百以內加減法算理教學的“變與不變”

葉開益

摘? ? 要?? “變與不變”是小學數學教學研究的重要思想。百以內加減法算理教學中，國內不同版本的教材提供了兩種計數模型：小棒圖和計數器。通過對教材內容的梳理、對比，尤其是和國外教材對比，整合類似例題，選擇計數器、立方體等抽象化材料，輔助小棒理解，將橫式與豎式并行教學，取得了良好的效果。

關鍵詞? 百以內加減法 算理教學 教材對比

“變與不變”思想是小學數學教學的重要思想。如何促進學生更有效地體會數學的基本思維方式和基本思想，采取更加科學和高效的教學模式，努力使小學數學教學取得更大的突破是需要一線數學教師思考和探究的問題。而整合教學的價值在于讓學生對所學材料的結構有清晰的了解，掌握知識本質后重點展開對知識的智性學習。這樣的一種智性學習就是在“變與不變”中探究知識本質。它關注教師在教學中為學生提供素材、機會，強調教師的教學方式;關注學生學習數學的過程，強調積極參與和主動思考、交流討論和舉例辨析等[1]。在不改變現行數學教材的教學目標和教學內容的前提下，根據學生實際情況和發展需要，通過打破教材編排結構、調整教學內容的順序、變換教學方式等途徑，將數學知識點重新融合，試圖達到學科內知識點的整合，并讓數學學習由課內向縱深處或向課外延伸。當學習的內容具有相同的知識結構，能找到知識的關聯，我們就可以嘗試進行單元內的課時整合，而百以內數的認識單元就具備了這樣整合的條件。不進位加法和進位加法，不退位減法和退位減法，都是可以打通數學運算的連接進行整合的。

一、百以內加減法內容編排的“變與不變”

人教版小學數學教材在一年級上冊編排了20以內進位加法，在一年級下冊編排了20以內退位減法，緊接著編排了“100以內數的加減法（一）”單元，二年級上冊編排了“100以內數的加減法（二）”單元。100以內加減法（二）單元包括以下知識點：不進位加法及進位加法、不退位減法及退位減法、連加連減、加減混合、解決問題。人教版、北師大版、蘇教版分別在二年級上冊和一年級下冊安排了100以內加減法的學習，編排的內容大致相同，但也有區別。

北師大版一年級下冊教材集中安排了加減法的課時，第一單元“加與減（一）”9課時、第五單元“加與減（二）”8課時、第六單元“加與減（三）”11課時。集中在一年級下冊教學了20以內退位減法、100以內加減法（包括不進位、不退位與進位、退位）和連加、連減、加減混合的計算方法，并要求學生根據具體問題，估計運算的結果，初步學會應用加減法解決生活中的簡單問題。在蘇教版的課時安排中也把相同內容放在了一年級下冊來教學，并且把進位加法和退位減法單獨放到一個單元中，和加減法的豎式一起教學。而人教版和北師大版則安排不進位加法、進位加法、不退位減法、退位減法同時進行教學。之后北師大版二年級上冊數的運算只學習了乘法和除法，這樣加減和乘除分開進行歸類學習，學習內容集中，與人教版整合教學的理念是吻合的。在實際教學反饋中把100以內加減法的進位加法和退位減法放在一年級下冊系統全面學習加減法是合理的，學生是可以達到這樣的程度的?；谶@樣的思考，我們對人教版100以內加減法（二）單元進行整合（如表1）。

從表面上看，變化的是對例題進行了合并，對課時進行了壓縮，不變的是對算理的把握，在算理融會貫通的基礎上教師對教學目標的重新定位、對教學內容的價值重構。教師站位于“某一領域”或“某一主題”的視角審視課堂，抓住內容的主線展開教學。一、二年級“數的運算”這一領域教學，運算的算理和算法歸根結底是兩個因素，即“計數法”與“運算意義”。因此，在100以內加減法教學中，就需要從運算意義展開教學，雖然是不同的運算，但算理是相同的，整合后將加法的不進位和進位整合成1課時，減法的不退位和退位整合成1課時，連加連減、加減混合整合成1課時。這樣的整合注重知識內容的整體呈現，強調內容之間的相互關聯，從而促進認知結構的完善。學生會更關注計算的本質，打通不同課時之間的連接，從原來的數學技能的累加轉化為數學計算方法的理解。

二、百以內加減法教學材料選擇的“變與不變”

1.計數器和小棒的特點和優勢

為了使學生理解算理和掌握算法，在不同版本的教材中都提供了兩種計數模型，也就是小棒圖和計數器，這兩種計數模型分別具有怎樣的特點和優勢呢？小棒圖是介于實物模型與幾何模型之間的一種半抽象模型。學生在一年級數的認識教學中，就經歷了實物計數到小棒計數的過程。小棒圖的最大特點是“十根一捆”便于學生操作，還能很形象地教學“滿十進一”的十進制位置計數法原理。“十根”表示10個一，“一捆”表示1個十，學生借助小棒圖能十分形象地建立對數的表征。計數器是抽象化的計數工具，它采用了十進制位置計數法來對數進行表征。和小棒圖相比它抽象程度更高，計數更簡單。

