含緩變未知輸入的數據自校準濾波方法

傅惠民， 楊海峰， 付越帥， 崔 軼

(北京航空航天大學 小樣本技術研究中心， 北京 100191)

0 引 言

目前，Kalman濾波(Kalman Filter,KF)已廣泛用于人工智能、在線監測、故障診斷、導航與控制等工程領域[1]。眾所周知，Kalman濾波要求狀態方程和量測方程均精確，其可以有偶然誤差而不能包含系統誤差，但是在工程實際中，由于受到環境因素、模型和參數的選取不當、測量設備的不穩定性等影響，狀態方程或量測方程中往往含有未知輸入(系統誤差)，這些未知輸入在濾波過程中會嚴重降低濾波精度[2-4]。如何補償和修正這些未知輸入的影響，進一步提高Kalman濾波精度，是當前濾波領域的研究難點和熱點問題。

為此，人們先后提出：

(1)自適應Kalman濾波方法(Adaptive Kalman Filter)[5]，但是自適應Kalman濾波誤差大，甚至導致濾波發散；

(2)狀態擴維估計方法(Augmented-state Estimation)，可通過將未知輸入作為狀態變量進行擴維估計，這既不準確、又徒增計算工作量[6]；

(3)魯棒兩步Kalman濾波方法(Robust Two-stage Kalman Filter)[7]，其本質是僅用不含未知輸入的量測方程進行狀態估計，但這已不屬于Kalman濾波，因其無法通過狀態方程和量測方程之間的融合來減小濾波的偶然誤差。

傅惠民等人[8]通過建立相鄰兩次濾波之間未知輸入的縱向聯系和未知輸入與狀態變量的橫向聯系，提出了一種能夠自動消除系統誤差、減小偶然誤差的自識別自校準濾波方法(Self-Recognition Self-Calibration Filtering Methods)，解決了干擾和噪聲引起的未知輸入(系統誤差)問題，有效地提高了濾波精度。本文將進一步針對工程領域遇到的緩慢變化的未知輸入(系統誤差)問題，建立一種含緩變未知輸入的數據自校準濾波方法，以簡化計算，便于工程應用，適合邊緣計算。

1 量測自校準濾波方法

1.1 線性量測方程

工程上，含未知輸入的線性量測方程組一般形式為:

Yk=HkXk+dk+Vk,

(1)

式中，Xk為m維狀態向量；Yk為n維量測向量；dk為n維量測未知輸入(系統誤差)向量；Hk為量測矩陣；Vk是均值為零，協方差矩陣為Rk的量測噪聲向量，并且滿足：

(2)

式中，E(·)為數學期望符號，δk, j為δ函數，當k=j時，δk, j=1，當k≠j時，δk, j=0。

1.2 未知輸入自校準

(3)

1.3 量測自校準濾波

在未知輸入dk自校準估計完成后，可以對量測數據進行自校準濾波，基于加權最小二乘原理進行狀態估計，可得：

(4)

狀態估計對應的估計誤差協方差矩陣為：

(5)

2 量測擴展自校準濾波方法

2.1 非線性量測方程

工程中，含未知輸入的非線性量測方程組一般形式為：

Yk=hk(Xk)+dk+Vk,

(6)

式中，hk(·)為非線性量測函數；Xk，Yk，dk和Vk的意義與式(1)一致。

2.2 未知輸入自校準

(7)

2.3 量測擴展自校準濾波

Yk=HkXk+Uk+dk+Vk,

(8)

式中，

(9)

(10)

線性化完成后，基于加權最小二乘原理進行狀態估計，可得狀態估計值和估計誤差協方差矩陣為：

(11)

(12)

3 狀態方程含未知輸入自校準Kalman濾波方法

3.1 線性系統方程

工程上，狀態方程含有未知輸入的線性離散系統一般形式為：

Xk=Φk-1Xk-1+bk-1+Wk-1,

(13)

Yk=HkXk+Vk,

(14)

式中，Φk為狀態矩陣；bk為狀態方程中的未知輸入；Hk，Xk，Yk的意義與式(1)一致；Wk是協方差矩陣為Qk的狀態噪聲向量；Vk是協方差矩陣為Rk的量測噪聲向量，并且滿足:

(15)

3.2 狀態未知輸入自校準

(16)

3.3 自校準Kalman濾波

當狀態方程未知輸入bk-1自校準完成后，可對線性系統進行自校準濾波，計算步驟如下：

(17)

一步預測誤差協方差矩陣Pk/(k-1)為：

(18)

濾波初始化為：

(19)

(20)

(21)

狀態估計誤差協方差矩陣Pk為：

Pk=(I-KkHk)Pk/(k-1),

(22)

式中，Kk為濾波增益矩陣，由下式計算得到：

(23)

4 狀態方程含未知輸入擴展自校準Kalman濾波方法

4.1 非線性系統方程

工程上，狀態方程含有未知輸入的非線性離散系統一般形式為：

Xk=fk-1(Xk-1)+bk-1+Wk-1,

(24)

Yk=hk(Xk)+Vk,

(25)

式中，fk(·)和hk(·)均為非線性向量函數；Xk，Yk，bk，Wk，Vk定義與式(13)和(14)相同。

4.2 狀態未知輸入自校準

(26)

4.3 擴展自校準Kalman濾波

當狀態方程未知輸入bk-1自校準完成后，可按如下步驟進行非線性系統自校準濾波：

(1)一步自校準預測。非線性系統一步自校準預測為：

(27)

