關于圓錐面競賽題的多解探究

王成強

(成都師范學院 數學學院，成都 611130)

大學階段數學中的“解析幾何”知識模塊主要涉及借助于線性代數理論研究幾何理論的學科[1,2]，它能提升學生的科學計算能力、邏輯推理能力、抽象思維能力、空間想象能力等[3]。二次曲面理論是大學階段“解析幾何”知識模塊的教學重難點[1,2]。對第七屆中國大學生數學競賽非數學專業類預賽[4](2015年)第二題進行“一題多解”研究，該題內容完整表述如下：設在空間直角坐標系O-xyz中，圓錐面S經過三條坐標軸的正半軸，試確定圓錐面S的方程。

一題多解，即從多種視角出發分析并給出同一道題多種解法，在數學的學習與講授中起著重要作用[5]。借助于一題多解的教學，能幫助學生從不同視角理解問題，培養學生的創新思維能力，形成更系統的知識體系[5]。開展“一題多解”研究與教學，對問題所承載的知識模塊的學習與教學都有啟發性意義[6-8]。

1 解法探析

解法1 確定準線圓方程+消除參數。

解法2 確定準線圓方程+消除非齊次項。

解法3 找出軸線+借助于圓錐面“點到軸線的距離與點到頂點的距離成定比”的性質。

因P(1,0,0)，Q(0,1,0)，R(0,0,1)都在圓錐面S上，且|OP|=|OQ|=|OR|，故圓錐面S的軸線包含于直線段PQ與PR的中垂面。因此，圓錐面S的軸線的方程為

或等價地，為x=y=z。由“點到軸線的距離與點到頂點的距離成定比”的性質可知，圓錐面S的方程為

解法4 借助于注2確定圓錐面的方程。

因圓錐面S的頂點是O，軸線的方程是x=y=z，故按照注2，圓錐面S的方程為

解法5 設出一般方程+列方程解出參數。

受到解法3與4，注2的啟發，可假設圓錐面S的方程為

λ(x2+y2+z2)+2xy+2yz+2xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0

因圓錐面S經過x軸(參數方程為(t,0,0))，故

λ(t2+02+02)+2t·0+20·0+2t·0+2a14·t+2a24·0+2a34·0+a44=0，

由t的任意性，有λ=0，a14=0，a24=0，a34=0，a44=0。于是，圓錐面S的方程為xy+yz+xz=0。

2 結語

第一種解法的思路來源于錐面“過定點且與定曲線相交的直線的全體”的定義。第二種解法的思路來源于“圓錐面的頂點的坐標也滿足準線上的所有點都滿足的齊二次代數方程”。第三種解法的思路來源于圓錐面“點到軸線的距離與點到頂點的距離成定比”的性質。第四種解法的思路本質上與第三種解法的思路一致，但用到的公式結構更便于理解記憶。第五種解法的思路是“先設出圓錐面帶參數的方程+再利用題設條件列方程解出參數”。此五種解法能幫助從不同側面更深入地認識圓錐面。