二次函數與相似三角形結合問題的教學探索

周志麗

摘要：最近幾年中考題中，二次函數動點與相似三角形結合的問題常出現，引起了初中數學教師的重視，這部分主要涉及數形結合，函數與方程聯系緊密，二次函數與相似三角形都是教材的重點和難點，因此，筆者對這兩種重要內容的結合就格外重視，突破學生的難點不用盲目搞題海戰術，讓學生真正掌握解決這類問題的方法和技巧，是筆者近年來執教初四數學重點研究的課題。

關鍵詞：二次函數;相似三角形;教學

中圖分類號：G634.6

文獻標識碼：A

文章編號：2096-3866（2020）16-0162-02

對于“二次函數與相似三角形問題結合”的研究課，筆者通過對此課程的備課設計，并結合多次教學實踐、修改教案、課后反思和學生訪談工作，使筆者對此類問題的教學內容層次逐步深化。

一、重視基礎，拓展延伸

筆者從九年級數學課后習題中找到這樣一道題，如圖1，已知拋物線y=-（x-2）²+1的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C。①試判斷△AOC與△COB是否相似;②若點D是拋物線的頂點，DH垂直于x軸，垂足為H，試判斷Rt△DHA與Rt△COB是否相似？說明理由。

此題屬于相似三角形內容中較基本、較典型常見的題型，筆者對此題的興趣就始于二次函數的“背景”。于是，在九年級第二輪復習的“相似三角形”的專題課中，筆者把此題作為例題，并進行了變式嘗試。

變式一：如圖2： y=-（x-2）²+1，若點M在拋物線上且在x軸上方，過點M作MG垂直于x軸，垂足為點G，是否存在M，使得△AMG與△AOC相似。

變式二：如圖3：若點D是拋物線的頂點，點M在拋物線上且在x軸上方，過點M做x軸的垂線，垂足為點G，是否存在M，使得△AMG與△DCB相似。

授課時，筆者對此題進行變式主要是想突出二次函數這個背景：一是讓學生在“二次函數”這個背景下，通過接觸“兩個三角形不相似”這種不常見的題型，對兩個不相似的已知三角形進行有理由的判斷，加深并鞏固對相似三角形的判定定理的理解;二是在頂點式這個“二次函數”背景下，給學生提供優化選擇解這個一元二次方程方法的平臺，在求拋物線與x軸的交點坐標時出現方程-（x-2）²+1=0，在解這個一元二次方程時，可用直接開平方法，也可用因式分解法，當然也可把頂點式化為一般式，再去解所得的一般形式的一元二次方程。顯然，如果能用直接開平方法解，可以節約不少時間。

在以上設計思路中可以看出，筆者當時對這節課的認識層次停留在表層，引入背景，只是“為需要背景”而引入背景。雖然想到了要考慮學生的實際，但也只是從具體的知識、具體的方法層面上予以指導。對于九年級的大多數同學來說，此題的綜合性不強，缺少在“二次函數”背景下綜合應用知識方面的指導。

二、不斷演變，提煉本質

課程標準中有“會利用已有的知識經驗，自主進行探索和嘗試解決新情境中的數學問題”的要求，因此需要加強幾何與代數的綜合度，讓學生能體驗、接受基本的數學思想，如數形結合思想、分類討論思想等。

基于此，再次授課時，為了滿足不同層次學生的需求，能把“二次函數”背景下的相似三角形的綜合問題能更好的解決，同時，考慮到第二輪復習的需要，筆者又在原題的基礎上增加了以下2個小題：

（3）若點M在拋物線上且在x軸上方，過點M作MC垂直于x軸，垂足為點G，是否存在M，使得△AMG與△AOC相似。

（4）若點D是拋物線的頂點，點M在拋物線上且在x軸上方，過點M做x軸的垂線，垂足為點G，是否存在點M，使得△AMG與△DCB相似。

把第（3）題的過程簡單說明一下：

本題涉及相似三角形中數形結合、分類討論問題，很容易分析出已知△AOC的兩條直角邊的比是1：3，再對△AMG的兩條直角邊的比兩種可能情況MG：AG=1：3或MG：AG=3：1進行分類討論。第（4）小題，與第（1）小題一樣，也是屬于一個已知三角形與一個未知三角形的問題，只要學生能分析出△BCD是直角三角形，它的兩條直角邊的比是1：3，再類比第（1）小題，就可以很順利地解決第（4）小題。