2.不同版本教材對材料的選擇

上述整合基于算理的溝通，接下來我們具體來看百以內加減法不同版本教材中分別是以什么材料來呈現的（如表2）。

人教版：二年級上冊從百以內加減法的列豎式引入，用小棒圖進行圖式的溝通，豎式里的每一部分，都借助小棒圖進行了聯系。每一步的含義、計算的過程都是在理解中進行的。所以可以很明顯地看出人教版教材注重了算理的教學，而不僅僅是數學運算技能的傳授。

蘇教版：教材更注重對算理的理解。與人教版不同的是，蘇教版教材細化了算理。從兩位數加減一位數算理開始，都是用小棒圖進行理解的。到了兩位數加減兩位數時不僅僅用到了小棒圖，而且還用到了計數器。

北師大版：相比蘇教版和人教版，北師大版從一開始就引入了位值中的方塊圖和計數器來理解算理，弱化了以小棒圖為主要呈現材料的作用。這樣，思維更易從具體形象過渡到了抽象，更注重了在位值中滿十進一，和不夠減退1的理解。

美國加州教材：相比較國內的教材，美國加州的教材既沒有出現計數器，也沒有采用小棒圖，而是借助了數位中的方塊圖來進行算理的教學。美國加州教材把百以內數的加減法分開教學，并且教學中將橫式與豎式同時呈現，豎式在美國加州教材中已經不僅僅是計算的輔助工具了。教材還將估算引入教學，估算的鋪墊為學生后面對計算結果的檢驗埋下了伏筆。然后教材結合數位和方塊圖進行算理的教學，同時教材把正方體上下擺放，把豎式的計算形式以形象的方式表征出來，使得算理有了具體形態的支撐，其實相當于應用了計數器和小棒結合的原理進行算理的分析。并且當計算完成后，又用估算對計算結果進行了檢驗。

3.整合后教學目標的定位

綜合上述原因，如果打通了百以內數加減法的算理，學生的理解程度是可以達到的。不需要進行計算技能的累加，只要抓住了計算的本質學生是可以掌握的。所以這就要求我們在整合百以內加減法單元時，創造性地使用教材，把加法歸到同一課時，減法歸到同一課時，連加連減與加減混合并成一個課時，這樣，減輕了學生知識累加的負擔，在充分理解算理的基礎上進行系統性的學習，做到了關聯性的智性連接。百以內數的加減單元整合后，教學目標舉例如表3。

數的運算是小學數學最為基礎的技能，貫穿于小學數學教學的全過程。數的運算領域的整合課突出的是對計算方法和算力的理解，把握了算理的本質，學生學起來就會融會貫通。

三、結合“變與不變”整合加減法教學的建議

1.厘清加減法算理，溝通計算本質

百以內數的加減法都是相同數位相加減，滿十進一，不夠減向前一位借一當十。如教學中同時呈現了不進位和進位加（如圖1）。學生原來對不進位加不退位減都有很好的學前基礎，所以對學生來說他們的學習難點在于進位加法和退位減法的算理，為什么個位滿十要向十位進一，個位不夠減要向十位借一當十，整合后的課程學生更容易突破學習難點，提高了課堂的教學效率。

2.選擇結構化材料，驅動任務整合

教師在教學設計時，提供結構化材料，以大任務為驅動，以問題或任務為載體，開展學生自主探究為主的學習活動。多角度來延伸學生對數的體驗，教師在教學中進行適當引導和追問，在任務驅動下學生對算理進行理解。如“百以內數的加法”從計數器引入，避開了小棒圖直接從更高級的算理入手（如圖2、圖3）。接著根據計數器來寫算式，使學生對算理的理解前置，主動運用了相同數位相加，滿十進一的計算法則。

3.結合抽象和具體，理解計算過程

什么樣的教學手段才是最貼近計算本質的，最能讓學生舉一反三地學習，把兩位數的加減法算理推廣到更高的數位。我們可以發現國外的教材比我們的思路更大膽，更具有綜合性。我們不妨結合美國教材中的數位和方塊圖對算理再次理解，同時結合估算對計算結果進行檢驗，把橫式和豎式同時進行教學，讓學生在數位中理解滿十進一，在方塊圖中尋求形象的算理支撐。把這樣的算理推廣到百位，甚至更高的數位，而不是僅僅局限于兩位數加減法本身。

縱觀小學數學第一學段數的運算領域，怎樣找到“整合”的切入點，整合什么，用怎樣的結構化材料“整合”，這些都是需要我們在“變與不變”中思考的問題。百以內數的加減法是小學階段學生計算學習的種子課[2]，對這樣的計算起始課進行整合不僅僅是對課時的壓縮，更是對數學運算本質的深入體驗?；诮Y構化視角下的小學數學整合課程需要教師對所學材料的結構有清晰的了解，引導學生掌握知識本質，打通知識之間的連接，引領學生對知識的智性學習，從“聯”的角度來銜接缺少溝通的知識體系。

參考文獻

[1] 陳燕虹.數學學習心理學與數學學習[J].小學數學教師，2019（02）.

[2] 俞正強.種子課[M].北京：教育科學出版社，2013.

[責任編輯：陳國慶]