STEM項目研究中的數學作用

劉蘇娟

[摘? 要] STEM是推進學校變革、轉變學習方式、提升學生綜合素質的新生力量. 以人教A版高中數學選修2-1“圓錐曲線”為藍本，從74個學生的創意中遴選了15個項目，采取文獻檢索、問卷調查、數據分析、電腦模擬、模型制作等方式，開展了一次“自下而上”的STEM研究. 從中發現，數學之于STEM的作用表現為：以數學知識考證實驗猜想、以數學思維尋找創意空間、以數學方法匯通學科融合、以數學語言開展理性協商、以數學思想引領研究進程.建議：STEM研究中習得的方法能有機地回歸到學校學習之中.

[關鍵詞] STEM;數學作用;學習方式;綜合素質

“STEM”是科學（Science）、技術（Technology）、工程（Engineering）、數學（Mathematics）的簡稱，旨在以同一主題為引領，打破學科界限，促進跨學科知識的綜合運用. 2017年版普通高中課程改革方案強調“普通高中的培養目標是進一步提升學生的綜合素質，著力發展核心素養”. 可以預見，隨著科技的快速發展和課改的持續深化，STEM將成為推進學校變革、轉變學習方式的新生力量.

一個明顯的佐證是，“數學建模”在2017年版《普通高中數學課程標準》中占據了前所未有的分量. 當然，建模只是數學應用的美麗一瞥，華羅庚指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日月之繁，無處不用到數學.”2019年11月，筆者在完成人教A版高中數學選修2-1“圓錐曲線”之后，以本章教材“閱讀與思考”為藍本，帶領學生開展了一次“圓錐曲線的光學性質及其應用”的STEM研究. 從首次收集的74個學生的創意中遴選了15個項目，并成立了相應的研究小組. 邀請高校學者、教研專家擔任活動顧問，知名高校在讀的學長、已從業的學長擔任學科顧問，家長、企業主擔任社會調研顧問. 采取文獻檢索、問卷調查、數據分析、電腦模擬、模型制作等方式，歷時6個月，讓學生體驗了一次STEM研究過程. 回顧這一歷程，發現數學的作用在STEM中得到了更為生動的體現，遠超筆者的預期.

■以數學知識考證實驗猜想

數學知識在科學研究中發揮著重要的基礎性、工具性作用. 數學知識因其可靠性被大量運用于已有方案的計算、求解等. STEM研究中的問題與平時學生接觸到的問題有很大的不同：多數問題沒有現成答案，有時還充斥著大量的猜想與失誤. 為了讓學生體驗這種感覺，筆者將生活中常見的臺球桌進行了改良，制作了一個微型的橢圓形臺球桌，并在球桌內放置了兩個玻璃圓片A，B（如圖1），設計了一個游戲：師生各自擺放A，B圓片，彈動圓片A，經過橢圓壁反彈后擊中圓片B者獲勝.

學生躍躍欲試，參與者有很多但命中率很低. 教師擺好圓片后閉上眼睛彈動圓片A，結果百發百中. 勝負懸殊激發了學生的好奇心，于是有了以下對話：

師：老師是否練就了彈指神功？

生1：我觀察到老師放置兩個小圓片的位置總是固定的，會不會是放在焦點的位置？

師：如果是放在焦點的位置，為什么小圓片經過橢圓壁的反彈就一定會擊中另一個圓片？

生1：這好像與物理的入射、反射光線相似，反射鏡面也許經過小圓片與橢圓壁碰到那個點的切線，光線從一個焦點出發，經過橢圓壁反射，必定經過另一個焦點.

師：如何驗證你的猜想？

生1：可以用幾何畫板驗證. 如圖2，P是橢圓上任意一點，在P點作橢圓的切線m，過點P作直線m的垂線n，連接PF1為入射光線，觀察PF1關于直線m對稱的反射光線是否經過F2這個點. 如果經過，那說明我們的猜想應該是正確的. （教師根據學生描述的步驟用幾何畫板驗證猜想，如圖3）

師：用幾何畫板驗證后，PF1關于m對稱的直線好像過點F2，但這樣能斷定我們的猜想正確嗎？

生2：未必！這里可能有誤差，需要用代數方法進行計算才能準確證明我們的猜想. 先設點P的坐標，求切線m、垂線n、入射光線PF1以及PF1關于n對稱的直線l的方程，判斷點F2是否在直線l上.？搖

學生從現實情境中抽象出物理模型，再抽象出數學問題，通過數學問題的解決，得到現實情境的結論，這是數學建模的常見步驟.但在本案中，學生先以“形”初步驗證，再利用“切線方程”“點在線上”等解析幾何知識，用“數”做出進一步考證，使得數學知識完全地融入猜想的檢驗、結論的證明之中. 這表明，在STEM研究中，“M”之于“STE”并非簡單地提供數學公式、數學定理，還能為“STE”的探索提供可靠的保證，促進“STE”認知領域的擴充.“M”與“S”“T”“E”之間存在著動態的、多向的循環關系（如圖4）.

