基于數學核心素養的探究性教學的反思

王曉燕

[摘? 要] 研讀教材，精選探究主題，通過設計延伸探究、逆向探究、類比探究、實驗探究等方法，建構探究性教學，提升學生課堂復習效率，培養學生的數學思維，提升學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 數學核心素養;探究性教學

培養和提升學生的數學核心素養，是數學教育價值的一個重要體現，它標志著學生在數學學習方面是否獲得良好教育. 因此，作為一線數學教師，積極探索提升數學核心素養的方法，尋找提升核心素養的途徑，是我們每個數學教師肩負的責任和重擔.

蘇聯數學教育家Yuri Oganessian（尤里·奧加涅相）在《中學數學教學法》中指出：“必須重視，很多習題潛藏著進一步擴展其數學功能、發展功能和教育功能的可行性……”然而，在現實教學中，大多數教師擅長將教材知識進行整合，他們只是教材的搬運工，他們用教材，并沒有深刻挖掘教材的隱性知識，也沒花時間去仔細研究教材習題的地位和作用，更沒有研發例題、習題的相關資源，從而浪費了很多寶貴的教學素材，導致教學效率不高. 我們知道，課本例題、習題都是數學專家精心編撰的，符合中學生的心理特點和生理成長特點，也是學生學習接觸最多的最有代表性的素材. 教材開發專家博眾家之長，精心鉆研，仔細推敲，精心編寫，才形成今天的系統教材. 研讀教材，深度挖掘教材例題、習題的功能，設計探究教學，不僅能培養學生的數學思維，更能提升學生的數學核心素養.

在人教版選修2-1第二章“圓錐曲線和方程”的“習題2.4”中，教材安排了一道關于“拋物線中的直角問題”的習題. 考慮到所帶班級為重點中學的實驗班學生，有一定的學習基礎和學習能力;與此同時，又是復習課，難度可以適當放大. 因此，在實際教學中，筆者本人立足教材，仔細研究教材習題，設計了一堂圍繞“圓錐曲線中的垂直問題”的探究性教學，效果頗好，在此分享，供大家參考. 若有不當之處，請多多指教.

■原題的呈現及解答

問題呈現：設直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB.

問題解答：

方法1：聯立y=x-2，y2=2x，得x2-6x+4=0.

所以A（3-■，1-■），B（3+■，1+■）.

所以k■·k■=■×■= -1，所以OA⊥OB.

方法2：在方法1的基礎上，運用斜率來解決垂直條件.

由韋達定理得x■+x■=6，x■x■=4.

所以y■y■=（x■-2）·（x■-2）=x■x■-2（x■+x■）+4=-4.

所以k■·k■=■.■=-1，所以OA⊥OB.

方法3：在方法1的基礎上，運用向量知識來解決垂直條件.

設點A（x■，y■），B（x■，y■），則■=（x■，y■），■=（x■，y■）.

？搖？搖所以■·■=x■x■+y■y■=4-4=0，所以OA⊥OB.

■構建探究過程

1. 延伸探究

其實，如果我們仔細研究直線方程和拋物線方程，不難發現，拋物線的標準方程中，焦點到準線的距離為p=1，直線過定點（2，0），定點的橫坐標恰好為焦點到準線的距離的兩倍. 于是，我們可以大膽地猜想，引導學生把問題結論延伸到一般性的問題，從而得出以下結論.

變式1：若直線y=x-2p與拋物線y2=2px（p>0）相交于點A和點B，求證：OA⊥OB.

證明：將y=x-2p代入y2=2px中，得（x-2p）2=2px，即x2-6px+4p2=0.

方法1：解方程得A（（3-■）p，（1-■）p），B（（3+■）p，（1+■）p）. ？搖？搖？搖？搖 因為k■·k■=■×■=-1，所以OA⊥OB.

方法2：由韋達定理得x■+x■=6p，x■x■=4p2，

所以y■y■=（x■-2p）·（x■-2p）=x■x■-2p（x■+x■）+4p2=-4p2，

所以k■·k■=■.■=-1，所以OA⊥OB.

方法3：設點A（x■，y■），B（x■，y■），則■=（x■，y■），■=（x■，y■），

所以■·■=x■x■+y■y■=4p2-4p2=0，所以OA⊥OB.