應該說這種認識層次在原先的表層認識層次上有了較大的提升，既考慮到課程標準的表述，提高了對學生綜合能力的要求，又注意到對學生基本的數學思想的要求，同時，兼顧了數學中考的現實要求。

事實上，大部分同學都能想到分類討論，但學生在具體的解題過程中還是遇到了很大的困難——如何用點M的橫坐標和縱坐標來表示兩條直角邊MG和AG的長。在板書過程中，筆者對“設點M的坐標為（a，-（a-2）²+1）”一帶而過，課后學生反映較難理解。由此，可以看出當時筆者的認識層次只能屬于中等層次。

三、深度思考，思維提升

通過對講解后，筆者也進行了反復的思索：筆者已經注意到了學習課程標準，適當提高總復習的綜合度，滲透基本的數學思想，為什么不少學生對設點的坐標理解的程度還是不夠？基于此，筆者對此課程教學又一新的認識層次要重點，筆者意識到：將書本的語言自如地使用或轉換各種形態的數學語言了，才能真正將數學教育理論的符號語言融入到數學教學實踐中去了，才能使學生真正理解并自如運用這些數學模型。點的坐標是綜合題的立足點（求解析式），又是綜合題的制高點（求滿足條件的點的坐標或存在性探求），求點的坐標一般歷經下面兩個關鍵步驟：（1）定位;（2）計算。因此，探討如何用點M的橫坐標和縱坐標來表示兩條直角邊MG和AG的長是本題的難點，而解決這個難點的突破口就是先要理解點M的坐標為（a，-（a-2）²+1），于是，筆者在授課中運用了“平面上點的位置與點的坐標”“函數圖像上的點與點的坐標滿足函數的解析式”等語句。并將此語句運用到新的一次教學過程中，并在黑板上醒目板書：“點的位置——點P（x，y）”、“函數解析式”點在函數圖像上-點的坐標滿足函數的解析式”，有了前期做的這些鋪墊，學生對設點M的坐標為（a，-（a-2）²+1）就很容易理解了。以下在突破難點邊AG、邊MG等長度時，就迎刃而解了：MG的長即點M的縱坐標的絕對值，而點在x軸的上方，由此可得點M的縱坐標就是邊MG的長，而AG的長是點M的橫坐標與點A的橫坐標的差，在教學中，解決了以上的問題后筆者繼續追問：“如果其他條件不變，把‘點M在拋物線上且在x軸上方，直接改為‘點M在拋物線上，該題的解法有沒有改變呢？”

這樣的變式更凸現了本題的重點，提高了思維的“質”，但關鍵仍在如何用拋物線上的點M的橫坐標與縱坐標來表示邊AG、MG的長，當然這時數學語言表示的難度有所加大，數學的能力要求有所提高。

有了這道題目的二次函數“背景”，就有了類比的基礎與規范，其他函數圖像上的點與三角形結合的問題也一樣。一般說來，這類題目都由圖像上的點轉化到三角形中的邊長的問題，再由邊的數量關系轉化到三角形的相似問題。甚至可以說，函數圖像上的點與其他幾何圖像相結合的問題也一樣，由圖像上的點轉化到幾何圖形中的邊，再由邊的數量關系轉化幾何圖形的整體，為了滿足一部分數學愛好者或“吃不飽”的學生，更好的關注學生“發展”要求，筆者又進行變式，布置了課后練習，繼續深化課堂內容，題目如圖4，拋物線y=-x²+bx+c與x軸、y軸分別相交于點A（-1，0）、B（0，3）兩點，其頂點為D。（1）求該拋物線的解析式;（2）若該拋物線與x軸的另一個交點為E，求四邊形ABDE的面積;（3）△AOB與△BDE是否相似？如果相似，請予以證明;如果不相似，請說明理由。

綜上所述，通過二次函數背景下的相似三角形問題的探究學習，學生能體會數形結合和思想、分類討論思想、相似三角形注意尋找不變的量和相等的量，利用幾何定理和性質或代數方法建立方程，在教學過程中通過教師對數學研究的對象數和形之間內在規律的演繹，促使學生學習此類問題有一種“質”的認識，以達到學生學習質量提高的目標，是富有意識的教學實踐。