■以數學思維尋找創意空間

學生在STEM項目中早期設計的產品大都源于生活經驗，一些他們自以為“創新”設計的產品經由網絡搜索卻已有類似的， 受此挑戰，學生亟須尋找新的研究方向. 此時，一些頭腦“活絡”的學生往往能產生較多創意，筆者發現這種“活絡”主要體現在思維品質上，以“紐扣式藍牙無線助眠耳機”為例.

學生最初試圖將拋物線光學性質用于耳機聲音的傳播，為求最廣泛地獲得該項目的研究方向，全體成員在“思考——合作——分享”的活動中開展發散思維. 每位學生都寫出了從耳機聯想到的概念，最后匯集成一個多達五六十個概念的討論單. 通過系統思維對這些要素進行梳理、分類，剔除了其中過于細枝末節的部分，以及學生覺得他們的能力范圍內難以解決的問題，再對余下的概念進行歸類、集中，遴選出了“音質效果”“使用體驗”“時尚外觀”三個類別.

小組成員從自己對現有耳機的需求出發，又選擇了“時尚外觀”作為主要的研究方向;再次對外觀從“炫”“酷”進行選擇，最后確定以“酷”為主題，即讓耳機隨著音樂的節奏而發光. 但搜索網絡后發現已有類似的產品，并且用戶的使用評價比較滿意，學生的早期設計遭遇了瓶頸.

但學生并沒有放棄，采用問卷調查、文獻檢索等方式，集思廣益，了解到市場目前的主流需求傾向于格式塔式、骨傳導技術設計的耳機. 其中格式塔式耳機——一款通過對外觀的時尚設計突出個性，為特殊消費群體“量身定做”的藍牙耳機;骨傳導技術耳機——聲音通過顱骨傳到內耳，即使以較低的分貝也能實現聲音的清晰還原，以避免影響到周圍人群. 小組成員通過比較和討論，他們對骨傳導技術產生了極大的興趣. 緊接著小組成員集中討論骨傳導技術，提出了一個大膽的逆向思考：既然這種耳機可以做到低分貝輸入、高分貝輸出，根據聲音的可逆性，如果可以設計出高分貝輸入、低分貝輸出的耳機，那么可有效地避免周圍人群的打擾. 這一思路立刻引起了大家共鳴. 有學生舉例，有時學校的寢室內呼嚕聲對室友的睡眠干擾較大. 如果把該產品的設計定位于在校學生，那么市場前景將會廣闊. 由此確定項目為“紐扣式藍牙無線助眠耳機”，形成表征（如圖5）. 以上過程可歸納為圖6.

在學生探討的過程中，貌似沒有數學，但始終運用了數學思維. 其中，在思維方式上運用較多的是發散思維和集中思維，發散思維有助于尋找創新源泉，集中思維是為了確定研究方向. 同時在集中、發散的過程中，選擇性、批判性的思維品質也開始顯露出來. “思維以場的形式存在，通過復雜的中介和不同的方式進行信息加工，以獲得關于客觀事物的特性、聯系和關系的知識.”[1]發現新事物、揭示新規律、發明新技術，“數學從中起到了推動創新性工作的巨大力量”[2].

■以數學方法匯通學科融合

STEM項目研究中的各個環節是多個學科融合的過程，并非“往湯里多加幾味調料”. 只有將各學科知識連貫起來進行綜合，才能對問題形成系統認識.其中，數學方法是連接不同知識領域的通道，是學科交匯形成的重要陣地.

例如，“拋物線競技模型組裝套材”項目. 這是一組利用電磁能組裝的競技游戲模型，通過拋物面凸透鏡的設計，以提高模型中炮彈的命中率. 模型試驗初期，項目所需的部分零件通過網購得到，炮彈射擊誤差較大.

