“認識周長”教學路徑的重組*

胡存宏

摘? ? 要?? ?“認識周長”不僅僅是為了讓學生知道如何計算周長，更強調的是“認識”。這樣的路徑重組突出對概念內涵的深度挖掘，指向周長 “封閉” 的本質，在“周”上面做足文章;同時在重組的過程中還對學生最容易產生混淆的地方再度設計，關注圖形“大小”與“周長”的辨析，在操作中加深理解，體現知識深度內化的過程。

關鍵詞“認識周長“ 教學 路徑

“認識周長”是小學階段“圖形與幾何”知識板塊一個重要的知識節點，也是學生在學習中非常容易產生混淆的地方。作為周長的起始課，有兩點不得不引起我們深入的思考：第一，任何數學知識的學習都是循序漸進的，講究知識的來龍去脈，周長的上位概念來自于長度的認識，這個已有的長度會對周長的認識產生什么樣的影響？第二，對學生來講，生活中涉及到面積的知識，也就是說關于圖形的“大小”的印象要遠遠大于“周長”的認知，教材所呈現的問題情境也多與生活相關，這樣勢必會給學生帶來更多的不明確，如何從復雜的素材中將圖形的周長與大小清晰地分離出來，至關重要。

一、教材以及學生認知水平解讀

1.關于周長的概念

教材呈現三張形狀各異的書簽，每張都有很清晰的邊線（如圖1）。

周長，顧名思義，是指一周的長度，也就是物體表面或者平面圖形一周邊線的長度。教材中采用“一邊操作、一邊接受”的學習方式，要求學生“指一指每張書簽一周的邊線”，并告訴他們“書簽一周邊線的長就是它的周長”，這樣的表述強調了作為物體表面一周邊線的長度。

2.關于周長的計算

在認識物體表面的周長以后，教材同時給出一個三角形和一個四邊形，然后詢問“每個圖形的周長各是多少？”

實際上，從教材編者的角度去思考，這道例題應該具有雙重含義：首先，什么是平面圖形的周長？其次，簡單平面圖形的周長如何計算？要解釋什么是圖形的周長，還是需要讓學生指著每個圖形的一周邊線，突出一周邊線的長是圖形的周長，這仍然是重點，然后再算出每個圖形的周長是多少，開展量邊長、算周長的活動，得出各個圖形的周長，深入體會平面圖形周長的本質是邊線長度的和。

接下來，教材通過試一試（如圖2），小組之間合作，嘗試測量一片樹葉的周長，以此強調一些特殊圖形周長的計算方法，也就是化曲為直。

3.學生的認知水平

為了幫助學生更好地理解知識點，真正探索有利于學習的有效路徑，根據知識的結構，這里嘗試將知識劃分為三個不同的層次：事實性知識、概念性知識以及程序性知識[1]。事實性知識實際上就是基于教材，對教材顯性知識的理解，這樣的知識是以點狀結構存在于學生頭腦中;概念性知識則是指向點狀知識結構化的處理，形成初步的知識表達;程序性知識這里可以理解為基于概念性知識與事實性知識的綜合運用過程，也是所學知識完全內化的一種體現。

二、常規路徑及其實施效果

對學生來講，“周長”其實不僅是“長”更要有“周”，同時，更應該走出面積的“大小”所帶來的影響，使他們由混沌走向清晰。

1.常規路徑

常規教學依托教材來組織實施。從指出教材中三個書簽邊線的長到測量三角形、平行四邊形邊線并計算周長，直至最后利用化曲為直的方法測出樹葉的周長，教學過程很順利，學生學得似乎也很扎實。

2.實施效果

但是，課后一份檢測題中兩道習題統計的數據引起了我們的思考。

求簡單平面圖形的周長是本節課的核心知識點，然而根據這一統計數據，我們能說學生已經理解了“周長”了嗎？他們的周長知識體系已經建立起來了嗎？顯然，學生對該知識點的掌握出了問題，所學習的知識沒有得到真正的內化。

3.存在問題

（1）知識呈現的結構沒有形成

教師對教材編排意圖沒有領會，只是一味地教教材，三個板塊的功能分割太明顯，未做結構化統整，學生更不會去主動勾連知識之間的聯系，導致最后只知道計算，但是究竟何為周長，怎樣去判斷周長卻含糊不清。

（2）辨析周長的環節沒有凸顯

常規路徑中，學生指出書簽的邊線之后還應該提供更多的變式練習，這樣實際上就是為了解開可能已經固化的“長”與“周長”之間的梗：長不一定是周長，而周長卻是一定是長。關鍵在哪里？就是要看這樣的長度有沒有形成“周”，如果形成了“周”，那這樣的長度就是“周長”;否則，只能是有長而沒有“周”。