2. 逆向探究

教學中，我們不能局限于自己的固有思維，完全可以嘗試打破慣性思維的束縛，通過設置逆向探究，幫助學生從另一個角度認識問題，引導學生對例題進行探究，把握問題的本質. 試想：如果以問題的結論為出發點，進行逆推，會有什么發現呢？于是，我們又可以得出以下結論：

變式2：直線AB與拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點，若OA⊥OB，求證：直線AB過定點（2p，0）.

證明：設直線AB：y=kx+b（b≠0），代入拋物線y2=2px，得（kx+b）2-2px=0，即k2x2+（2kb-2p）x+b2=0.

由韋達定理可得：x■+x■=■，x■x■=■.

所以y■y■=（kx■+b）·（kx■+b）=k2x■x■+bk（x■+x■）+b2=■.

因為OA⊥OB，所以■·■=x■x■+y■y■=■+■=■=0.

所以b+2pk=0，所以b=-2pk.

所以直線AB過定點（2p，0）.

3. 類比探究

我們知道，圓錐曲線中的橢圓、雙曲線、拋物線有著相似密切的關系，它們在定義、標準方程、簡單幾何性質等方面都有一定相似，于是在教學中，我們可以適當設置類比遷移、猜想與論證，引導學生進行探究. 譬如，對于上述問題，我在實際教學中，引導學生進行類比探究后，發現還有如下結論：

變式3：點P（-a，0）為橢圓■+■=1（a>b>0）的左頂點，過點P作互相垂直的弦PA和PB，求證：直線AB必過定點■，0（e為橢圓的離心率）.

證明：設直線AB：y=kx+m（m≠0），代入橢圓■+■=1，得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0.

由韋達定理可得x■+x■=-■，x■x■=■（？鄢）.

因為PA⊥PB，所以■·■=（x■+a）（x■+a）+y■y■=0，

即（1+k2）x■x■+（a+km）（x■+x■）+a2+m2=0.

將（？鄢）式代入并整理得m=■=■，所以直線AB過定點■，0.

變式4：點P（a，0）為雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的右頂點，過點P作互相垂直的弦PA和PB，求證：直線AB必過定點■，0（e為雙曲線的離心率）.

證明：設直線AB：y=kx+m（m≠0），A（x■，y■），B（x■，y■），代入雙曲線■-■=1，得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0.

由韋達定理可得x■+x■=■，x■x■=■（？鄢）.

因為PA⊥PB，所以■·■=（x■-a）（x■-a）+y■y■=0，

即（1+k2）x■x■+（km-a）（x■+x■）+a2+m2=0.

將（？鄢）式代入并整理得m=-■，所以直線AB過定點■，0.

4. 實驗探究

在變式3中，PA，PB過橢圓■+■=1的左頂點P（-a，0）時，直線AB過點■，0;引導學生分析，“定點”和“頂點”之間是否有聯系？如果“頂點”變成橢圓上任意一點P（x■，y■），則直線AB還過定點嗎？于是，筆者通過設計數學實驗，借助幾何畫板，讓學生動手體驗，從而得出以下結論.

變式5：過橢圓■+■=1（a>b>0）上任意一點P（x■，y■）作兩條互相垂直的弦PA和PB，則直線AB必過定點■x■，-■y■（證明類似定理1）.

同理，類比到雙曲線和拋物線中，我們還可以得出以下兩個結論：

變式6：過雙曲線■-■=1上任意一點P（x■，y■）作兩條互相垂直的弦PA和PB，則直線AB必過定點■x■，-■y■.

變式7：過拋物線y2=2px（p>0）上任意一點P（x■，y■），作直線PA，PB交拋物線于A，B兩點，若PA⊥PB，則直線AB必過定點（x■+2p，-y■）.

■探究性教學反思

1. 仔細研讀教材，精選探究主題

在實際教學中，尤其是復習課教學中，部分教師認為：教材內容過于基礎，過于簡單，部分內容根本達不到高考考試大綱的要求，于是選擇脫離教材，完全信奉那些所謂的名師權威參考書，在不知不覺中拔高了我們的教學要求，從而讓學生陷入了題海戰術. 如此一來，學生的學習任務加重了，長此以往，可謂身心疲憊，學習積極性嚴重受到打擊，使得學生談“數”色變. 其實，筆者個人認為，教材是教與學的最具權威的“輔導書”，是生成數學思維的陣地，是形成數學思想方法的利器. 殊不知，我們很多的高考題的設計和構思就是來源于教材，它們有的是教材習題的引申，有的是例題、習題的變式，有的是例題、習題的重組，有的是例題、習題的變式. 其實，如果學生能真正吃透課本，全面系統掌握教材上的知識和方法，從應試的角度來講，學生的基礎扎實，學習能力和學習水平也有，高考成績自然也不會差. 因此，教師在平時的教學中，要仔細研究課本中的例題、習題，精選并探究主題，學會“小題大做”，由易至難、由點到面，引導學生進行探究性學習;另外，教師完全可以放大課本的教學價值，實現教材效益最大化，這對培養學生的數學核心素養大有幫助.