(28)

濾波初始化仍由式(19)和式(20)給出。

(29)

(30)

5 量測方程含未知輸入自校準Kalman濾波方法

5.1 線性系統方程

工程上，量測方程含有未知輸入的線性離散系統一般形式為：

Xk=Φk-1Xk-1+Wk-1,

(31)

Yk=HkXk+dk+Vk,

(32)

式中，Φk,Hk，Xk，Yk，Wk，Vk的意義與式(13)和(14)一致，dk的意義與式(1)一致。

5.2 量測未知輸入自校準

5.3 自校準Kalman濾波

當量測方程未知輸入dk自校準完成后，可對線性系統進行自校準濾波，計算步驟如下：

(33)

一步預測誤差協方差矩陣Pk/(k-1)由式(18)計算得到。

濾波初始化由式(19)和式(20)給出。

(34)

狀態估計誤差協方差矩陣Pk和濾波增益矩陣Kk分別由式(22)和(23)計算得到。

6 量測方程含未知輸入擴展自校準Kalman濾波方法6.1 非線性系統方程

工程上，量測方程含有未知輸入的非線性離散系統一般形式為:

Xk=fk-1(Xk-1)+Wk-1,

(35)

Yk=hk(Xk)+dk+Vk,

(36)

式中，fk(·)，hk(·)，Xk，Yk，Wk，Vk意義與式(24)和(25)相同，dk的意義與式(1)一致。

6.2 量測未知輸入自校準

6.3 擴展自校準Kalman濾波

當量測方程未知輸入dk自校準完成后，可按如下步驟進行非線性系統自校準濾波：

(1)一步預測。非線性系統一步預測為:

(37)

一步預測誤差協方差矩陣Pk/(k-1)由式(18)給出，其中Φk-1仍由式(28)計算。

濾波初始化仍由式(19)和式(20)給出。

(38)

狀態估計誤差協方差矩陣Pk和濾波增益矩陣Kk分別由式(22)和式(23)計算，其中Hk仍由式(30)計算。

7 雙未知輸入自校準Kalman濾波方法

7.1 線性系統方程

工程上，狀態方程和量測方程均含有未知輸入的線性離散系統一般形式為:

Xk=Φk-1Xk-1+bk-1+Wk-1,

(39)

Yk=HkXk+dk+Vk,

(40)

式中，Φk,Hk,Xk，Yk，bk，Wk，Vk的意義與式(13)和(14)一致，dk的意義與式(1)一致。

7.2 雙未知輸入自校準

7.3 自校準Kalman濾波

當狀態方程未知輸入bk-1和量測方程未知輸入dk自校準完成后，可對線性系統進行自校準濾波，計算步驟如下：

濾波初始化由式(19)和式(20)給出。

8 雙未知輸入擴展自校準Kalman濾波方法

8.1 非線性系統方程

工程上，狀態方程和量測方程中均含有未知輸入的非線性離散系統一般形式為:

Xk=fk-1(Xk-1)+bk-1+Wk-1,

(41)

Yk=hk(Xk)+dk+Vk,

(42)

式中，fk(·)，hk(·)，Xk，Yk，bk，Wk，Vk意義與式(24)和(25)相同，dk的意義與式(1)一致。

8.2 雙未知輸入自校準

8.3 擴展自校準Kalman濾波

當雙未知輸入bk-1和dk自校準完成后，可按如下步驟進行非線性系統自校準濾波：

濾波初始化仍由式(19)和式(20)給出。

9 仿真算例

考慮如下的線性系統:

(43)

狀態初值X0=1，wk和vk分別對應方差Qk=1和Rk=9，狀態方程未知輸入bk-1的取值為：

bk-1=1.2+0.01(k-1).

(44)

圖1 均方根誤差比較

表1 均方根誤差均值比較

可以看到，當狀態方程受到未知輸入影響時，本文方法可以對其進行估計和補償，其濾波精度比魯棒兩步Kalman濾波方法提高了22%，比線性Kalman濾波方法提高了47%，比自適應Kalman濾波方法提高了59%。

10 結束語

(1)由于工程實際中存在干擾和噪聲，采集的信號往往含有緩慢變化的未知輸入(系統誤差)，Kalman濾波方法能夠有效地減小偶然誤差，但無法解決系統誤差問題。本文方法則既能消除系統誤差，又能減小偶然誤差。

(2)量測自校準濾波方法和量測擴展自校準濾波方法，能夠自動對量測數據中事先無法校準的系統誤差進行估計、補償和修正，從而減小系統誤差的影響。

(3)狀態方程含未知輸入自校準Kalman濾波、量測方程含未知輸入自校準Kalman濾波、狀態方程和量測方程均含有未知輸入的自校準Kalman濾波等方法，則能夠自動對狀態方程或量測方程中的未知輸入進行估計、補償和修正，從而提高濾波精度。

(4)理論分析、實例計算和仿真驗證表明，本文方法能夠對緩慢變化的未知輸入進行補償，消除系統誤差，并通過數據融合減小偶然誤差，比傳統方法具有更高的濾波精度。并且計算簡單，便于邊緣計算和工程應用。

(5)對于工程實際中不知道有沒有未知輸入，但如果有的話必為緩慢變化的未知輸入的情況，可以先采用文獻[8]中自識別方法進行判斷，然后再采用本文方法濾波。