垂徑定理的應用研究

胡朝炳

[摘 要]探討垂徑定理在盾構隧道、噪音影響、工廠大門、奧運圣火盆中的應用，以提高學生運用垂徑定理解決實際應用問題的能力.

[關鍵詞]初中數學;垂徑定理;實際應用

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2020）29-0031-02

學生已學習了軸對稱圖形的性質及等腰三角形、全等三角形等知識，在《圓》一章里又了解了弧、弦、等弧、等圓等概念，在此基礎上，學習了圓的第一個重要的定理——垂徑定理.垂徑定理是指如果一條直線經過圓心，且垂直于弦時，那么這條直線當然就平分弦.這一定理在圓的計算與證明里發揮了不可替代的作用，它的應用重在垂直與平分兩個方面.實際上，如果一條直線符合在以下五個條件中的兩個，就可以推得其他三個，這五個條件分別是：（1）圓心在直線上;（2）直線與弦互相垂直;（3）這條直線等分弦;（4）這條直線平分弦所對的一條優弧;（5）這條直線平分弦所對的一條劣弧.根據上述結論，在實際生活中，可以求路面的寬;在噪音影響中求受影響的時間;判斷卡車能否通過工廠的大門;等等.

一、垂徑定理在盾構隧道中的應用

盾構隧道的橫斷面是一個圓，這個圓有三層，最上面一層是排煙通道，中間一層是行車的通道，最下面的一層為服務區.如果分別已知這三層的高度，這樣這三層的和就是直徑，從而求得這個圓的半徑，根據垂徑定理和勾股定理可求得一條弦長，即路面的寬度.

[例1]如圖1，是一張盾構隧道斷面結構圖.隧道內部為以O為圓心，AB為直徑的圓.隧道內部共分為三層，上層為排煙道，中間為行車隧道，下層為服務層.點A到頂棚的距離為1.6 m，頂棚到路面的距離是6.4 m，點B到路面的距離為4.0 m.請求出路面CD的寬度.（精確到0.1 m）

解析：連接OC，求出OC和OE，根據勾股定理求出CE，根據垂徑定理求出CD.

評注：在解決圓的問題時，圓中有垂直于弦的直徑，一方面要考慮使用垂徑定理，先求一半弦長，再求整條弦長;另一方面構造直角三角形使用勾股定理，這個直角三角形的三邊分別是半徑、半弦和弦心距.

二、垂徑定理在噪音影響中的應用

火車在鐵路上行駛，它對周圍環境會產生噪音影響.因為火車在直線上行駛，當火車接近某一地方時，這個地方就開始受到影響，一段時間后，這個地方會結束受影響.通過勾股定理及垂徑定理可以算出火車行駛的路程.根據火車行駛的速度，可以求出火車行駛的時間，即這個地方受影響的時間.

[例2]如圖3，鐵路MN和公路PQ在點O處交匯，[∠QON=30°]，公路PQ上A處距離O點240米，如果火車行駛時，周圍200米以內會受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿MN方向以72千米/小時的速度行駛時，A處是否會受到噪音影響？若受到影響，求出影響的時間，若不受到影響，請說明理由.

解析：過點A作AC⊥ON，求出AC的長，當火車到B點時開始對A處有噪音影響，直到火車到D點噪音才消失.

評注：本題中A處是否受到噪音影響，要看距離點A最近一個點是否受到影響，當距離點A最近的一個點受到影響，那么A處就受到影響，然后再看受影響的路程，由受影響的路程與火車行駛的速度，即可算出受影響的時間.

三、垂徑定理在工廠大門中的應用

某些工廠的大門會設計成這樣的形狀，即上部分為半圓，下部分是一個矩形，雖然半圓的半徑處處相等，但是半圓上每一點到直徑的距離并不相等，而是從中間向兩邊逐漸減小，當一輛卡車要通過這樣的大門，它的寬度決定了它能通過的高度，在計算能通過的高度時需要應用垂徑定理及勾股定理去計算.

[例3]某工廠的大門如圖5所示，其中下部分是矩形，上部分是一個半圓，一輛裝滿貨物的卡車要通過此門.已知卡車高為2.5 m，車寬為1.6 m，你認為卡車能通過工廠的大門嗎？請說明理由.

解析：如圖6，因為上部是以AB為直徑的半圓，O為AB中點，同時也為半圓的圓心，OG為半徑，OF的長度為貨車寬的一半，根據勾股定理可求出GF的長度.EF的長度等于BC的長度.如果EG的長度大于2.5 m貨車可以通過，否則不能通過.

評注：本題將卡車作為一個矩形，放在圖形的最中間位置時，算出的高度才是寬為1.6米時能通過的最大高度，因為在半圓中越到中間，半圓上一點到直徑的距離越大.

四、垂徑定理在奧運圣火盆中的應用

2008年的北京奧運會實現了中國人多年以來的夢想，中國制作了圣火盆用來點燃奧運圣火，圣火盆放在一個支架上，圣火盆的高、盆體的深度、立柱的高及盆內的一條弦長都可以測量出來.如何根據這些數據得到圣火盆的直徑呢？也需要利用勾股定理算出半弦，再根據垂徑定理算出弦長.

[例4]2008年北京奧運會開幕式上奇特的點火式為世界所震驚.（圖7為奧運會中所用的圣火盆），其中圣火盆高120 cm，盆體深20 cm，立柱高110 cm，CD=60 cm.試求盆口圓的直徑AB.

解析：這道題雖然數據復雜，但是借助圖形，在Rt△OFD中運用勾股定理求出OF的值.再次運用勾股定理在Rt△OPB中求出PB的值，最后求得AB的值.

評注：本題的特殊之處在于，由弓形中的一條弦長求另一條弦長，求中間量必須求弓形所在圓的半徑，圓的半徑是一個關鍵的中間量.本題的數據較多，應兩個數據進行對照看能求出什么量，繼而再求出什么量，要逐步進行.

垂徑定理的應用還表現在求坐標平面內點的坐標，利用圓的對稱思想在圓中求線段和最小值等.解答時，一方面要利用半弦、半徑和弦心距打造特殊的三角形——直角三角形，在這三個量中，任意知道其中的兩個，利用勾股定理可以求出第三個.另一方面要充分利用數形結合思想、轉化思想、建模思想，將實際問題轉化為數學問題，將圓的問題轉化為三角形問題加以解決.

（責任編輯 黃桂堅）