2. 設計例題變式，開展探究學習

當代著名的蘇聯教育家蘇霍姆林斯基曾說過：“在人的心靈深處，都有一種需要，希望自己是一個發現者、研究者和探索者.” 心理學研究表明，學生主動學習的內驅力來自好奇心與求知欲. 與常規復習課（總結知識點，講解例題，鞏固練習）相比，探究性學習更容易點燃學生思維的火花. 在探究主題明確的情況下，教師合理設計教學，如設置推廣探究、逆向探究、類比探究、實驗探究等方法，開展探究性學習，學生通過對基本問題的解決，不僅可以形成這類問題的解題思路，還可以掌握此類問題的解決方法;更有甚者，還會根據題目條件和解題目標進行巧妙地轉化，并抽象形成典型的數學模型，做到有章可循，有法可依，行之有效. 筆者認為，學生通過對典型問題的探索，根據自己的親身體驗嘗試解決問題，從而形成解題能力. 不僅可以激發學生的探究欲望，提高學生的數學學習興趣，還可以開拓學生的數學思維，喚醒學生的創新意識，培養學生的創新能力，提升學生的數學學習素養.

3. 小組分工合作，豐富探究形式

我們知道，物理、化學、生物等自然學科，很多知識跟生活密切相關，有很多教學素材，可以通過做實驗，設計一系列探究性的學習. 但是對于數學學科而言，探究性教學實施起來要相對困難一些，不過教師利用自身專業知識和積累的教學素材，設計一些與學生日常學習緊密相關的解題類研究活動，還是比較容易的. 為了讓數學探究性活動更有意義，能最大限度地調動學生學習的積極性，我們可以在組織形式上進行大膽嘗試，如開展小組合作探究學習，實踐證明效果很好. 具體操作如下：（1）策劃學習小組. 筆者通常按照一定的方式，將學生分成幾個小組，各小組成員推薦一名組長，實施組長責任制，組長負責督促、分工以及老師溝通等一系列工作. （2）教師協助并參與各小組的學習. 由于每個小組成員不同，學習基礎不同，學習能力不同，感興趣的研究主題不同，所以教師要對各小組的能力進行評估，根據各小組的特點，結合自己的教學需要，提供一些探究主題，分享一些教學素材，指導各小組合理選擇. （3）小組確定研究主題. 各小組成員通過查閱課外輔導書，借助網絡，查閱與專題相關的資料，并做好材料分析工作，提煉解法，總結規律，形成講稿. 在此期間，教師適時參與，適當點撥，給予指導. （4）小組試講. 為了讓各小組展示得更充分，教師安排各小組試講是非常必要的. 不僅可以了解各小組探究時期所存在的問題，還有利于教師對各問題宏觀把控. （5）小組展示. 采取抽簽形式，確定各小組在班級中展示的順序，這種方式不僅豐富了探究的形式，還讓探究學習更具體，更有針對性. 因為學生經過自主研究、合作學習、公開展示等過程，體驗了探究過程，解題思路和方法領悟得更深刻.

4. 革新教育觀念，明確探究價值

目前，不少教師對開展探究性教學，還心存疑慮，認為開展一堂探究性學習會占用學生不少課外的學習時間，教師費心費力，效果也未知. 但筆者認為，學習本身就是一個過程，在過程中體驗成功，在過程中開發數學思維，在過程中激發學習興趣，效果更明顯，影響也更深遠. 萬事開頭難，“費心費力”也是值得的. 從長遠來看，探究性學習對培養學生的數學學習能力、對提高學生的思維品質、對提升學生的學習興趣等大有幫助. 總之，探究性學習不僅能提高學生的自學能力，調動學生學習的積極性，培養學生合作交流的能力，還能激活學生的數學思維、培養學生的創新意識，提升學生的數學核心素養.

最后，筆者認為，提升學生的數學核心素養關鍵在于學生思維能力的培養，而探究性教學改變了傳統的教師傳授知識的教學方式，為學生構建了開放的學習平臺，激發了學生的創新意識，有利于培養學生的數學思維，提升數學核心素養.