橢圓方程可知長(zhǎng)半軸a=2，短半軸b=■，半焦距c=1，由橢圓的定義可知AF■+AF■=2a=4，所以△AF■F■的周長(zhǎng)為2a+2c=6.

（2）該問設(shè)定x軸上一點(diǎn)P，聯(lián)系原點(diǎn)O和橢圓構(gòu)建了向量■和■，求向量積■·■的最小值可以采用“設(shè)點(diǎn)→坐標(biāo)轉(zhuǎn)化→最值分析”的思路. 首先設(shè)定點(diǎn)P（x■，0），求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，表示點(diǎn)Q的坐標(biāo);然后由向量積的坐標(biāo)公式建立關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)參數(shù)的二次函數(shù)式，利用函數(shù)的性質(zhì)完成求解.

設(shè)點(diǎn)P（x■，0），由題意可知x■≠1，由于點(diǎn)A在橢圓E上，且位于第一象限，結(jié)合AF■⊥F■F■可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，■. 又知橢圓E的準(zhǔn)線方程為x=4，所以點(diǎn)Q可設(shè)為（4，y■），則■·■=（x■，0）·（x■-4，-y■）=（x■-2）2-4≥-4，即■·■的最小值為-4.

（3）該問設(shè)定橢圓E上一點(diǎn)M，構(gòu)建了△OAB與△MAB，求解面積關(guān)系為S■=3S■時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)，屬于圓錐曲線中的幾何面積問題. 解析時(shí)需要設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，構(gòu)建相應(yīng)的面積模型，利用面積關(guān)系可轉(zhuǎn)化出與點(diǎn)M的坐標(biāo)相關(guān)的條件，進(jìn)而聯(lián)立橢圓方程可解得點(diǎn)M的坐標(biāo).

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x■，y■），點(diǎn)M到直線AB的距離設(shè)為d. △OAB與△MAB可視為是以AB為底，分別以點(diǎn)O和點(diǎn)M為頂點(diǎn)的三角形，則三角形的面積可表示為S■=■·AB·d■（d■表示點(diǎn)O到直線AB的距離），S■=■·AB·d. 已知點(diǎn)A1，■，F(xiàn)■（-1，0），則直線AF■的方程為y=■（x+1），由點(diǎn)到直線的距離公式可知d■=■. 已知S■=3S■，所以3×■×AB×■=■·AB·d，所以d=■，所以3x■-4y■+3=9①. 又知點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程■+■=1②，聯(lián)立方程①②可得3x■-4y■+3=9，■+■=1，解得x■=2，y■=0，或x■=-■，y■=-■.檢查均滿足條件，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）或-■，-■.

■解后反思，教學(xué)微設(shè)

上述是高考常見的圓錐曲線綜合題，涉及橢圓、三角形、向量等知識(shí)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和運(yùn)算技巧有著較高的要求. 引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)思路突破是考題教學(xué)第一步，而第二步的解后反思、教學(xué)微設(shè)計(jì)同樣十分重要，可深度挖掘考題，總結(jié)方法，形成同類型問題的解題策略.

1. 問題突破的關(guān)鍵

本考題的綜合性極強(qiáng)，所設(shè)三小問具有鮮明的特點(diǎn)，需透過問題表象，挖掘本質(zhì). 第一問求解△AF■F■的周長(zhǎng)，由于焦距已知，實(shí)際上就是求動(dòng)點(diǎn)A到兩焦點(diǎn)距離之和，顯然突破的關(guān)鍵是利用橢圓的定義. 第二問屬于向量積的最值問題，顯然需要將向量問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題，故突破的關(guān)鍵是利用向量積的坐標(biāo)運(yùn)算來靈活轉(zhuǎn)化. 第三問屬于動(dòng)點(diǎn)幾何面積問題，需要從面積關(guān)系中提取線段條件，進(jìn)而推理點(diǎn)的坐標(biāo)，故實(shí)際突破的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是基于面積公式建立同底三角形模型，二是利用點(diǎn)到直線的距離公式轉(zhuǎn)化出線段關(guān)系. 考題后兩問的計(jì)算量相對(duì)較大，解析時(shí)需要靈活運(yùn)用公式，降低計(jì)算量.

2. 解法借鑒之處

學(xué)習(xí)圓錐曲線考題的解法是關(guān)鍵，反思考題需要充分挖掘其中的解法價(jià)值. 如第一問求三角形的周長(zhǎng)，需要學(xué)習(xí)橢圓定義法;第二問求向量積的最值，則需要學(xué)習(xí)其中的設(shè)點(diǎn)法、向量積的坐標(biāo)處理方法，以及利用函數(shù)的性質(zhì)研究最值的策略;第三問求三角形面積的方法綜合性強(qiáng)，但核心解法為模型轉(zhuǎn)化法、利用點(diǎn)到直線的距離公式求解線段之長(zhǎng). 考題的后兩問可視為動(dòng)點(diǎn)問題，合理設(shè)定動(dòng)點(diǎn)、不確定點(diǎn)的坐標(biāo)極為重要，但在實(shí)際求解時(shí)需要靈活運(yùn)用韋達(dá)定理、“設(shè)而不求”的思想來簡(jiǎn)化運(yùn)算.

3. 考題的教學(xué)微設(shè)計(jì)

開展考題教學(xué)微設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生全面認(rèn)識(shí)考題結(jié)構(gòu)，由淺入深地呈現(xiàn)解法，貫通解題思路，教學(xué)中可分如下三步進(jìn)行設(shè)計(jì).

第一步，題干呈現(xiàn)，熱身練習(xí).

例1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：■+■=1的左、右焦點(diǎn)分別為F■，F(xiàn)■.

（1）試求橢圓的長(zhǎng)半軸a、短半軸b和半焦距c的值，以及焦點(diǎn)F■，F(xiàn)■的坐標(biāo);

（2）點(diǎn)A是橢圓位于第一象限的一點(diǎn)，利用橢圓的定義求AF■+AF■的值，并推導(dǎo)△AF■F■的周長(zhǎng).

教學(xué)引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓的特征方程和定義，求解橢圓方程的相關(guān)參數(shù)，進(jìn)行基礎(chǔ)強(qiáng)化，知識(shí)鞏固.

第二步，深入探究，求解向量最值.