為了解決這個問題，學生從工程視角，用分析法將炮彈精準度問題進行了分解，發現它與數學中的焦點位置、曲面形狀、炮彈發射的傾斜度有關. 如何改變這個問題，他們請教了物理老師，得知與物理中的折射系數、透光性、初速度、加速度、動力等相關. 學生試圖通過具體的實驗操作來檢驗各個不同數據下的實驗結果，但在材料問題上就遇到了困難：有的價格昂貴，有的沒有成品而需要定制，還有的無法在短時間內購齊，甚至在參數變換的情況下需要投入大量的實驗時間. 為了突破這些囿限，學生轉而回到數學：能否通過數學建模的方法設計程序利用電腦仿真模擬實驗？例如，通過改變曲面方程，模擬比對橢圓面、拋物面、球面等曲面形狀的聚焦效果. 為了找到較為合適的軟件，他們又請教了蘇州大學光學博士的學長，發現可以在仿真軟件Comsol的Optics和Radio Frequency的模塊上運行. “數學建模+計算機軟件Comsol”為本組裝套材的精確度調校找到了一個成本少但運行高效的技術支撐，大大提振了小組成員的研發信心.

在軟件運行過程中，還需輸入一些參數，如相對介電常數、耗散程度，這又與化學材料相關. 他們又去請教了化學老師，理解了一些相關概念，再回到數學，豐富數學模型中的實驗參數進行模擬比對，得到了符合這個游戲套材的理想參數. 經過多次實驗、建模，學生獲得了各種模具的理想參數.

為了打印模具，他們又去請教了通用技術老師，發現只要有尺寸數據，可根據模具的化學材料選擇CNC加工或3D打印來獲得模型.為了準確地表達項目的設計，學生采取了數學中的坐標法、圖像法，用計算機中的犀牛軟件制作成了帶有參數的設計圖紙. 事實上，在項目研究過程中，學生還參考了若干的外文資料，自學了不少的英文單詞;在項目書的撰寫過程中，還請教了語文老師.

從這些過程中，我們發現，無論從產品最初的確定還是到材料制作，乃至一個項目書的形成，幾乎都是從數學到友鄰學科，又從友鄰學科回到數學的過程. 這個過程多次循環往復，期間還涉及了心理學、生物學、人體工程學，他們的關系如圖7所示. 正如馮紐曼所說：“數學方法滲透并支配著一切自然科學的理論分支，它愈來愈成為衡量科學成就的主要標志.”

在學生上交的74份設計圖中，雖然涉及了各友鄰學科，但我們幾乎可以看到數學方法不僅發揮了學科融合的作用，還延伸至了建筑、工業、軍事等多個領域，其中較為典型的設計如表1所示.

■以數學語言開展理性協商

STEM教育以小組合作模式進行，學生在解決項目課題的過程中，團隊內部經常需要進行頭腦風暴. 一個研究項目在確定主題之前往往需要在多個方案中擇優實施，學生在商討過程中難免各執己見. 這不僅拖慢了研究進度，而且影響到了團隊的關系. 理性協商成了凝聚團隊向心力、提高溝通效率的重要保障，此時數學語言提供了理性表達的工具.

例如，“神奇的鍋”，如圖8，學生甲先以立體幾何中的直觀圖描述了產品的整體外觀;再用三視圖說明了產品的拋物面結構;之后將正視圖、側視圖、俯視圖放入坐標系中，利用解析幾何的坐標法給出了相應尺寸，借鑒Excel中的圖表描繪方式，以不同顏色區分不同數據;又用軸截面的光線二維圖闡明了設計原理：該產品通過拋物線造型，使太陽光匯聚到焦點，以提供點火、充電等能量，或把手機置于焦點作為擴音器，也可將光源置于焦點形成平行光束，產生舞臺追光燈效果.這種借助圖形語言描述產品的表達方式瞬間得到了大家的理解和認可.

但是，學生乙從隨機數學的角度提出了其中存在的三個矛盾：（1）發熱原理高度依賴于陽光，而人們烈日出行的概率反而減少;（2）即使天氣晴好，露營地多置于風景秀麗之處，而茂密的植被卻又遮擋了陽光;（3）點火項目是最具創意的一項功能，但在攜帶、使用上遠不及防水火柴、打火棒等.

商討之后數日，學生丙提出了“保暖帳篷”項目，如圖9，該項目與甲的方案截然不同. 丙統計了野外生存的必需品，在定義域內羅列了手電筒、點火工具、背包、登山杖、帳篷等物品，進行綜合考量之后提出了這一創意. 他也像甲一樣用數學語言闡明：（1）原方案的設計原理與能源相關，但發散能源比收集能源更容易做到;（2）根據光線的可逆性，把“太陽光的平行光束匯集到焦點”改為在焦點處放置儲電發熱管，這樣折射出的平行光有助帳篷內溫度分布均勻;（3）發熱管采用儲電功能可以擺脫對天氣的依賴.