（3）線面剝離的過程沒有強化

認識周長一定會聯系到面積，也就是圖形的大小。如何明晰？常規路徑中沒有任何涉及，不得不說這是一個遺憾。如何設計才能夠合理？可以由每個人帶一條線，任意圍成不同的圖形，然后用水彩筆涂出圍成的圖形大小，接下來再比較，原來相同長度的線圍成的圖形大小是可以不一樣的，更重要的是，這里水彩筆涂出的是圖形的大小，而我們每一位學生手中的那條線才是圖形的周長。在操作中不斷強化周長與大小之間的聯系與區別，唯有如此，周長是二維平面一周（起點到終點）邊線的長度，這一認識才能被學生理解。

三、修改路徑及其實施效果

在重組的過程中，著重突出對概念內涵的深度挖掘，對學生最容易產生混淆的地方再度設計，然后選擇一個平行班級（班級情況與前一個班級大體類似）實施教學。

1.重組路徑

重組路徑著重在“長”與“周”之間的關系以及圖形“大小”與“周長”的聯系上做足文章（如圖3）。

2.實施效果

實施之后的效果究竟如何，用同樣的習題進行了檢測，兩題的正確率分別提高到83.7%和79.6%。概念的起始課，學生對概念的理解不斷深化才能說明知識的顯著內化，也預示著他們已經真正將所學習內容納入到自己的認知體系中，這是難能可貴的。

3.成功之處

（1）突出了周長的“封閉”本質

對于學生來講，長度的概念不陌生，不熟知的是“周”，這也是周長是一個“特殊”長度的關鍵之所在。他們往往會以為只要有長度就會有周長，其實不然。在重組路徑的“任務二”中折鐵絲的環節，實際上就是針對學生困惑進行的點對點設計，重點突破。學生在操作中能夠深切地感受到，原來周長是指的“封閉”圖形一周的長度。這樣的設計的教學效果顯而易見，后測第一題的正確率從68.8%提升到83.7%就是最好的說明。

（2）計算中強調估算的核心作用

數學課程標準明確指出，第一學段學生應該能夠估測一些物體的長度[2]，它是學生數據處理能力的一種體現。本節課“任務五”這個環節，估算的背后還是緊扣本節課的核心，為何？承接著上一個問題，也不是告訴你一些數據后就可以直接算出圖形周長的，也不是將提供的數據相加就可以得到周長。為此，還得回歸本質，必須是圖形一周的長度，這里提供了長方形的長，如果只是將兩條長相加，何為周長呢？到這里，可以否定第一個答案，接下來，結合長方形長、寬的特點，得出正確的結果理應水到渠成。

（3）周長與面積的辨析跳出同一個圖形框框

教學中，教師為了強調圖形周長與大小的關聯，往往比較在意同一個圖形中的挖掘。但是，凡事不能一概而論，讓學生從同一個圖形中跳出來，在實踐中依據不同的圖形往往更容易加深知識的理解。學生在不同的圖形理解之后再回歸到同一個圖形中，既降低了所學知識的難度，更加能夠促使知識的有序建構，何樂而不為呢？

四、一些建議

1.強調知識與本源的辯證理解

對類似于“周長”這樣的概念教學，教學中，更多的還是需要注重對知識本身的挖掘。如何才能做到這一點，就是從學生的視角出發，還原知識本身的來龍去脈，找準知識的源頭在哪里，重回起點，帶領學生一起回到“長的內涵”以及“周的本質”，抽絲剝繭使得每一個學生茅塞頓開。

2.凸顯本質與變式的深度加工

把握本質，是以簡馭繁，削枝去葉的過程，更是建構知識的前提。把握了知識的本質，也就能夠在萬千事實中把握根本，以此才能夠更加領會知識本質的多樣表現、各種變化，乃至于舉一反三。比如，這里的求周長，不僅僅讓學生知道如何計算多邊形的周長，同時也讓學生知道能夠化曲為直求出類似于樹葉的周長，更重要的是將一根繩子圍成不同的圖形，讓學生觀察、領悟到周長不變，而圖形大小不斷變化的道理，在變與不變中深化認知。

3.彰顯遷移與應用的模擬實踐

過程和應用是作為知識本身基于每一位學生個體轉化的問題，更是知識在個體中的內化以及重新建構的問題。這樣的過程不僅僅是對學習結果的檢驗更是重要的學習體驗。遷移，是知識的擴展與提升，而應用，則是將內化的知識外顯化、操作化，是知識活化的一個重要的標志。“任務七”與“任務八”中，實際上就是針對該知識關鍵點的一個定制化設計，學生運用新知識解決新問題。

參考文獻

[1] 李秉德.教學論[M].北京：人民教育出版社，2006.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[責任編輯：陳國慶]