傳染病SIR模型在多層網絡上動力學行為分析

曹蓉 唐甜 童細心

【摘要】許多現實世界中的網絡都是相互關聯和依賴的，如水陸空組成的交通網絡和不同群體構成的社會網絡等，由此形成具有復雜的拓撲結構和動力學性態的多層次網絡，但此類網絡上的傳染病動力學還缺乏相關研究結果.根據平均場理論提出了一個多層耦合網絡上的傳染病SIR模型，以刻畫傳染病在多個種群或社區之間的傳播過程.首先給出模型的基本再生數和全局動力學行為，接著分析耦合結構和感染力對傳播閾值和疫情的影響.結果表明發病率的相變取決于有網絡拓撲結構合傳播參數構成的臨界值，而相互關聯結構更容易造成疫情擴散，且內部接觸比交叉接觸更容易引起疾病暴發.

【關鍵詞】多層網絡;傳染病平均場模型; 動力學行為;基本再生數

【基金項目】廣西自然科學基金（2017A030313699），汕頭職業技術學院2016年院級科研課題（SZK2016Y15）

引?言

隨著小世界和無標度性質在眾多現實系統和結構中的發現，復雜網絡近十多年逐漸變成了一個強大的科學工具，用以描述各種社會、經濟、生物等系統的拓撲結構，能更好地擬合異質結構，并更客觀地刻畫動力學和結構的關聯特點.因現實網絡并不是單獨存在，而是相互依賴，且一個大系統往往蘊含多個層帶不同拓撲和功能的網絡，由此形成了一類新的復雜系統，即多層耦合網絡.這類網絡廣泛存在于大型系統，如物流網，交通網和社團等，有著廣泛的應用背景和研究價值，比如分析路面的交通載量和電網的停電事件.探索多層耦合網絡的結構特點和動力學性質是近十年的研究熱點，此類網絡正在不斷地被用于刻畫傳染病在多種種群如人和動物之間的傳播，并獲得了一些新的進展，Allard等人利用鍵滲流理論模擬了多層網絡上的傳染病擴散過程; Funk等人根據物理機制建立了一個疊加網絡上的疾病傳播的建模方案，Dickison等人通過耦合網絡上的傳染病SIR模型，發現強耦合會使疾病擴散至整個網絡，而弱耦合會出現一個混合相圖，使疾病只能在一個子網絡上傳播.Saumell-Mendiola等人通過多層網絡上的平均場模型，子網耦合能使疾病更容易暴發.傳染病動力學模型也越來越多地被用于研究網絡傳播性質，但多層結構和接觸模式對傳播動力學的影響還缺乏系統分析.本文利用平均場近似在兩層網絡相互作用的網絡上建立一個傳染病SIR模型，利用微分方程理論和數值模擬分析模型的動力學性態，建立傳染病動力學和層次網絡結構的關系.主要回答2個問題：什么條件會引起傳染病在層次網絡上的暴發？子網內部和之間的耦合方式和節點的接觸模型如何影響著傳染病的傳播和擴散？上述問題的答案有助于更好地認識傳染病在多群體之間的傳播規律.

一、數學模型

首先根據子系統的耦合關系，給出一個由兩個相互依賴的子網絡A和B構成的復雜網絡，每個子網由一個群體（節點）以及它們的連接（邊）構成.不同群體的接觸模式的差異性對應兩種不同的連接方式，一種表示同一子網內的個體連接（內部連邊），另一種表示不同子網之間的個體連接（交叉連邊），故每個節點對應兩個度.因為群體內部和交叉的連接的異質性和多樣性，所以整個網絡具有異常復雜的拓撲結構.此網絡可以表示多種現實系統，如性接觸網絡，其中A，B分別表示男性和女性的性接觸網絡，子網內部連接表示同性接觸，交叉連接表示異性接觸，如果節點是雙性戀，則同時存在內部和交叉連接;也可表示媒介和宿主的接觸模式，A表示宿主如人，B表示媒介如動物，交叉連接表示宿主和媒介之間的接觸.

二、數學分析

三、數值分析

下面用數值模擬進一步探索傳播動力學.對于動物傳染病，宿主的接觸模式通常具有異質性，而動物的交互作用具有同質性，對應了兩種接觸網絡，隨機網絡和無標度網絡.隨機網絡類似于均勻網絡，其度分布滿足泊松特性，而無標度網絡是非常不均勻的，其度分布滿足無標度特性.設A（B）是子網A（B）的內部接觸模式，AB（BA）是子網A連接B（B連接A）的交叉接觸模式.所有的圖中子網A和B具有相同的節點數.

基本再生數R0和總的感染人數ρA和ρB能反映流行病學的重要性質，圖1和圖2表明了感染概率和接觸模式對它們的影響.由圖1和圖2可知，在任何的網絡結構下感染率的增大都會使得R0和感染規模增大，而無標度結構會使其增加更快.若所有的子網具有相同的結構，則內部感染和交叉感染對R0的作用相等，但若增加內部感染率（λ11或λ22），會導致更大的R0和暴發規模，而交叉感染病（λ12和 λ21）則作用不明顯，主要原因是內部感染率有雙重反應，感染同一子網的其他節點也可以被其他節點感染，而交叉感染率只有單個方向的作用.

四、結?論

本文建立了一個兩層耦合網絡上的傳播模型，并求解了模型的基本再生數，給出了疫情暴發的條件，并揭示了基本再生數與網絡結構合傳播參數的關系.結果表明傳播閾值受網絡的異質性和平均度控制，這與單個網絡和二分圖網絡只受異質性影響不同，說明層次結構對傳播動力學的特殊性.另外多層網絡具有多個子結構，其中最異質的那個子結構網絡對傳播起決定作用.特別地，我們發現內部接觸比交叉接觸更容易導致疾病傳播，這也說明了同性戀在性病傳播中的關鍵作用.

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