在此基礎上，學生丙又用列表比較的方式，羅列帳篷的缺陷，明確改良的目標，尋找可借鑒的設計、材料，采用映射的“一一對應”進行解決，如圖10.

從上面的例子發現，數學語言不僅讓一個人的觀點能更好地闡述，有力說服他人，還能夠在理性協商中發現新的思路與創意. 正如周海中曾言：“數學表達上準確簡潔、邏輯上抽象普適、形式上靈活多變，是宇宙交際的理想工具.”

■以數學思想引領研究進程

數形結合、分類討論、轉化思想是高中階段常見的三種數學思想，在學生解題之中占據著重要的地位，對STEM研究也發揮著重要作用. 筆者發現，一些數學暫差生在STEM研究中對數學思想的應用程度并不比學優生遜色. 而且在大部分的情況之下，這些思想不僅對數學解題水平產生巨大差異，并且還影響著研究的進程和效率.

在STEM項目研究中，數形結合思想運用的較為廣泛.例如，“汽車擋光板”項目.某位數學暫差生負責問卷調查，他多次運用數形結合思想，以餅圖作為工具來表示產品的滿意度，以折線圖預測設計關注點的認可度、評估產品未來的市場價值. 在設計環節，溝通和呈現都提倡“用圖說話”，用圖表達最終設計過程中，需要利用數據集對模型進行驗證，才能計算出模型的擋光效果，反復擬合提高擋光強度.

分類討論思想不僅在資料查找、問卷設計中經常運用，有時還關乎研究進展，甚至項目存亡. 例如，“隧道降噪”，學生在調查現有產品時，最初只單一地查詢某寶，發現沒有類似產品之后，即著手研究. 然而在完成設計圖時，卻在中國知網發現了已有類似專利，只能中斷. 若在早期調查時就能把大眾化網站和專業性網站納入分類檢索對象，就可以避免這一現象發生. 分類討論不僅可以拓寬學生的思維和視野，還能讓他們發現差異，找到新的研究方向. 例如，該項目后來演化為了路邊消音板.

轉化思想可以使“STE”轉化為數學問題，還能在產品研究中出現瓶頸時轉變思路. 例如，可折疊的“籃球訓練機”項目. 該項目通過籃球架底部為拋物線曲面的設計，解決了訓練時費時費力撿球的麻煩，折疊成拉桿箱的設計方便移動籃球架到任何場所搭建訓練場. 前期利用軟件模擬，評估得知這款籃球架的穩定性遠遠不夠，難以承受籃球投籃帶來的壓力. 學生試圖改變籃球架的抓地力、折疊連接點的牢固性，但無功而返.于是學生把提高承受力轉化為減少壓力，采取了以下轉化：（1）使用人群從任何年齡段改為3～6歲兒童;（2）籃球從直徑為24.6 cm的專業籃球改成直徑為12 cm的兒童籃球——拍拍球;（3）可折疊設計的目的從方便搭建訓練場改為提供組裝樂趣以培養兒童的動手能力. 適用人群、設計突破口方向的轉變，是對前期研究價值的肯定，同時大大降低了設計難度.

■反思

首先，STEM項目的研究本身就是一個綜合提高學生核心素養的過程. 作為數學教育的研究，我們固然需要從不同角度看待數學中的語言、知識、方法、思維、思想等對研究所產生的相應影響;但作為STEM項目的研究，它本身是一個綜合的過程，也正因為如此，使得我們在STEM項目研究的過程中，能夠自覺地面對學生整體的核心素養，這對于當前教育改革具有重要的啟發意義.

其次，在STEM研究中，不能把項目到達產品制造終端作為研究是否成功的評價標準. 高中生尚處于在校學習階段，最重要的是讓學生體驗其過程. “學生一旦進行了創造性思考，便說明他們已經充分參與到了學習當中. 學生參與度的提升往往會形成更深層次的學習.”[3]

再次，就數學教學而言，STEM研究最終需回歸到數學學習之中. 改變學生的學習方式、數學觀念，以更好地促進他們的可持續發展.因此，在STEM過程中所得到的研究問題的方法，我們要把STEM研究中習得的方法引渡回到數學學習之中，為數學探究提供豐富的體驗.

參考文獻：

[1]? 任樟輝. 數學思維理論：學科現代教育理論書系·數學[M]. 廣西：廣西教育出版社，1998.

[2]? 莫里斯·克萊因.古今數學思想（第二冊）[M]. 上海：上海科學技術出版社，2002.

[3]? 約翰·斯賓塞，A.J.朱利安尼.如何用設計思維創意教學：風靡全球的創造力培養方法[M]. 北京：中國青年出版社，2018.